暑假预习：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求线段长、利用矩形的性质求面积专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦矩形性质的角度、线段长、面积三大应用方向，通过例题与变式构建从性质到计算的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用矩形的性质求角度|8题（4例+4变式）|结合对角线、角平分线、平行线性质考查角度计算|以矩形直角及对角线相等性质为基础，通过等腰三角形、平行线性质推导角度关系| |利用矩形的性质求线段长|8题（4例+4变式）|涉及勾股定理、中位线、垂直平分线的线段计算|基于矩形对边相等及对角线性质，综合运用几何定理解决线段长度问题| |利用矩形的性质求面积|8题（4例+4变式）|结合对角线、对称中心、图形变换的面积求解|通过矩形面积公式，关联对角线、三角形面积及图形变换，建立面积计算模型|

暑假预习：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求线段长、利用矩形的性质求面积专项训练 暑假预习：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求线段长、利用矩形的性质求面积专项训练 考点目录 利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质求线段长 利用矩形的性质求面积 考点一 利用矩形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·广东·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 例3．（25-26八年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则________度． 【答案】25 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 例4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，交于点，由矩形的性质得，从而得到，由等腰三角形性质得，再由三角形内角和定理求得，即可推出，再根据等边对角即可解答． 【详解】解：连接，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 变式2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ； 故选：B 变式3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 【答案】/105度 【分析】先证明为等边三角形，得到，再根据三角形的内角和定理和对顶角相等，求出的度数即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 变式4．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为_______（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握矩形的性质．由矩形的性质可得：，，得到，，结合，推出，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点二 利用矩形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，若，，则的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】矩形对角线相等且互相平分，故．设，用表示出对角线、长度，在中由勾股定理列方程求出，进而得到． 【详解】解：四边形是矩形， ， 即， 设，由，得， ， ， ， ， 在中，由勾股定理： ， 已知，，，代入得： ， ， ， ， 线段长度为正，取， ． 例2．（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得到的长，再由线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点， ∴， ∵垂直平分线段， ∴． 例3．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形对角线相交于点，点为上一点，，则周长为_________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，再结合周长公式及线段的和差关系计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴的周长． 例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最大值为_______；的最小值为_______． 【答案】 【分析】通过坐标法设点，推导得到动点的轨迹为固定线段，利用三角形两边之差小于第三边的性质，可得，长度等于，即得到的最大值；延长，使得，连接，作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，然后利用将军饮马问题，计算得到的最小值即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 根据三角形两边之差小于第三边可得，在中，， ，即的最大值为； 延长，使得，连接，作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，如图所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：的最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理可得， ∵， ∴， 由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得 ∴的最小值为，即为的最小值． 变式1．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（     ） ​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵对角线的垂直平分线分别交、于点、， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即的长为． 变式2．（2026·河南开封·模拟预测）如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（     ） A． B． C．5 D．12 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】如图，连接， 根据矩形性质可知：， ， ， ， 故选A． 变式3．（25-26八年级下·江西抚州·期末）学校美术社制作校园文化海报，玲玲在长为，宽为的长方形彩纸上，剪了一个腰长为的等腰三角形装饰图案（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则这个等腰三角形的底边为_______________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，根据矩形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：已知：在长、宽的长方形彩纸上，剪一个腰长为的等腰三角形，顶点与长方形顶点重合，另两顶点在边上．需分三种情况讨论： 情况1：顶角顶点在长方形顶点，两腰在相邻两边上，，，底边为等腰直角三角形的斜边， 由勾股定理：； 情况2：底角顶点在长方形顶点，腰在宽边上，等腰三角形的一个底角顶点与重合， 一条腰在上，另一腰，顶点在上， ， 在中，， 在中，； 情况3：底角顶点在长方形顶点，腰在长边上，等腰三角形的一个底角顶点与重合， 一条腰在上，另一腰，顶点在上， ， 在中，， 在中，， 综上所述，这个等腰三角形的底边为或或． 变式4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得的长，根据题意可得是的中位线，由三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，，交于点，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 考点三 利用矩形的性质求面积 例1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，证明为等边三角形，进而得到，在中求出的长，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的面积是； 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为_______    【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，利用中位线定理得到，利用勾股定理得到，即求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是矩形的对角线的中点， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 故答案为： 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形的判定得到，将阴影部分的面积转化为的面积进行计算即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 故选：． 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解本题的关键． 由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，可证明四边形是菱形；由勾股定理得，而，，所以，求得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为． 故选：C 变式3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 变式4．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求线段长、利用矩形的性质求面积专项训练 暑假预习：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求线段长、利用矩形的性质求面积专项训练 考点目录 利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质求线段长 利用矩形的性质求面积 考点一 利用矩形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·广东·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则________度． 例4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则__________． 变式1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 变式4．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为_______（用含的式子表示）． 考点二 利用矩形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，若，，则的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 例2．（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 例3．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形对角线相交于点，点为上一点，，则周长为_________． 例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最大值为_______；的最小值为_______． 变式1．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（     ） ​ A． B． C． D． 变式2．（2026·河南开封·模拟预测）如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（     ） A． B． C．5 D．12 变式3．（25-26八年级下·江西抚州·期末）学校美术社制作校园文化海报，玲玲在长为，宽为的长方形彩纸上，剪了一个腰长为的等腰三角形装饰图案（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则这个等腰三角形的底边为_______________． 变式4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 考点三 利用矩形的性质求面积 例1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________． 例4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为_______    变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 变式3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 变式4．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $