暑假预习：添加一个条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦矩形判定的条件添加与证明，通过多样化题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |添加条件使四边形是矩形|4例+4变式|选择（选条件/排除）、填空（补条件），涉及平行四边形、一般四边形等背景|从矩形定义及判定定理出发，结合图形性质（平行四边形对角线、边关系等）添加条件| |证明四边形是矩形|3例+3变式|解答题，涉及平行四边形、菱形、三角形中位线等综合背景|先证平行四边形再证直角/对角线相等，或证三个角为直角，体现判定定理的综合应用|

暑假预习：添加一个条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形专项训练 暑假预习：添加一个条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形专项训练 考点目录 添加一个条件使四边形是矩形 证明四边形是矩形 考点一 添加一个条件使四边形是矩形 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（     ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，添加下列条件不能使其成为矩形的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，以的三边为边长分别在的同侧作三个等边三角形，即，，． (1)写出线段与线段的关系并证明． (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件后不能使平行四边形成为矩形的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 变式4．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 考点二 证明四边形是矩形 例1．（25-26八年级下·广西北海·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 例2．（25-26八年级下·重庆开州·期末）如图，在中，，D、O分别为、的中点，过点A作交的延长线于点F，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 例3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，已知，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 变式1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 变式2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，，为垂足，，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 变式3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形．分别延长，至点D，E，使得．连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为4，则四边形的面积为_________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：添加一个条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形专项训练 暑假预习：添加一个条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形专项训练 考点目录 添加一个条件使四边形是矩形 证明四边形是矩形 考点一 添加一个条件使四边形是矩形 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（     ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】对于①，可得四边形为菱形；对于②，可得，继而可得四边形为矩形；对于③，根据定理可直接判定． 【详解】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意； ②， 在中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意； ③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意； 综上，其中正确的是②③． 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，添加下列条件不能使其成为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：A、，由一个角为直角的平行四边形是矩形知平行四边形为矩形，故此选项不符合题意； B、∵在平行四边形中，，又，则，则平行四边形为矩形，故此选项不符合题意； C、∵，∴平行四边形ABCD为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意； D、∵AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形为矩形，故此选项不符合题意． 例3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，以的三边为边长分别在的同侧作三个等边三角形，即，，． (1)写出线段与线段的关系并证明． (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)解：，证明如下： ∵，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，； (2)解：当时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）得四边形是平行四边形， 由等边三角形的性质可得， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）利用证明，得到，即可证明，同理证明，则可证明四边形是平行四边形，得到，； （2）当时，四边形是矩形，可求出，而有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 变式2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件后不能使平行四边形成为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 是矩形，不符合题意； B、， 是直角三角形，， 四边形是平行四边形， 是矩形，不符合题意； C、四边形是平行四边形，， 是矩形，不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 是菱形，符合题意． 变式3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题 【详解】解：若使平行四边形是矩形， 可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形），等（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， （答案不唯一） ． 变式4．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）根据有一个角是直角的平行四边形，添加，即可. 【详解】（1）略 （2）略 考点二 证明四边形是矩形 例1．（25-26八年级下·广西北海·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形为矩形． (2)的长为． 【分析】（1）由得，从而，进而可证四边形是矩形； （2）证明为等边三角形得，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为矩形， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 的长为． 例2．（25-26八年级下·重庆开州·期末）如图，在中，，D、O分别为、的中点，过点A作交的延长线于点F，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明： D、O分别为、的中点， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，即， 平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再证明，即，即可证明结论成立； （2）求解，，结合，进一步可得，证明，再结合勾股定理与矩形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形； ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，已知，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2)3 【分析】（1）根据两组对边相等证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，再根据菱形的面积为计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积为． 变式1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）由矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴. 变式2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，，为垂足，，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ， 是的中点， ， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)9 【分析】（1）利用中位线得到，再结合，证明四边形是平行四边形，再根据，证明平行四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到、，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用矩形性质得到，根据勾股定理得，最后根据线段和差得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， 是的中点， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形．分别延长，至点D，E，使得．连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为4，则四边形的面积为_________． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ∴， 又，， ， 四边形是矩形； (2)8 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合菱形的性质得，故四边形是矩形； （2）根据菱形的性质求出，由中点得到，即可根据矩形的性质解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形的面积为4， ， ∵， ∴， ∴矩形的面积． 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