周周练02 1.3-1.4矩形与正方形的性质判定（数学新教材北师大版九年级上册）

2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3-1.4矩形与正方形的性质判定 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 2．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 3．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.∵，， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B.只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C.∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故符合题意； D.不能判定四边形是正方形，故不符合题意. 4．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，由作法得：垂直平分，平分，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】延长交于，由勾股定理的逆定理可得和是直角三角形，进而可证明，得到，，，利用正方形的性质可证明，得到，，，据此可得，，，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：延长交于，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 同理可得是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴. 7．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设E为的中点，当O，E及C共线时，最大，此时，证明为等边三角形，求出，求出，解直角三角形求出和即可． 【详解】解：设E为的中点（如图①），过C作轴于F，则（如图②）， ∵在中，E为的中点，， ∴， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得：， 由三角形三边关系得：，当O，E及C共线时，的值取到最大， 此时， 延长到点，使，连接，如图，则， ∵，， ∴垂直平分，得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 所以点C的坐标是． 8．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据菱形和矩形的判定定理，解答即可． 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 9．如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证四边形是矩形，可得，，由折叠性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，，， ，分别是边，的中点，是的中点， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 将沿对折，使点落在点上 ， 在中，， ， （负值已舍去） ． 10．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①，四边形是正方形，则有，，证明，则可以得到，那么． ②可以得到，因此． ③可以得到，正方形可知，，因此． ④已知，要证明始终是等腰直角三角形，则只需要得到． 【详解】①解：四边形是正方形，且正方形的边长为， ，，， ，，， ， ． ， ， ， ，，， ，故①正确． ②解：由①可知，， ， ，故②正确． ③解：， ， 又四边形是正方形， ，， ， ，故③正确． ④解：， ， 又， ， 因此始终是等腰直角三角形，故④正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得是矩形，求出，，即可解决问题． 【详解】解：如图： 根据矩形的性质得是矩形， ∵、、， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴点C的坐标为． 12．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【分析】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 13．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而利用勾股定理求得，根据即可求解； 【详解】解：如图，取的中点，连接， 顶点分别在轴，轴正半轴上滑动， ， 是的中点，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 在中，， ， ， ， 的最大值为． 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据一次函数性质求出，，即，同理，，即；进而得出，即可求出结论． 【详解】解：当时，， ； ∵四边形为正方形， ∴， 当时，， ，即； 同理，，即, ； ∴点的坐标是,即． 16．如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ____________________． 【答案】 【分析】连接，，交于O，勾股定理求出，然后求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，交于O， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，是正方形的对角线上一点，连接．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形，是正方形的对角线， ，． 在和中， ， ， ∴． 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定证明． 【详解】略． 18．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，平行四边形中，， ∴，且， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． 又∵，， ∴四边形为平行四边形． 在菱形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形． (2)5 【分析】（1）证明四边形为平行四边形．再证明，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，， ∴菱形边长 ， ∴ ． 19．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ． (2)解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵D为中点， ． ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，D为中点， ， ，四边形是菱形， 当时，， ， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）证明，然后结合证明四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明四边形是平行四边形，然后得到，证明四边形是菱形，当时，求出，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为 ． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，即点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)6 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，从而求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ，， ∴由勾股定理得， 是的中点， ； 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 21．下题是本学期我们所学数学课本第88页复习题21中第15题： 如图1，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：．按照课本提示，很容易证明． (1)若将原题中“E为边的中点”改为：“E是边上任意一点（不与点、重合）”，其它条件都不变（如图2），结论仍然成立，请予以证明． (2)若将（1）中结论与已知条件中部分条件互换，改成如下内容：如图3，四边形是正方形，E是边上任意一点（不与点、重合），，且，连接，求证：平分正方形的外角，请予以证明． 【答案】(1)证明：如图4，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ， ， ， 为正方形外角平分线， ， ， ， ， ， ， ，即． 在和中 ． (2)证明：如图4，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ， ，即． ， ， 在和中 ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，即， ， 平分． 【分析】（1）在边上截取，连接，由此证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在边上截取，连接，由此证明，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得． 【详解】（1）略； （2）略． 22．如图，在矩形中，，连接，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒，过点作于点，连接． (1)用含的式子表示的长度：________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知， 由（1）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴                   又∵， ∴，                                                             ∴四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）由题意得：，结合，即可求解； （2）由题意可知，推出；根据，推出，即可求证； （3）由题意得，根据，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，                                                 解得． 23．如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)8 (3)证明：由（1）知：，， 由折叠的性质可知， ， ， 又 ， ， ； (4)或3 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，最后根据等腰三角形的判定得出结论即可； （2）过点 作 于点 ，证明四边形 为矩形，得出 ，求出，从而说明当最小时，的面积最小，根据垂线段最短，得出当时，的面积最小，即可得出答案； （3）由（1）知，，，由折叠的性质可知， ，结合线段的和差关系，即可解题； （4）根据是以 为腰的等腰三角形，分两种情况：当 时，当 时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴； （2）解：过点 作 于点 ， ， 矩形纸片 中， ， 四边形 为矩形， ， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∵垂线段最短， ∴当时，的面积最小， 即 ， 时，的面积最小值为； （3）略 （4）解：①当 时， ， 由（1）知， ， 重合， 由折叠的性质可知， ， 则 ， ， ， 重合， 设 ，则 ， ， ， ， 解得： ； ②当 时， 由折叠的性质可知， ， ， 过点 作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ； 综上所述， 的长为或3． 24．如图，矩形中，点C在y轴上，点A在x轴上，点B的坐标是，矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与、y轴分别交于点D、F． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)在x轴上存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据矩形的性质以及对运用勾股定理求解即可； （2）设，根据折叠可得，然后对运用勾股定理建立方程求解，再由待定系数法求解直线的表达式即可； （3）由菱形的性质可得为等腰三角形，然后分三种情况讨论，根据菱形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标是， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：存在， ∵使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形， ∴为等腰三角形， ①当时，此时， ∴M的坐标为或； ②当时，连接交于点 如图所示： 设直线解析式为， 由点在图象上可知：， ∴， 则直线解析式为， 设点， 在中，， 即， 解得， ∵点E在第三象限， ∴， ∴ ∵四边形是菱形 ， ∴ ∴ ∴点； ③当时，垂直平分，垂足为G，作于P，如图所示： 由②得，则，， 在中，由勾股定理得 ∵， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，在x轴上存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3-1.4矩形与正方形的性质判定 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 7．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 9．如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 12．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 13．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是___________． 16．如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ____________________． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，是正方形的对角线上一点，连接．求证：． 18．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为 ． 21．下题是本学期我们所学数学课本第88页复习题21中第15题： 如图1，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：．按照课本提示，很容易证明． (1)若将原题中“E为边的中点”改为：“E是边上任意一点（不与点、重合）”，其它条件都不变（如图2），结论仍然成立，请予以证明． (2)若将（1）中结论与已知条件中部分条件互换，改成如下内容：如图3，四边形是正方形，E是边上任意一点（不与点、重合），，且，连接，求证：平分正方形的外角，请予以证明． 22．如图，在矩形中，，连接，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒，过点作于点，连接． (1)用含的式子表示的长度：________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，当时，直接写出的值． 23．如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 24．如图，矩形中，点C在y轴上，点A在x轴上，点B的坐标是，矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与、y轴分别交于点D、F． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3-1.4矩形与正方形的性质判定 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 7．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 9．如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 12．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 13．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是___________． 16．如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ____________________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3-1.4矩形与正方形的性质判定 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 2．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 3．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.∵，， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B.只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C.∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故符合题意； D.不能判定四边形是正方形，故不符合题意. 4．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，由作法得：垂直平分，平分，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】延长交于，由勾股定理的逆定理可得和是直角三角形，进而可证明，得到，，，利用正方形的性质可证明，得到，，，据此可得，，，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：延长交于，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 同理可得是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴. 7．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设E为的中点，当O，E及C共线时，最大，此时，证明为等边三角形，求出，求出，解直角三角形求出和即可． 【详解】解：设E为的中点（如图①），过C作轴于F，则（如图②）， ∵在中，E为的中点，， ∴， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得：， 由三角形三边关系得：，当O，E及C共线时，的值取到最大， 此时， 延长到点，使，连接，如图，则， ∵，， ∴垂直平分，得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 所以点C的坐标是． 8．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据菱形和矩形的判定定理，解答即可． 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 9．如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证四边形是矩形，可得，，由折叠性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，，， ，分别是边，的中点，是的中点， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 将沿对折，使点落在点上 ， 在中，， ， （负值已舍去） ． 10．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①，四边形是正方形，则有，，证明，则可以得到，那么． ②可以得到，因此． ③可以得到，正方形可知，，因此． ④已知，要证明始终是等腰直角三角形，则只需要得到． 【详解】①解：四边形是正方形，且正方形的边长为， ，，， ，，， ， ． ， ， ， ，，， ，故①正确． ②解：由①可知，， ， ，故②正确． ③解：， ， 又四边形是正方形， ，， ， ，故③正确． ④解：， ， 又， ， 因此始终是等腰直角三角形，故④正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得是矩形，求出，，即可解决问题． 【详解】解：如图： 根据矩形的性质得是矩形， ∵、、， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴点C的坐标为． 12．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【分析】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 13．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而利用勾股定理求得，根据即可求解； 【详解】解：如图，取的中点，连接， 顶点分别在轴，轴正半轴上滑动， ， 是的中点，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 在中，， ， ， ， 的最大值为． 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据一次函数性质求出，，即，同理，，即；进而得出，即可求出结论． 【详解】解：当时，， ； ∵四边形为正方形， ∴， 当时，， ，即； 同理，，即, ； ∴点的坐标是,即． 16．如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ____________________． 【答案】 【分析】连接，，交于O，勾股定理求出，然后求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，交于O， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，平行四边形中，， ∴，且， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． 又∵，， ∴四边形为平行四边形． 在菱形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形． (2)5 【分析】（1）证明四边形为平行四边形．再证明，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，， ∴菱形边长 ， ∴ ． 18．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ． (2)解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵D为中点， ． ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，D为中点， ， ，四边形是菱形， 当时，， ， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）证明，然后结合证明四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明四边形是平行四边形，然后得到，证明四边形是菱形，当时，求出，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $