暑假预习：利用正方形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦正方形性质的角度、线段长、面积三大核心应用，通过分层例题与变式题构建从基础到综合的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用正方形的性质求角度|4例+4变式|结合内角、对角线及特殊三角形（等边/等腰）综合求角度|以正方形性质为核心，通过全等/等腰三角形性质推理角度关系，发展推理意识| |利用正方形的性质求线段长|4例+4变式|涉及勾股定理、中点、垂直平分线及动态点问题|基于正方形边长与对角线关系，结合几何直观构建方程或函数模型求解| |利用正方形的性质求面积|4例+4变式|包含阴影面积、旋转面积及与三角形结合的面积计算|通过面积公式转化，结合空间观念分析图形变换中的面积关系|

暑假预习：利用正方形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 暑假预习：利用正方形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求线段长 利用正方形的性质求面积 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则______． 例4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，点 为正方形 内一点，，连接 ，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，延长正方形边至点E，使，则为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 变式4．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则____． 考点二 利用正方形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 例3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则______，______． 例4．（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是______． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 变式2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形的边长为8，E是的中点，垂直平分且分别交、于点F，Q，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图在正方形中，点P是上一点，过点P作于点，于点F，连结，若，则的最小值为______． 变式4．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在正方形中，是边延长线上一点，连接，点是的中点，过点作交于点，若，． （1）线段的长为_______； （2）若，线段的长为_______． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在正方形中，若面积，周长，则正方形和正方形的面积之和等于（   ） A．96 B．48 C．20 D． 例2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____． 例4．（2026·广东·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 变式1．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 变式2．（25-26八年级下·湖北荆州·阶段检测）如图，边长为2的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积等于（　　） A．6 B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 变式4．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：利用正方形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 暑假预习：利用正方形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求线段长 利用正方形的性质求面积 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，即可解答． 【详解】解：在正方形中，，，， ， ， ， ． 例2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴. 例3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正方形，等边三角形和等腰三角形的性质． 先根据正方形的性质求得，，再根据等边三角形得到，，最后根据等腰三角形和三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∵等边三角形， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：． 例4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，取的中点，连接，可得，进而利用正方形的性质证明，得到，即得，得到，即可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，取的中点，连接，则，． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形四平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，点 为正方形 内一点，，连接 ，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由及求出的度数，再利用正方形性质得到及，进而求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴ ，， ∴ ，， ∴. 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，延长正方形边至点E，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 变式3．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中，． 变式4．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，先由正方形的性质得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点二 利用正方形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个正方形的边长，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 例3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则______，______． 【答案】 /30度 【分析】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的性质和勾股定理．根据正方形的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 例4．（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，根据，得出是解题的关键．连接，，交于，根据，从而，进一步得出结论． 【详解】解：连接，，交于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，过点E作交延长线于F，可证明，得到，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线于F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 变式2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形的边长为8，E是的中点，垂直平分且分别交、于点F，Q，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】连接，则，由正方形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 解得：， 即的长为1． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图在正方形中，点P是上一点，过点P作于点，于点F，连结，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为,从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时，是斜边上的高， ∴ ∴的最小值为． 变式4．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在正方形中，是边延长线上一点，连接，点是的中点，过点作交于点，若，． （1）线段的长为_______； （2）若，线段的长为_______． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质可得，由平行线的性质得出，最后由勾股定理计算即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，取的中点，连接，证明四边形为矩形，得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在正方形中，若面积，周长，则正方形和正方形的面积之和等于（   ） A．96 B．48 C．20 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，完全平方公式的变形等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 设矩形中，由题意得，，而正方形和正方形的面积之和为，由即可求解． 【详解】解：设矩形中， 四边形和四边形都为正方形， ∴， ∴正方形和正方形的面积之和为， 面积，周长， ，， ． 故选：C． 例2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，由四边形，四边形是正方形，得，，然后通过即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 例3．（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____． 【答案】6 【分析】根据正方形的面积可知和，利用勾股定理求出，进而可得出字母R所代表的正方形的边长． 【详解】解：根据正方形的面积为边长的平方可知和， 在中，， 则字母R所代表的正方形的边长为． 例4．（2026·广东·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据正方形的性质证明，得到，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴阴影部分面积 ． 变式1．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】如答图，连接． 边长为6的正方形的中心与正方形的顶点重合， 即点是正方形的中心， ， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·湖北荆州·阶段检测）如图，边长为2的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积等于（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，利用正方形的性质得，，再根据旋转的性质得点在上，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用四边形的面积进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 点在上，，， 为等腰直角三角形， 而， ， 四边形的面积． 故选：B． 变式3．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，设，则，根据直角三角形性质求出，再结合正方形面积公式，以及菱形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 四边形为正方形，， 变形后四边形满足为菱形， 设，则， ， ， 四边形的面积为：； 正方形的面积为：； 四边形的面积与原正方形面积之比为． 变式4．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质证明四边形是正方形，，再证明可得，由此即可求出两个正方形的面积比． 【详解】解：设，则，， 连接、， 在正八边形中，，， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴四边形是正方形， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积， ∵正方形的面积， ∴四边形与正方形的面积之比． 2 学科网（北京）股份有限公司 $