第一章特殊平行四边形-矩形的性质和判定讲义2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形这一核心知识点，以平行四边形性质复习为基础，通过活动探究矩形定义、性质（四个角为直角、对角线相等）、判定（定义、对角线相等、三个角为直角）及直角三角形斜边上中线性质，构建从旧知到新知的学习支架。 该资料以“探究-建构-应用”为主线，通过自制学具拖动实验培养几何直观（数学眼光），小组讨论猜想性质发展推理意识（数学思维），典例与生活情境结合强化应用意识（数学语言）。课中助力互动教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

矩形 温故知新 复习平行四边形的性质 边 角 对角线 智慧乐园 活动一：拿出自制平行四边形学具，分组活动,交流回答下列问题 问题一：平行四边形在拖动过程中，什么在发生变化？ 问题二：平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生什么特殊情况？这时的图形是什么图形？ 学生归纳得出矩形定义： 活动二：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特 殊性质呢？(小组讨论，得出猜测) 猜想1： 猜想2： 知识要点一 矩形的定义及性质 （1）矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 注意：①矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形； ②矩形必须具备的两个条件：它是一个平行四边形，它有一个直角。 （2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等； ③矩形具有平行四边形的所有性质；④矩形是轴对称图形。 （3）直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 · 典例分析 例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 例3、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论： ①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE， 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（　　） A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较 例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若 ∠B=50°，则∠ACB′=　 　． 例6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ． （1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长； （2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长． 学霸说： 熟练掌握矩形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键； · 举一反三 1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论正确的个数是（　　） ①FB垂直平分OC； ②△EOB≌△CMB； ③DE=EF； ④S△AOE：S△BCM=2：3． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（　　） A．3 B．6 C． D．12 3、已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF． 知识要点二 矩形的判定 判定方法 （1）方法一：（定义判断）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）方法二：（对角线判定）对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相 平分的四边形是矩形； （3）方法三：（角判定）有三个角是直角的平行四边形是矩形。 · 典例分析 例1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 例2、如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD 　 例3、如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（　　） ①OE=OF； ②CE=CF； ③若CE=12，CF=5，则OC的长为6； ④当AO=CO时，四边形AECF是矩形． A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 例4、在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE为矩形； （2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长． · 举一反三 1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC 2、如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 　． 3、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F． （1）求证：△BEF≌△CDF； （2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 课堂闯关 · 初出茅庐 · 建议用时：10分钟 1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 2、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3、下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角线相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形 4、如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 　，使四边形DBCE是矩形． 5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　 　度． 6、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　 　． · 优学学霸 · 建议用时：15分钟 1、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点， ∠BAC=15°，∠DAC=45°，则的值为　　 ． 2、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM． （1）当AN平分∠MAB时，求DM的长； （2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积； （3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值． 考场直播 1、【深圳期末】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（　　） A．AB=BC B．AB=AC C．AC=BD D．AC⊥BD 2、【深圳期末】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、【深圳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　 　度． 套路揭密： （1）考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； （2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。 自我挑战 · 建议用时：30分钟 1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 2、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 3、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（　　） A．11 B．16 C．19 D．22 4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　 　． 5、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　 ． 6、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点． （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 8、如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2． （1）若AD=2，DE=1，求AP的长； （2）求证：PB=PF+FM． 学科网（北京）股份有限公司 $ 矩形 温故知新 复习平行四边形的性质 边 对边相等，对边平行 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 智慧乐园 活动一：拿出自制平行四边形学具，分组活动,交流回答下列问题 问题一：平行四边形在拖动过程中，什么在发生变化？ 问题二：平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生什么特殊情况？这时的图形是什么图形？ 学生归纳得出矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 活动二：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特 殊性质呢？(小组讨论，得出猜测) 猜想1：矩形的四个角都是直角 猜想2：矩形的对角线相等 知识要点一 矩形的定义及性质 （1）矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 注意：①矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形； ②矩形必须具备的两个条件：它是一个平行四边形，它有一个直角。 （2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等； ③矩形具有平行四边形的所有性质；④矩形是轴对称图形。 （3）直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 · 典例分析 例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【解析】选D 例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【解析】 选A 　 　 例3、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论： ①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE， 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①正确；③正确；④正确；故选C． 例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（　　） A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较 【解析】∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB， 在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD=AB，∴CD=EF，故选：C． 例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若 ∠B=50°，则∠ACB′=　10°　． 【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°， ∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD， ∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°， 由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°， ∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°． 例6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ． （1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长； （2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长． 【解析】（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC， ∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在Rt△PBC中，PB==4， ∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1， 设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，解得x=，∴AQ=． （2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°， ∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME， ∵M是QC的中点，∴DM=QC，PM=QC，∴DM=PM， 在△MDF和△PME中，，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF， ∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD， ∵QM=MC，∴DF=CF=DC=， ∴ME=， ∵ME是梯形ABCQ的中位线， ∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2． 学霸说： 熟练掌握矩形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键； · 举一反三 1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】 ①正确； ②错误； ③正确； ④正确； 所以其中正确结论的个数为3个；故选B 2、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（　　） A．3 B．6 C． D．12 【解析】选：D． 3、已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD， ∵点E是AO的中点，点F是OD的中点∴OE=OA，OF=OD，∴OE=OF， 在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴BE=CF． 知识要点二 矩形的判定 判定方法 （1）方法一：（定义判断）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）方法二：（对角线判定）对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相 平分的四边形是矩形； （3）方法三：（角判定）有三个角是直角的平行四边形是矩形。 · 典例分析 例1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 【解析】选D． 例2、如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD 【解析】选B． 　 例3、如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（　　） ①OE=OF； ②CE=CF； ③若CE=12，CF=5，则OC的长为6； ④当AO=CO时，四边形AECF是矩形． A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【解析】①正确；②错误；③错误；④正确；故选B． 例4、在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE为矩形； （2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥BE， 又∵DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°， ∴平行四形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴DF∥AB，DE=BF=4，DF=BE，∴∠DAF=∠FAB， 又∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DFA=∠DAF，∴DA=DF， 又∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°， 在Rt△ADE中 AD===5，∴BE=5． · 举一反三 1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC 【解析】选B． 2、如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是　矩形　． 【解析】矩形． 3、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F． （1）求证：△BEF≌△CDF； （2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD． ∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF， 在△BEF与△CDF中，， ∴△BEF≌△CDF（ASA）； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB， ∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF， ∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF， ∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF， ∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形． 课堂闯关 · 初出茅庐 · 建议用时：10分钟 1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【解析】选B 2、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=90°， ∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°， ∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C． 3、下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角线相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形 【解析】选B． 4、如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　EB=DC　，使四边形DBCE是矩形． 【解析】答案是：EB=DC． 5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　30　度． 【解析】∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线， ∴AE=CE，∴∠A=∠ACE， ∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B=∠CED， ∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A， ∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案为：30． 6、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　30°　． 【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC， ∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°， ∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°． · 优学学霸 · 建议用时：15分钟 1、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点， ∠BAC=15°，∠DAC=45°，则的值为　　． 【解析】连接BE，ED， ∵∠ABC=∠ADC=90°且E为AC中点，∴DE=AC，BE=AC， ∴BE=DE，∵F为BD中点，∴EF⊥BD， ∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A，B，C，D四点共圆， ∵∠BAC=15°，∠DAC=45°，∴∠BAD=60°，∴∠BED=120°，∴∠FED=60°， ∴EF=DE， ∵CD=DE， ∴=． 故答案为：． 2、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM． （1）当AN平分∠MAB时，求DM的长； （2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积； （3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值． 【解析】（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM， ∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=； （2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ， 由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ， 设NQ=x，则AQ=MQ=1+x， ∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°， 在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4， ∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=； （3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC， ∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4， ∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC， 在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH， 由勾股定理得：BH===，∴CF=， ∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣． 考场直播 1、【深圳期末】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（　　） A．AB=BC B．AB=AC C．AC=BD D．AC⊥BD 【解析】选：C． 2、【深圳期末】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①正确；②正确；④正确；③错误．故选C． 3、【深圳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　22.5　度． 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE， ∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°， ∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．答案为22.5°． 套路揭密： （1）考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； （2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。 自我挑战 · 建议用时：30分钟 1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 【解析】选：D． 2、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 【解析】选B． 3、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（　　） A．11 B．16 C．19 D．22 【解析】选D． 4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　3　． 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO， ∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6， ∴AD===3； 故答案为：3． 5、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　5或4或5　． 【解析】如图所示： ①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形， ∴底边PE=AE=5； ②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°， ∴PB==4，∴底边AP===4； ③当PA=PE时，底边AE=5； 综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5； 故答案为：5或4或5． 6、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 【解析】（1）证明：∵折叠， ∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°， ∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC， ∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM， 在△ANF和△CME中，， ∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE， 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8， 设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4， 在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5， ∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30． 7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点． （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE ∵E是AD的中点，∴AE=DE． ∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC． ∴AF=DC， ∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点； （2）四边形AFBD是矩形， 证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形， ∴四边形AFBD是矩形． 8、如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2． （1）若AD=2，DE=1，求AP的长； （2）求证：PB=PF+FM． 【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°， ∵AD=2，DE=1，∴AE==， ∵点P为线段AE中点，∴AP=AE=； （2）延长BF交CD的延长线于点N，∵点P为线段AE中点，∴AP=PE， ∵AB∥CD，∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N， ∵在△APB和△EPN中，，∴△APB≌△EPN（AAS），∴PB=PN， ∵∠1=∠2，∠2=∠N，∴∠1=∠N， ∴FN=FM， ∴PB=PN=PF+FN=PF+FM， ∴PB=PF+FM． 学科网（北京）股份有限公司 $