第1章特殊平行四边形—— 证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形判定的两类核心问题，通过精选中考真题与各地开学考典例，系统覆盖证明与条件补充题型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明四边形是菱形|3例+3变式|结合平行四边形、全等、中点等的证明题|从平行四边形性质出发，通过邻边相等或对角线垂直推导菱形判定，体现性质到判定的逻辑链条| |添一个条件使四边形是菱形|4例+4变式|选择、填空及条件补充题|基于菱形判定定理，针对平行四边形、对角线、中点四边形等已知条件补充关键条件，强化概念应用的严谨性|

证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形专项训练 证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形专项训练 考点目录 证明四边形是菱形 添一个条件使四边形是菱形 考点一 证明四边形是菱形 例1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据题意，得，证明，先证明四边形是平行四边形，结合已知证明四边形是菱形即可； （2）根据菱形的性质，结合已知证明，利用勾股定理，求得，利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ． ． ， ， 解得． ． ， ． ． ． ． 例2．（26-27九年级上·山西太原·开学考试）如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形． 理由： 如图，连接交于点． 四边形是菱形， ，，． ，． 又， ． ，， ． ． 四边形是平行四边形 又， 四边形是菱形． 【分析】连结，根据菱形的性质得到，，即，，继而证明，得到，，所以，即，证明出四边形是平行四边形，又，即证四边形是菱形． 【详解】略． 例3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)． 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【详解】（1）略． （2）∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 变式1．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 【答案】(1)证明：点是的中点，， 四边形为平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， 四边形为菱形； (2)， 取得最小值时点的位置如图所示： 【分析】（1）首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，继而通过证明为的中位线，得到，继而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形为菱形． （2）根据菱形的性质得到为线段的垂直平分线，继而得到当点为线段和线段的交点时，取得最小值，为的长，根据的直角三角形的性质以及菱形的性质得到，，过点作交的延长线于，通过证明，根据勾股定理以及的直角三角形的性质得，即的最小值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知，在菱形中，为线段的垂直平分线，而点在线段上运动， ， ， 当点为线段和线段的交点时，取得最小值，为的长，如图所示，    在中，，，， ， 点是的中点， ， 又在菱形中，，， ，， 如图，过点作交的延长线于， ， ， 在中，， ，， 又在中，， ， 的最小值为． 变式2．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由中线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 变式3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出，得到四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，，连接，交于M，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 连接，交于M， 由（1）知，四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴． 考点二 添一个条件使四边形是菱形 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、中，不是邻边，不能判定是菱形，故本选项错误； B、中，对角线，可判断平行四边形成为菱形，故本选项正确； C、中，，判定是矩形，故本选项错误； D、中，，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误． 故选：B． 例2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握菱形的判定方法；根据菱形的判定可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到答案。 【详解】解：，可判断是矩形，不能判断是菱形，故选项A错误，不符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项B错误，不符合题意； 对角线互相垂直，可知判断是菱形，故选项C正确，符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项D错误，不符合题意； 例3．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 例4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，添加一个条件，使四边形是菱形（不需要说明理由）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 【分析】（1）因为，所以，再利用证明； （2）由可得，则，又因为得四边形是平行四边形，又因为，则为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形． 变式1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判定即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 故选A． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，能够熟练运用判定定理是解题关键． 变式2．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（   ） A． B． C． D．DE平分 【答案】D 【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB=∠EBA， ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF， ∵∠AFD=∠BFE， ∴△ADF≌△BEF， ∴AD=BE， ∵AD∥BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 变式4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形专项训练 证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形专项训练 考点目录 证明四边形是菱形 添一个条件使四边形是菱形 考点一 证明四边形是菱形 例1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 例2．（26-27九年级上·山西太原·开学考试）如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 例3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的周长． 变式1．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 变式2．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 变式3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 考点二 添一个条件使四边形是菱形 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 例4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，添加一个条件，使四边形是菱形（不需要说明理由）． 变式1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（   ） A． B． C． D．DE平分 变式3．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 变式4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 2 学科网（北京）股份有限公司 $