第1章特殊平行四边形—— 矩形中的折叠问题、利用矩形的性质证明专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形折叠与性质证明两大核心模块，通过精选例题与变式题构建从性质应用到推理证明的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形中的折叠问题|4例+4变式|涵盖沿对角线/边折叠、顶点落在线段/坐标轴等情形，涉及长度计算、角度求解及动态问题|以矩形性质（对边相等、直角、对角线）为基础，结合折叠轴对称性转化线段角，通过全等与勾股定理构建方程求解| |利用矩形的性质证明|3例+3变式|包含对角线性质证明、平行四边形判定、菱形性质关联等，涉及多问推理与计算结合|以矩形性质（对角线相等、对边平行）为核心，关联平行四边形判定、全等三角形，形成“性质应用-推理证明-综合计算”的逻辑链条|

矩形中的折叠问题、利用矩形的性质证明专项训练 矩形中的折叠问题、利用矩形的性质证明专项训练 考点目录 矩形中的折叠问题 利用矩形的性质证明 考点一 矩形中的折叠问题 例1．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，由折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，进而得到，从而证得即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∵矩形沿折叠，使点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点H，由矩形的性质和点C的坐标可得，，由折叠的性质得到，则，利用勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 例3．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质、矩形的性质，结合已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质用表示出，然后在三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，，， ∵与交于点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 例4．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在平面上的点处，交于点E，．求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠，得，，根据矩形性质得，得，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 折叠， ，， ， ． 变式1．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 变式3．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，，然后证明四边形是平行四边形，然后结合勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∵，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 变式4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，将沿折叠，使点C落在F处，直线与交于点G． (1)如图1，若点E与点B重合，求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)若，则的长为__________． 【答案】(1)证明：由折叠的性质可知，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． (2) (3)2或8 【分析】（1）利用折叠的性质结合矩形的性质即可证得结论； （2）设，则，根据（1）的结论得到，过点E作交于点H，利用折叠的性质，矩形的性质和勾股定理列出方程即可求出结果； （3）先根据已知条件求出，，此时分情况进行讨论：点E位于点G的左侧时，点E位于点G的右侧时，利用折叠的性质及勾股定理即可求得最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， 如图，过点E作交于点H， 易证得：四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵直线与交于点G， 此时分情况讨论： ①如图，当点E位于点G的左侧时： 由折叠的性质可知，，， 在中，， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点E位于点G的右侧时： 由折叠的性质可知，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为2或8． 考点二 利用矩形的性质证明 例1．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 又， ∴． 【分析】根据矩形的性质，可得，结合垂直以及对顶角相等，即可证明． 【详解】略 例2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ∴， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在矩形中，点M在上，，，垂足为N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)5 【分析】（1）利用矩形的性质和直角三角形两锐角互余即可证得； （2）利用（1）的结论并结合已知条件，设，则，通过勾股定理列出方程求解x的值，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 且由（1）知：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 变式1．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形． (2)证明：由（1）知，四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质和平行四边形的性质得到，根据等边对等角得到，根据平行线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线分别交、的延长线于点、， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行且相等，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形； （2）根据菱形四边相等，在直角三角形中用勾股定理列方程求出，再等量代换得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故． 变式3．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，与边交于点，与边交于点，垂足为点，连接，． (1)请判断四边形的形状．并写出证明； (2)点是边的中点，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ，． 是线段的垂直平分线， ． 在和中， ． ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据题意得出是的中位线，则，设，则，在中，，建立方程解方程，求得，进而根据菱形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是对角线的垂直平分线 ∴， ∵点是边的中点， ∴ ∴是的中位线 ∴ 设，则 ∵四边形是菱形 ∴， ∵四边形是矩形 ∴ 在中， ∴ 解得：，即 ∴菱形的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形中的折叠问题、利用矩形的性质证明专项训练 矩形中的折叠问题、利用矩形的性质证明专项训练 考点目录 矩形中的折叠问题 利用矩形的性质证明 考点一 矩形中的折叠问题 例1．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．8 D．14 例2．（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 例4．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在平面上的点处，交于点E，．求的度数． 变式1．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 变式4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，将沿折叠，使点C落在F处，直线与交于点G． (1)如图1，若点E与点B重合，求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)若，则的长为__________． 考点二 利用矩形的性质证明 例1．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，于点F．求证：． 例2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 例3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在矩形中，点M在上，，，垂足为N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式1．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 变式2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 变式3．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，与边交于点，与边交于点，垂足为点，连接，． (1)请判断四边形的形状．并写出证明； (2)点是边的中点，连接，若，求四边形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $