专题1.2 菱形的性质与判定（3大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦菱形的性质（边、角、对角线、对称性）、判定（定义法、边判定、对角线判定）及面积计算（底乘高、对角线乘积的一半），基于平行四边形展开，形成从一般到特殊的知识脉络，为后续学习正方形奠定基础。 资料通过分层题型（基础、培优、压轴）设计，涵盖性质应用、判定证明、折叠与生活情境等，培养几何直观、推理能力与应用意识。如生活中的伸缩电动门问题引导学生用数学眼光观察，折叠问题锻炼推理思维，助力课中教学与课后查漏补缺。

专题1.2 菱形的性质与判定 知识点1：菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时具有以下专属性质： 1.核心性质汇总 性质分类 具体内容 数学语言表述 图示 边 四条边都相等，对边互相平行 ∵四边形是菱形 ∴，， 角 对角相等，邻角互补 ∵四边形是菱形 ∴， 对角线 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 ∵四边形是菱形，对角线AC、BD交于 ∴，，平分与，平分与 对称性 既是轴对称图形，也是中心对称图形；2条对称轴为对角线所在直线，对称中心为对角线交点 对称轴：直线、直线对称中心：点 2.常用推论 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形； 若菱形有一个内角为，则较短对角线与菱形的两边构成等边三角形，此时较短对角线长等于边长。 知识点2：菱形的判定 1.三种基本判定方法 判定依据 判定定理 数学语言表述 图示 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形 边判定 四条边都相等的四边形是菱形 ∵ ∴四边形是菱形 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形 2.拓展判定结论 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形。 知识点3：菱形的面积计算 1.两种计算方法 计算方法 公式表达 推导依据 图示 底乘高 （如） 菱形是特殊的平行四边形，沿用平行四边形面积公式 对角线乘积的一半 对角线互相垂直，菱形面积等于四个直角三角形面积之和 2.拓展结论 对角线互相垂直的任意四边形，面积都等于两条对角线长度乘积的一半。 【基础必考题型】 【题型1】利用菱形性质求线段长度 1.核心知识点 菱形四条边相等、对角线互相垂直平分的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线性质 2.解题方法技巧 ①菱形对角线将图形分割为四个全等的直角三角形，已知两条对角线长时，直接用勾股定理求边长； ②遇到直角三角形斜边中点时，利用“斜边中线等于斜边的一半”转化线段长度； ③含内角的菱形中，较短对角线与边长相等，可构造等边三角形简化计算。 【例题1】.（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 【答案】A 【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分求出的长度，再在中利用勾股定理求出，最后根据对角线互相平分得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标利用两点间距离公式求出的长，再根据菱形的性质得出的长及与轴平行，进而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是菱形， ，， 点在轴上， 轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 又点在点的右侧， 点的横坐标为， 点的坐标是． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分，可得，再用勾股定理计算出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 由勾股定理得，， 为边的中点， ． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，，连接，、，． (1)求证：，互相平分； (2)若四边形是菱形，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分； (2)3 【分析】（1）只需要证明四边形是平行四边形，即可证明，互相平分； （2）由菱形的性质得到，由矩形的性质得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴； ∵四边形是矩形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型2】利用菱形性质求角度大小 1.核心知识点 菱形对角线平分一组对角的性质；等腰三角形、等边三角形的角度性质 2.解题方法技巧 ①利用对角线平分内角的性质，将大角拆分为两个等角，结合三角形内角和推导未知角度； ②遇到“边相等”的等腰条件，先用等边对等角求出底角，再结合菱形邻角互补推导； ③菱形外侧作等边三角形时，先求出相邻边的夹角，再用等腰三角形性质计算底角。 【例题2】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作于点E，对角线交于点F．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先求出，再根据菱形的性质得到，则，最后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【题型3】菱形判定的条件补充 1.核心知识点 菱形的三种判定定理；平行四边形的性质 2.解题方法技巧 ①已知四边形是平行四边形时，补充“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可判定为菱形； ②已知是一般四边形时，需补充“四条边相等”或“对角线互相垂直平分”才能判定； ③可通过反例排除错误选项，例如“对角线相等”是矩形的特征，无法判定菱形。 【例题3】.（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形；再根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 【变式题3-2】.（2026·山西太原·二模）如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件证明四边形是平行四边形，再结合所给条件逐一分析即可． 【详解】解：∵矩形，O是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， A、添加，由上面的推导可知，是平行四边形本身就具备的性质，仅这个条件无法证明平行四边形是菱形； B、添加，根据平行四边形中，一组邻边相等，则这个平行四边形是菱形，所以可以判定； C、添加 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定； D、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定． 综上，不能判定四边形为菱形的是A． 【变式题3-3】.（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先根据平行性质证明，再证明，推出，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）添加的条件为：，先根据，，证明四边形是平行四边，再由（1）得证明结果推出，最后根据，即，推出，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）略； （2）添加的条件为：， ∵，， ∴四边形是平行四边， ∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【题型4】菱形面积的计算 1.核心知识点 菱形面积的两种计算公式；勾股定理 2.解题方法技巧 ①已知两条对角线长度时，优先用“对角线乘积的一半”计算面积； ②已知边长和对应高时，用“底×高”计算； ③已知一条对角线和边长时，先通过勾股定理求出另一条对角线，再计算面积。 【例题4】.（四川省绵阳市2025-2026学年八年级下学期义务教育期末质量监测数学试卷）在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，即可计算得到的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，. ∵，， ∴，. ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，，分别是菱形的两边，的中点，已知，，则菱形的面积等于_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质及中位线的性质得出，，利用勾股定理求出，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别是菱形的两边，的中点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，取中点F，连接并延长，使得，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，．求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，，， ， 是的中点， 是的中位线，， ，， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； (2) 【分析】（1）易得是的中位线，进而推出四边形是平行四边形，再根据，即可得出结果； （2）过点F作的垂线交于点G，连接，易得为含30度角的直角三角形，利用30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点F作的垂线交于点G，连接． ，，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴菱形的面积． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E点在的延长线上，的长为的一半，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 的长为的一半， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）利用菱形的性质易证明是等边三角形，根据勾股定理求出长，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略； （2）在中，， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、、、、， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积为． 【培优提升题型】 【题型5】菱形的判定证明 1.核心知识点 平行四边形的判定；菱形的判定定理；全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧 ①常规证明思路：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直； ②遇到“角平分线+平行线”的组合，可推导等腰三角形，得到一组邻边相等，进而判定菱形； ③已知对角线相关条件时，优先用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成证明。 【例题5】.（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、交于点，连接．证明：四边形是矩形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴， 四边形是矩形． 【分析】先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，可证四边形是矩形． 【详解】略 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，是的中点，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 在中，，是的中点，则是斜边上的中线， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证得四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后由菱形的判定定理求证即可； （2）连接，先证得四边形是平行四边形，得到，再由勾股定理求出，最后由菱形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ， ， c， 四边形是平行四边形， ， 在中，，， ∴， 菱形的面积为． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等边三角形三线合一可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再利用垂直平分线的判定与性质可得，即可得证； （2）勾股定理求得，得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， 四边形是平行四边形， 在上，，， ， 四边形是菱形； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 【变式题5-3】.（2026·宁夏银川·二模）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)解：四边形是矩形．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）利用即可证明； （2）由推出，结合，推出四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：略； （2）解：四边形是矩形．理由略． 【题型6】菱形性质与判定综合计算 1.核心知识点 菱形的性质与判定；勾股定理；线段中点性质 2.解题方法技巧 ①先根据判定定理证明目标四边形是菱形，再利用菱形性质转化线段与角度关系； ②遇到多个中点时，结合中位线定理或直角三角形斜边中线性质，推导线段的数量与位置关系； ③利用对角线垂直的特征构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解未知线段。 【例题6】.（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【变式题6-2】.（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点，即平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质证明． （2）根据菱形性质结合勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，四边形是菱形，，为菱形对角线，交于点， ∴，，互相平分， ∵，， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式题6-3】.（2026·云南昆明·二模）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形． （2）由菱形得，在中利用得、，从而，代入梯形面积公式求四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积． 【题型7】折叠情境中的菱形问题 1.核心知识点 折叠的性质；菱形的判定与性质；勾股定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； ②结合折叠的等量关系与平行条件，推导邻边相等，判定折叠后形成的四边形为菱形； ③设未知数表示相关线段，在直角三角形中用勾股定理列方程求解长度。 【例题7】.（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得出的度数和，结合点E在边上得出为等腰三角形，进而求出的度数，再利用菱形邻角互补求出，最后计算的度数． 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（2026·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，再利用等腰三角形的性质求得，根据菱形的性质得出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴， ∵点F 在延长线上， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即，解得， ， ∵ 四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出，进而得出，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 【题型8】生活与跨学科情境应用 1.核心知识点 菱形的性质与判定；实际问题的几何建模 2.解题方法技巧 ①从生活素材（中国结、交叉纸条、纸牌承重等）中抽象出菱形几何模型； ②挖掘隐含条件：等宽纸条交叉重叠部分为菱形，可通过面积法推导边长； ③结合实际数据，利用菱形性质计算长度、面积，解决真实情境问题。 【例题8】.（2026·广东潮州·一模）王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） (1)长方形客厅的宽的长度为___； (2)已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 【答案】(1)4 (2)菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，即可求出长方形客厅的宽的长度； （2）连接交于O，根据菱形的性质，勾股定理等可求出，即可求出需要菱形瓷砖①的数量，根据矩形边上需要三角形的特征可求出需要切割的菱形瓷砖②的数量． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由图知：； （2）解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵客厅长为， ∴， ∴需要菱形瓷砖①的数量为（块）， 由图可知：长方形客厅的宽和需要切割的菱形瓷砖②的数量为5块，其中4块瓷砖沿较短的对角线切割一分为二，1块瓷砖沿对角线切割一分为四； 长方形客厅的长和需要切割的瓷砖②为（块），瓷砖沿较长的对角线切割一分为二， ∴需要切割菱形瓷砖②的数量为（块）， 即菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 【答案】校门打开了 【分析】先得到是等边三角形，则，然后求出校门的总宽度为，当每个菱形的内角度数为时，，此时伸缩门的宽度为，则校门打开了． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门打开了时， 而伸缩门的宽度为， ∴校门的总宽度为． ∴当每个菱形的内角度数为时，， ∴此时伸缩门的宽度为， ∴校门打开了． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东江门·期中）（跨学科融合）综合与实践． 【背景】据历史资料记载，中国最早的箭头出自山西朔县峙峪旧石器遗址．它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已有年之久，如图所示．历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型． 【素材】长短不一的木条若干、胶水等． 【操作】操作一：把根木条用胶水粘合成两个全等的与； 操作二：将全等的与粘合在一起，过点和边上的点粘一根木条，使，过点和点也粘一根木条； 操作三：把木条，，剪掉，即可作出箭镞的形状． 【探究】请你判断制作过程中四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABEC是菱形．理由见解析 【分析】先利用全等三角形的性质得到边和角的等量关系，再结合平行线的性质，通过等角对等边证明一组对边相等且平行，判定四边形为平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形，完成形状判定． 【详解】解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广西南宁·期中）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴，∴当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)若a，b均为正数，，则的最大值为______； (2)若，当x为何值时，有最小值，最小值为多少； (3)如图，小颖同学要做一个面积为的菱形风筝（如图所示），请你计算用来做对角线的两根竹条的长度之和至少是多少？ 【答案】(1)4 (2)当时，有最小值，且最小值为 (3) 【分析】（1）根据题意，得，求解即可； （2）利用性质直接求解即可； （3）设对角线的两根竹条长分别为,，根据题意，得，利用求解即可； 【详解】（1）解：当，时： ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最大值为， ∵， ∴， 则的最大值为． （2）解：∵， ∴， 当且仅当时取等号，即当时，有最小值，且最小值为． （3）解：设对角线的两根竹条长分别为,，且，， 根据题意，得，故， 因为； 故用来做对角线的两根竹条的长度之和至少是； 【压轴素养题型】 【题型9】菱形的尺规作图与探究 1.核心知识点 菱形的判定；尺规作图的基本方法；几何推理 2.解题方法技巧 ①常见作图依据：四边相等、对角线垂直平分、角平分线+垂直平分线等； ②作图后结合菱形的性质进行计算与证明，验证作图的合理性； ③三角形内接菱形类探究题，抓住角平分线与垂直平分线的核心特征进行推理。 【例题9】.（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)如图，菱形即为所求． (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接、，菱形即为所求； （2）连接，交于，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而求出，利用菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知，点在边上． (1)在图中以为边长，求作菱形，使点落在射线上（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）； (2)在所作的菱形中完成探究： ①直接写出这个菱形的其余三个内角的度数： °， °， °； ②请设计种分割方法，把这个菱形恰好分成四个等腰三角形，在图中画出分割线，并标出每个等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)如图所示， 根据作图可知，，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形即为所求菱形； (2) ①，，； ②方法一：如图所示，连接对角线得到均是等腰三角形， 在中，，顶角的度数为；在中，，顶角的度数为； 在中，，顶角的度数为；在中，，顶角的度数为； 方法二：如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点E， ∴，， ∴是等腰三角形，顶角的度数为， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴，． 【分析】（1）根据菱形的邻边相等，对角线相互垂直平分，且每条对角线平分一组对角的性质作图，先作邻边相等，即以点A为圆心，以长为半径画弧交于点D，连接，得等腰三角形，再作线段的垂直平分线，即分别以点为圆心，以大于长为半径画弧交于点，作直线，由等腰三角形的性质得到的垂直平分线经过点A，则射线垂直平分，最后再作邻边相等，即以点B为圆心，以为半径画弧交于点C，连接即可； （2）①根据菱形的性质即可求解； ②根据菱形的性质，等腰三角形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）解：①∵四边形是菱形，， ∴，，； ②略． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）按要求在中作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形，点和分别在边和上． (2)在图2中，点和分别在边和上，仅用无刻度直尺，作，点和分别在边和上． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2)解：所求图形如图所示． 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为菱形． （2）连接，，与相交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接，，，，则四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式题9-3】.（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交 于点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)解：如图， ； (2)证明：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ∴． ． 平分， ． ． 同理，可证， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【题型10】动点与菱形存在性问题 1.核心知识点 菱形的判定；动点问题；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先分析动点的运动路径，用含时间的代数式表示相关线段长度； ②分情况讨论菱形的不同顶点组合，根据菱形边相等或对角线垂直的特征列方程； ③求解后验证解是否符合动点的运动范围，舍去不符合题意的解。 【例题10】.（25-26八年级下·吉林四平·期中）已知∶如图，在平面直角坐标系中，、 (1)求的长； (2)在平面直角坐标上是否存在一点，使点A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点C的坐标，并写出相对应的平行四边形的周长； (3)若点D是y轴上一动点，点E为平面上任意一点，是否存在以点、B、D、E为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)C点坐标为，平行四边形为，周长为10；C点坐标为，平行四边形为，周长为；C点坐标为，平行四边形为，周长． (3)或或或 【分析】（1）直接运用两点间距离公式求解即可； （2）分为邻边、为邻边、为邻边三种情况，分别根据平行四边形的定义、平移的性质求解即可； （3）设，分、、三种情况，分别画出图形，再利用菱形的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵、， ∴． （2）解：①如图：当为邻边时， 设， 则，解得：， ∴C点坐标为，平行四边形为． ∴平行四边形为的周长； ②如图：当为邻边时，则点A向左平移两个单位得到点O ∴点B向左平移两个单位得到点C， ∴C点坐标为，平行四边形为． ∴平行四边形为周长． ③如图：以为邻边时，则点B向下平移两个单位得到点O， ∴点A向下平移3个单位得到点C， ∴C点坐标为，平行四边形为． ∴平行四边形为周长． 综上，C点坐标为，平行四边形为，周长为10；C点坐标为，平行四边形为，周长为；C点坐标为，平行四边形为，周长． （3）解：设， ①当时，x轴为的垂直平分线， ∵， ∴． ②如图：当时， 或 ∴或 ∴或； ②如图：当时，则，解得：， ∴． 综上，点D坐标为或或或． 【变式题10-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，3或8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理；当点G在点P的左侧时，由菱形的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；当点G在点P的右侧时，同理可求． 【详解】解：如图①，当点G在点P的左侧时， ∵四边形是菱形， ． 又， 四边形是矩形， ， ， （）， ∴； 如图②，当点G在点P的右侧时， 同理可求， （）， ∴． 综上，t的值为3或8． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是_______； (2)若D是中点，沿折叠，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）由偶次方的性质及绝对值的性质可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点； （2）证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：、、、为顶点的四边形是菱形， 分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ，， ， ， ∴，，， 设， ∴， ∵，即 解得：， ∴， ∴， ∴综上可得：点的坐标为或或或． 【变式题10-3】.（2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图①，矩形中，，，请利用无刻度直尺和圆规在矩形内作出菱形，要求点E，F，G，H分别在边上． 【实践操作】嘉嘉和淇淇尝试不同的方法解决问题． 如图②，嘉嘉的作法如下： ①分别作线段的垂直平分线依次交于点E，F，G，H； ②连接； 四边形即为所求． 如图③，淇淇的作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线分别交于点O，F，H； ③连接； 四边形即为所求． 【问题探究】根据以上信息，解决下列问题． (1)图①中，矩形的一条对角线长为________； (2)请选择嘉嘉或淇淇的操作方法证明其结论是否正确； 【拓展探究】通过操作和探究发现满足条件的菱形不唯一，请继续研究下面的问题． (3)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，求出的长并在图④中用尺规作出菱形；若不存在说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） (4)若存在满足条件的四边形是菱形时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，作图见解析， (4) 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）由菱形的判定定理证明即可； （3）连接交于点，作射线并延长交于点，作的垂直平分线分别交于点，连接即可；再利用勾股定理即可求出； （4）连接，当两点重合时，即，此时，菱形的边长有最大值，此时，有最小值，两点重合，两点重合，利用勾股定理求出有最小值，当两点重合，两点重合时，同理求出的最大值即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵矩形中，，，， ∴，即矩形的一条对角线长为； （2）解：嘉嘉的作法： ∵矩形中，，，， ∴， 由作图得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即嘉嘉的作法正确； 淇淇的作法： ∵矩形中，， ∴， 由作图知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，即淇淇的作法正确； （3）解：存在，菱形如图所示， ∵矩形中，， ∴， 由作图知点是的中点， ∴， ∴， ∴， 由作图知垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 设， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （4）解：如图，连接， ∵， ∴当两点重合时，即，此时，菱形的边长有最大值，最大值为的长， ∵为定值，， ∴此时，有最小值， 如图，此时，两点重合，两点重合， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 如图，当两点重合，两点重合时， 同理，得此时，有最小值，即有最大值； ∴的取值范围为． 易错点 1、判定菱形忽略前提：误将“对角线互相垂直的四边形”直接判定为菱形，正确结论是“对角线互相垂直的平行四边形”才是菱形，或对角线垂直平分的四边形是菱形。 2、混淆对角线性质：记错菱形对角线的特征，误认对角线相等，或忽略“对角线平分一组对角”的性质，导致角度计算出错。 3、面积计算漏乘系数：计算菱形面积时，直接用两条对角线相乘，忘记乘以。 4、最值问题对称点找错：利用对称性求最短路径时，选错对称轴或对称点，导致最小值计算错误。 重点 1、菱形的核心性质：四条边相等，对角线互相垂直且平分一组对角。 2、菱形的三种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定思路完成规范证明。 3、菱形面积的两种计算方法，尤其是“对角线乘积的一半”的灵活应用。 难点 1、菱形性质与判定的综合应用，结合折叠、旋转等几何变换的推理与计算。 2、菱形中的动点存在性、最值问题，分类讨论思想与数形结合方法的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，再由菱形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 3．如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，为的中点， ． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，菱形的顶点A坐标是，点B在直线上，则点C的坐标为_________． 【答案】/ 【分析】根据点坐标求出的长度，利用菱形邻边相等得到的长度，结合点在已知直线上求出点的坐标，再利用菱形对角线互相平分的性质和中点坐标公式求出点C的坐标． 【详解】解：由题意得，原点，， ， ∵四边形是菱形， ， 如图，设点的坐标为， 由勾股定理得：，整理得， 解得（点在第一象限，舍去）， ，即， 设， ∵四边形是菱形，设与交于点， ∴点是与的中点， 由中点坐标公式可得：，， 代入坐标得：，， 解得，， ∴． 5．如图，在菱形中，，，那么对角线的长为___________． 【答案】 【分析】连接，交于点，证明为等边三角形，即可求得，即可解答． 【详解】解：如图，连接，交于点， 在菱形中，，，，， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 6．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，证明，推出，得到当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即的最小值为． 三、解答题 7．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：， ，， 分别是的平分线， ，， ，， 和是等腰三角形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【分析】先利用平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义进行等量代换，证出两组等腰三角形，推导出一组对边平行且相等，判定四边形为平行四边形；最后结合一组邻边相等，证得该平行四边形是菱形． 【详解】略 8．如图，菱形中，，，点C在x轴正半轴上． (1)求点D的坐标； (2)平面内有一点，求经过P点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)若一次函数的图象与平行四边形的边有且只有2个交点，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两点间距离公式求出，再由菱形的性质可得点D的坐标； （2）先求出平行四边形对角线的交点坐标，当直线过平行四边形对角线交点时，直线平分平行四边形的面积，据此运用待定系数法求解即可； （3）先将一次函数解析式变形，求出其图象必经过的点，再分别求出其图象经过点D，B时k的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 四边形是菱形， ∴，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是． （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， ∵当直线过对角线交点时，直线平分面积， ∴所求直线过点与点， 设该直线解析式为， ∴，解得， 所求直线的解析式为； （3）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 9．如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上． (1)如图1，若E是的中点，，求证：； (2)如图2，若，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，如果，那么的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来． 【答案】(1)证明：如图1所示，连接， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：如图2所示，连接， 由（1）知，是等边三角形，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形 (3)存在，周长的最小值为 【分析】（1）证明为等腰三角形即可解答； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）根据垂线段最短，可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由垂线段最短可知：当时，有最小值， ，， ， ， ， 根据（2）中可得为等边三角形， 周长的最小值为． 10．如图1是一架舞台升降机，图2是其工作截面示意图，升降机的四根交叉撑长度相同（即），交叉撑，与工作台分别交于点，，点可以在工作台上滑动，点固定．交叉撑，与底座分别交于点，，点可以在底座上滑动，点固定．点是交叉撑和的中点，点是交叉撑和的中点．底座与工作台平行．当液压增加时，交叉撑形成的交叉角的角度变小，从而使升降机上升，反之会下降． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当（交叉撑的宽度忽略不计），交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了多少米？ 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了米 【分析】（1）根据已知条件证明，可得四边形是菱形． （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，同理可得，证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵点C是和的中点，点A是和的中点， ∴，，，． ∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：如图所示，过点作于点， 点A是和的中点，， ∴． ∵， ∴． 当时， ∴， ∴， 同理可得 ∵，四边形是菱形． ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了米 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 菱形的性质与判定 知识点1：菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时具有以下专属性质： 1.核心性质汇总 性质分类 具体内容 数学语言表述 图示 边 四条边都相等，对边互相平行 ∵四边形是菱形 ∴，， 角 对角相等，邻角互补 ∵四边形是菱形 ∴， 对角线 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 ∵四边形是菱形，对角线AC、BD交于 ∴，，平分与，平分与 对称性 既是轴对称图形，也是中心对称图形；2条对称轴为对角线所在直线，对称中心为对角线交点 对称轴：直线、直线对称中心：点 2.常用推论 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形； 若菱形有一个内角为，则较短对角线与菱形的两边构成等边三角形，此时较短对角线长等于边长。 知识点2：菱形的判定 1.三种基本判定方法 判定依据 判定定理 数学语言表述 图示 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形 边判定 四条边都相等的四边形是菱形 ∵ ∴四边形是菱形 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形 2.拓展判定结论 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形。 知识点3：菱形的面积计算 1.两种计算方法 计算方法 公式表达 推导依据 图示 底乘高 （如） 菱形是特殊的平行四边形，沿用平行四边形面积公式 对角线乘积的一半 对角线互相垂直，菱形面积等于四个直角三角形面积之和 2.拓展结论 对角线互相垂直的任意四边形，面积都等于两条对角线长度乘积的一半。 【基础必考题型】 【题型1】利用菱形性质求线段长度 1.核心知识点 菱形四条边相等、对角线互相垂直平分的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线性质 2.解题方法技巧 ①菱形对角线将图形分割为四个全等的直角三角形，已知两条对角线长时，直接用勾股定理求边长； ②遇到直角三角形斜边中点时，利用“斜边中线等于斜边的一半”转化线段长度； ③含内角的菱形中，较短对角线与边长相等，可构造等边三角形简化计算。 【例题1】.（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连接，若，，求的长． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，，连接，、，． (1)求证：，互相平分； (2)若四边形是菱形，求的长． 【题型2】利用菱形性质求角度大小 1.核心知识点 菱形对角线平分一组对角的性质；等腰三角形、等边三角形的角度性质 2.解题方法技巧 ①利用对角线平分内角的性质，将大角拆分为两个等角，结合三角形内角和推导未知角度； ②遇到“边相等”的等腰条件，先用等边对等角求出底角，再结合菱形邻角互补推导； ③菱形外侧作等边三角形时，先求出相邻边的夹角，再用等腰三角形性质计算底角。 【例题2】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【变式题2-2】.（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【变式题2-3】.（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作于点E，对角线交于点F．若，则的度数为________． 【题型3】菱形判定的条件补充 1.核心知识点 菱形的三种判定定理；平行四边形的性质 2.解题方法技巧 ①已知四边形是平行四边形时，补充“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可判定为菱形； ②已知是一般四边形时，需补充“四条边相等”或“对角线互相垂直平分”才能判定； ③可通过反例排除错误选项，例如“对角线相等”是矩形的特征，无法判定菱形。 【例题3】.（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·山西太原·二模）如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 【题型4】菱形面积的计算 1.核心知识点 菱形面积的两种计算公式；勾股定理 2.解题方法技巧 ①已知两条对角线长度时，优先用“对角线乘积的一半”计算面积； ②已知边长和对应高时，用“底×高”计算； ③已知一条对角线和边长时，先通过勾股定理求出另一条对角线，再计算面积。 【例题4】.（四川省绵阳市2025-2026学年八年级下学期义务教育期末质量监测数学试卷）在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，，分别是菱形的两边，的中点，已知，，则菱形的面积等于_______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，取中点F，连接并延长，使得，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，．求菱形的面积． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E点在的延长线上，的长为的一半，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【培优提升题型】 【题型5】菱形的判定证明 1.核心知识点 平行四边形的判定；菱形的判定定理；全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧 ①常规证明思路：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直； ②遇到“角平分线+平行线”的组合，可推导等腰三角形，得到一组邻边相等，进而判定菱形； ③已知对角线相关条件时，优先用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成证明。 【例题5】.（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、交于点，连接．证明：四边形是矩形． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，是的中点，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积是________． 【变式题5-3】.（2026·宁夏银川·二模）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【题型6】菱形性质与判定综合计算 1.核心知识点 菱形的性质与判定；勾股定理；线段中点性质 2.解题方法技巧 ①先根据判定定理证明目标四边形是菱形，再利用菱形性质转化线段与角度关系； ②遇到多个中点时，结合中位线定理或直角三角形斜边中线性质，推导线段的数量与位置关系； ③利用对角线垂直的特征构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解未知线段。 【例题6】.（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式题6-2】.（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 【变式题6-3】.（2026·云南昆明·二模）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 【题型7】折叠情境中的菱形问题 1.核心知识点 折叠的性质；菱形的判定与性质；勾股定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； ②结合折叠的等量关系与平行条件，推导邻边相等，判定折叠后形成的四边形为菱形； ③设未知数表示相关线段，在直角三角形中用勾股定理列方程求解长度。 【例题7】.（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【变式题7-2】.（2026·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 【题型8】生活与跨学科情境应用 1.核心知识点 菱形的性质与判定；实际问题的几何建模 2.解题方法技巧 ①从生活素材（中国结、交叉纸条、纸牌承重等）中抽象出菱形几何模型； ②挖掘隐含条件：等宽纸条交叉重叠部分为菱形，可通过面积法推导边长； ③结合实际数据，利用菱形性质计算长度、面积，解决真实情境问题。 【例题8】.（2026·广东潮州·一模）王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） (1)长方形客厅的宽的长度为___； (2)已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东江门·期中）（跨学科融合）综合与实践． 【背景】据历史资料记载，中国最早的箭头出自山西朔县峙峪旧石器遗址．它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已有年之久，如图所示．历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型． 【素材】长短不一的木条若干、胶水等． 【操作】操作一：把根木条用胶水粘合成两个全等的与； 操作二：将全等的与粘合在一起，过点和边上的点粘一根木条，使，过点和点也粘一根木条； 操作三：把木条，，剪掉，即可作出箭镞的形状． 【探究】请你判断制作过程中四边形的形状，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广西南宁·期中）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴，∴当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)若a，b均为正数，，则的最大值为______； (2)若，当x为何值时，有最小值，最小值为多少； (3)如图，小颖同学要做一个面积为的菱形风筝（如图所示），请你计算用来做对角线的两根竹条的长度之和至少是多少？ 【压轴素养题型】 【题型9】菱形的尺规作图与探究 1.核心知识点 菱形的判定；尺规作图的基本方法；几何推理 2.解题方法技巧 ①常见作图依据：四边相等、对角线垂直平分、角平分线+垂直平分线等； ②作图后结合菱形的性质进行计算与证明，验证作图的合理性； ③三角形内接菱形类探究题，抓住角平分线与垂直平分线的核心特征进行推理。 【例题9】.（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知，点在边上． (1)在图中以为边长，求作菱形，使点落在射线上（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）； (2)在所作的菱形中完成探究： ①直接写出这个菱形的其余三个内角的度数： °， °， °； ②请设计种分割方法，把这个菱形恰好分成四个等腰三角形，在图中画出分割线，并标出每个等腰三角形的顶角的度数． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）按要求在中作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形，点和分别在边和上． (2)在图2中，点和分别在边和上，仅用无刻度直尺，作，点和分别在边和上． 【变式题9-3】.（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交 于点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并证明． 【题型10】动点与菱形存在性问题 1.核心知识点 菱形的判定；动点问题；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先分析动点的运动路径，用含时间的代数式表示相关线段长度； ②分情况讨论菱形的不同顶点组合，根据菱形边相等或对角线垂直的特征列方程； ③求解后验证解是否符合动点的运动范围，舍去不符合题意的解。 【例题10】.（25-26八年级下·吉林四平·期中）已知∶如图，在平面直角坐标系中，、 (1)求的长； (2)在平面直角坐标上是否存在一点，使点A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点C的坐标，并写出相对应的平行四边形的周长； (3)若点D是y轴上一动点，点E为平面上任意一点，是否存在以点、B、D、E为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标． 【变式题10-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是_______； (2)若D是中点，沿折叠，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【变式题10-3】.（2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图①，矩形中，，，请利用无刻度直尺和圆规在矩形内作出菱形，要求点E，F，G，H分别在边上． 【实践操作】嘉嘉和淇淇尝试不同的方法解决问题． 如图②，嘉嘉的作法如下： ①分别作线段的垂直平分线依次交于点E，F，G，H； ②连接； 四边形即为所求． 如图③，淇淇的作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线分别交于点O，F，H； ③连接； 四边形即为所求． 【问题探究】根据以上信息，解决下列问题． (1)图①中，矩形的一条对角线长为________； (2)请选择嘉嘉或淇淇的操作方法证明其结论是否正确； 【拓展探究】通过操作和探究发现满足条件的菱形不唯一，请继续研究下面的问题． (3)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，求出的长并在图④中用尺规作出菱形；若不存在说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） (4)若存在满足条件的四边形是菱形时，请直接写出的取值范围． 易错点 1、判定菱形忽略前提：误将“对角线互相垂直的四边形”直接判定为菱形，正确结论是“对角线互相垂直的平行四边形”才是菱形，或对角线垂直平分的四边形是菱形。 2、混淆对角线性质：记错菱形对角线的特征，误认对角线相等，或忽略“对角线平分一组对角”的性质，导致角度计算出错。 3、面积计算漏乘系数：计算菱形面积时，直接用两条对角线相乘，忘记乘以。 4、最值问题对称点找错：利用对称性求最短路径时，选错对称轴或对称点，导致最小值计算错误。 重点 1、菱形的核心性质：四条边相等，对角线互相垂直且平分一组对角。 2、菱形的三种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定思路完成规范证明。 3、菱形面积的两种计算方法，尤其是“对角线乘积的一半”的灵活应用。 难点 1、菱形性质与判定的综合应用，结合折叠、旋转等几何变换的推理与计算。 2、菱形中的动点存在性、最值问题，分类讨论思想与数形结合方法的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，菱形的顶点A坐标是，点B在直线上，则点C的坐标为_________． 5．如图，在菱形中，，，那么对角线的长为___________． 6．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 三、解答题 7．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接，求证：四边形是菱形． 8．如图，菱形中，，，点C在x轴正半轴上． (1)求点D的坐标； (2)平面内有一点，求经过P点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)若一次函数的图象与平行四边形的边有且只有2个交点，求k的取值范围． 9．如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上． (1)如图1，若E是的中点，，求证：； (2)如图2，若，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，如果，那么的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来． 10．如图1是一架舞台升降机，图2是其工作截面示意图，升降机的四根交叉撑长度相同（即），交叉撑，与工作台分别交于点，，点可以在工作台上滑动，点固定．交叉撑，与底座分别交于点，，点可以在底座上滑动，点固定．点是交叉撑和的中点，点是交叉撑和的中点．底座与工作台平行．当液压增加时，交叉撑形成的交叉角的角度变小，从而使升降机上升，反之会下降． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当（交叉撑的宽度忽略不计），交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $