第1章 特殊平行四边形 利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形性质的角度、线段长、面积三大应用方向，通过分层例题与变式题构建系统性训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角度|6题（含折叠、对角线模型）|结合对角线垂直、折叠性质求角度|以菱形内角关系为基础，通过折叠转化角的等量关系| |求线段长|6题（含周长、中点模型）|涉及折叠、周长计算、对角线长|利用四边相等及勾股定理，从基础计算到中点综合应用| |求面积|6题（含实际情境）|结合传统文化情境、面积转化|基于对角线乘积公式，拓展至中点图形面积关系|

利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 考点目录 利用菱形的性质求角度 利用菱形的性质求线段长 利用菱形的性质求面积 考点一 利用菱形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得出的度数及平分，结合和，利用同角的余角相等即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，， ，平分，， ，， ， ， ， ， ． 例2．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 例3．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如下图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质知，，再由菱形的性质得，，最后利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵沿直线翻折，使点B落在上， ∴，， ∴，， ∴， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点二 利用菱形的性质求线段长 例1．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（     ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 在菱形中，， ， ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得（不符合题意，舍去） . 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，连接、，，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，根据菱形，对角线是角平分线且互相垂直平分即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，平分， ∵， ∴， 故选D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出，判断是的中位线，得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，点E是的中点， ∴，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴． 变式1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）菱形的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四边相等，故的长度为，即可解答． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴的长度为， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，相交于点．若菱形的周长为，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质求出边长，再结合勾股定理求出对角线的一半，进而得出对角线的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， 菱形的周长为， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ． 故答案为：D． 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）中国结象征着中华民族的历史文化与精神．乐乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，若，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点三 利用菱形的性质求面积 例1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点H，可求出，则可得到，，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ∴． 例2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，依次连接第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连接矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去，已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接矩形和菱形的对角线，根据矩形和菱形的性质求得第1个矩形的面积，进而得到第2个菱形的面积，从而得到菱形面积的规律，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接矩形和菱形的对角线， 根据矩形和菱形的性质以及中点可得图中最小单位的16个三角形面积都相等，且为第1个菱形面积的， 已知第1个菱形的面积为1，则第1个矩形面积为； 同理可得第2个菱形的面积是第一个矩形面积的一半，为， 第3个菱形的面积为， 第4个菱形的面积为． 例3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，关键是对角线互相垂直且平分，面积等于对角线乘积的一半．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，在中应用勾股定理求出，进而得到，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 变式2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接BD，由菱形的性质推出，，判定是等边三角形，推出，的面积菱形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵的面积，菱形的面积， ∴的面积菱形的面积． 变式3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，是菱形的对角线，点分别在边上，且，连接，如果菱形的面积为的面积为6，那么的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积转换；连接，由菱形的性质得，由即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 考点目录 利用菱形的性质求角度 利用菱形的性质求线段长 利用菱形的性质求面积 考点一 利用菱形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 变式1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 变式2．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如下图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 考点二 利用菱形的性质求线段长 例1．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（     ） A． B．15 C． D． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，连接、，，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 变式1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）菱形的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，相交于点．若菱形的周长为，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）中国结象征着中华民族的历史文化与精神．乐乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，若，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 考点三 利用菱形的性质求面积 例1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，依次连接第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连接矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去，已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 变式2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 变式3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，是菱形的对角线，点分别在边上，且，连接，如果菱形的面积为的面积为6，那么的面积为___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $