专题1.1 三角形中的线段和角（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“三角形中的线段和角”核心知识点，系统梳理三角形三边关系（定理、判定方法、第三边取值范围）、大边对大角与大角对大边，以及中线、角平分线、高的定义、位置特征与面积推论，构建从概念到性质应用的学习支架。 资料以分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）设计为特色，结合中考真题与实际情境（如机器人机械臂、火灾逃生框架），培养数学建模与应用意识。通过等面积法、绝对值化简等题型提升推理能力，易错点与重点总结助力课中教学与课后查漏补缺。

专题1.1 三角形中的线段和角 知识点 1：三角形的三边关系   1. 定理内容：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，理论依据为两点之间，线段最短。   2. 实用判定方法：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两条线段之和大于最长线段即可，不需要全部三组不等式均验算。   3. 第三边取值范围：若三角形两边长为（），则第三边满足。 知识点 2：同一个三角形中大边对大角、大角对大边   1. 大边对大角：在同一个三角形中，边长较大的边，所对的内角也较大。符号语言：在中，若，则。   2. 大角对大边：在同一个三角形中，角度较大的内角，所对的边长也较大。符号语言：在中，若，则。 知识点 3：三角形的中线、角平分线、高   1. 三者均为线段，不是射线或直线；每个三角形各有三条，三条中线、三条角平分线交点均在三角形内部；三条高所在直线必交于一点，但高不一定全部在三角形内部。 名称 定义 核心符号结论 位置特征 三角形的中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 若是的中线，则； 三条中线交于三角形内部（重心），全部在三角形内部 三角形的角平分线 三角形一个内角平分线和对边相交，顶点与交点之间的线段 若是的角平分线，则 三条角平分线交于三角形内部，全部在三角形内部 三角形的高 从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 若是的高，则， 锐角三角形：3 条高均在内部；直角三角形：两条直角边互为高；钝角三角形：2 条高在三角形外部 重要推论   （1）三角形的任意一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形；   （2）钝角三角形作外部高时，需要先延长对应边，垂足落在边的延长线上。 【基础必考题型】 【题型1】判断线段能否构成三角形 1.核心知识点   三角形三边关系定理；快速判定的简化方法（两短边之和大于最长边）。 2.解题方法技巧   ①把三条线段长度从小到大排序；   ②只计算较短两条之和，与最长边做大小比较；   ③相等或者小于最长边，则不能组成三角形。 【例题1】.（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题1-2】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（     ） A．三条线段一样长 B．三条线段的长度之比是 C．三条线段的长度分别是、、 D．三条线段的长度分别为、、 【题型2】求三角形第三边的取值范围 1.核心知识点   三角形两边之差＜第三边＜两边之和；结合整数、周长、限定最短/最长边条件求边长。 2.解题方法技巧   ①套用范围不等式，先写出基础取值区间；   ②结合题目附加条件（整数、周长奇偶、哪条边最短）做筛选；   ③实际情境问题注意边长大于0。 【例题2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两边长分别为1和5，则第三边的长可以为（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式题2-1】.（24-25七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【变式题2-2】.（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【变式题2-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下哪个长度可以与其构成三角形机械臂（     ） A． B． C． D． 【题型3】识别三角形的中线、角平分线、高 1.核心知识点   三角形三线定义；区分线段、射线、直线；会识别钝角三角形外部的高。 2.解题方法技巧   中线看对边中点；角平分线看角被平分；高看垂直符号；钝角三角形注意高可落在边的延长线上。 【例题3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，为休闲公园，拟从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等，供老年人分区休憩聊天，则小路是的（     ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【变式题3-3】.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A．中线、角平分线、高 B．高、角平分线、中线 C．高、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高 【题型4】中线相关线段与面积基础计算 1.核心知识点   中线平分对边；中线等分三角形面积；周长差的处理。 2.解题方法技巧   ①看到中线直接得到对边两段相等；   ②周长差问题，公共线段直接抵消，只比较两条不同边；   ③连续作多条中线，逐层对半计算面积。 【例题4】.（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式题4-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点在边上（点不与点、点重合），连接，点是边的中点，连接、．若的面积为，则阴影部分图形的面积和为（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】三边关系化简绝对值代数式 1.核心知识点   三角形三边不等关系；绝对值化简，判断代数式正负，去掉绝对值符号。 2.解题方法技巧   ①利用两边之和大于第三边判断每一个括号内式子正负；   ②正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号；   ③合并同类项化简结果。 【例题5】.（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知a，b，c是的三边． (1)若，，第三边c为奇数，判断的形状； (2)化简：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【题型6】大边对大角、大角对大边应用 1.核心知识点   同一三角形里边角对应关系，比较角大小、比较边大小。 2.解题方法技巧   比较角：找对应边，边越大对角越大；比较边：找对应角，角越大对边越大；注意必须在同一个三角形内才可以使用该结论。 【例题6】.（25-26七年级下·上海宝山·期末）在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【题型7】等面积法求三角形线段长 1.核心知识点   三角形面积公式；同一个三角形面积多种表达方式，等面积法建立等式。 2.解题方法技巧   ①找准一组底边和对应的高，写出面积表达式；   ②两种不同底‑高组合表示同一个三角形面积；   ③列方程求解未知高或者边长。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【压轴素养题型】 【题型8】实际情境建模三边关系问题 1.核心知识点   把生活测量、工程、实物框架情境抽象成三角形模型，三边关系解决实际问题，数学建模素养。 2.解题方法技巧   ①读懂情境，提取三条边的已知条件；   ②转化为三角形边长范围问题；   ③结果要符合现实实际意义。 【例题8】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． (1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； (2)小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 【变式题8-1】.（26-27八年级上·北京·课后作业）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【变式题8-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【题型9】三线综合探究推理题 1.核心知识点   中线、角平分线、高综合；结合平行、等量代换做几何推理，探究数量与位置关系。 2.解题方法技巧   ①根据三线性质得到相等线段或者相等角；   ②结合平行线性质，进行等量代换；   ③分步书写推理条件，完整推导结论。 【例题9】.（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知线段，，． (1)判断a和c的大小，并说明理由； (2)用a、b、c能构成三角形吗？为什么？ 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 易错点 1、判断三边能否组成三角形，直接验算一组就下结论，没有排序，误用两边之差；等腰三角形分类讨论之后，忘记检验三边关系，保留无效解。 2、混淆三角形三线概念：三角形的角平分线、高、中线都是线段，容易和射线、直线混淆；钝角三角形不会画外部高，忽略需要延长边。 3、使用 “大边对大角、大角对大边”，跨不同三角形使用定理，定理只适用于同一个三角形内部。 4、中线等分面积，反向误用：认为只要把三角形分成面积相等两部分的线段就一定是中线。 5、绝对值化简，不会利用三边关系判断正负，去绝对值符号符号出错。 重点 1、熟练掌握三角形三边关系，会判定能否构成三角形，能求出第三边取值范围，解决等腰三角形周长、边长计算。 2、理解三角形中线、角平分线、高的定义，能够识别、作图，掌握中线等分面积的重要性质。 3、掌握大边对大角、大角对大边，会在同一个三角形中比较边角大小。 4、会使用等面积法求高、边长，能完成简单几何推理。 难点 1、分类讨论思想：等腰三角形边长问题、钝角三角形高线位置，多种情况需要完整枚举并检验有效性。 2、利用三边关系证明线段不等，需要添加辅助线，多个不等式叠加推导，逻辑链条长。 3、钝角三角形外部高线识别与作图，结合高进行角度、线段计算。 4、实际情境、探究类题型，把现实问题抽象几何模型，综合三线性质做推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 5．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 6．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 三、解答题 7．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 8．如图，在四边形中，，是它的两条对角线．比较与四边形周长的大小． 9．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 10．如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形中的线段和角 知识点 1：三角形的三边关系   1. 定理内容：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，理论依据为两点之间，线段最短。   2. 实用判定方法：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两条线段之和大于最长线段即可，不需要全部三组不等式均验算。   3. 第三边取值范围：若三角形两边长为（），则第三边满足。 知识点 2：同一个三角形中大边对大角、大角对大边   1. 大边对大角：在同一个三角形中，边长较大的边，所对的内角也较大。符号语言：在中，若，则。   2. 大角对大边：在同一个三角形中，角度较大的内角，所对的边长也较大。符号语言：在中，若，则。 知识点 3：三角形的中线、角平分线、高   1. 三者均为线段，不是射线或直线；每个三角形各有三条，三条中线、三条角平分线交点均在三角形内部；三条高所在直线必交于一点，但高不一定全部在三角形内部。 名称 定义 核心符号结论 位置特征 三角形的中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 若是的中线，则； 三条中线交于三角形内部（重心），全部在三角形内部 三角形的角平分线 三角形一个内角平分线和对边相交，顶点与交点之间的线段 若是的角平分线，则 三条角平分线交于三角形内部，全部在三角形内部 三角形的高 从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 若是的高，则， 锐角三角形：3 条高均在内部；直角三角形：两条直角边互为高；钝角三角形：2 条高在三角形外部 重要推论   （1）三角形的任意一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形；   （2）钝角三角形作外部高时，需要先延长对应边，垂足落在边的延长线上。 【基础必考题型】 【题型1】判断线段能否构成三角形 1.核心知识点   三角形三边关系定理；快速判定的简化方法（两短边之和大于最长边）。 2.解题方法技巧   ①把三条线段长度从小到大排序；   ②只计算较短两条之和，与最长边做大小比较；   ③相等或者小于最长边，则不能组成三角形。 【例题1】.（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按顺序列举所有选取三根木棒的组合，再根据三角形三边关系筛选符合条件的组合． 【详解】解：从四根木棒中任选三根，所有组合为： ①、、， ∵， ∴能构成三角形； ②、、， ∵， ∴不能构成三角形； ③、、， ∵， ∴不能构成三角形； ④、、， ∵， ∴能构成三角形； 综上，符合条件的组合有2种． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（     ） A．三条线段一样长 B．三条线段的长度之比是 C．三条线段的长度分别是、、 D．三条线段的长度分别为、、 【答案】B 【详解】解：A、设三条线段的长都为， 则，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； B、设三条线段的长度分别为，，， 则，不满足三角形的三边关系，不可以围成三角形； C、由题意可知，， 则，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； D、，满足三角形的三边关系，可以围成三角形． 【题型2】求三角形第三边的取值范围 1.核心知识点   三角形两边之差＜第三边＜两边之和；结合整数、周长、限定最短/最长边条件求边长。 2.解题方法技巧   ①套用范围不等式，先写出基础取值区间；   ②结合题目附加条件（整数、周长奇偶、哪条边最短）做筛选；   ③实际情境问题注意边长大于0。 【例题2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）一个三角形的两边长分别为1和5，则第三边的长可以为（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为1和5， ∴, 即， 选项中只有5符合该取值范围． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系可得：， 计算得， 在范围内选取，符合要求．（答案不唯一，满足即可） 【变式题2-2】.（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可得出结果． 【详解】解：设池塘两端、之间的距离为米， 由三角形三边关系可得：， 即， ∴池塘两端、之间的距离可能是12米． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下哪个长度可以与其构成三角形机械臂（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再对比选项得到符合条件的长度． 【详解】解：设第三根连杆的长度为，则 ， 即 ， 对比选项，只有满足，因此选D． 【题型3】识别三角形的中线、角平分线、高 1.核心知识点   三角形三线定义；区分线段、射线、直线；会识别钝角三角形外部的高。 2.解题方法技巧   中线看对边中点；角平分线看角被平分；高看垂直符号；钝角三角形注意高可落在边的延长线上。 【例题3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，为休闲公园，拟从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等，供老年人分区休憩聊天，则小路是的（     ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等， ∴小路是的中线． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A．中线、角平分线、高 B．高、角平分线、中线 C．高、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的角平分线，中线，高，解题的关键是读懂图象信息．根据三角形的高，角平分线，中线的定义判断即可． 【详解】解：观察图形可知，依次是的高、角平分线、中线． 故选：B． 【题型4】中线相关线段与面积基础计算 1.核心知识点   中线平分对边；中线等分三角形面积；周长差的处理。 2.解题方法技巧   ①看到中线直接得到对边两段相等；   ②周长差问题，公共线段直接抵消，只比较两条不同边；   ③连续作多条中线，逐层对半计算面积。 【例题4】.（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点在边上（点不与点、点重合），连接，点是边的中点，连接、．若的面积为，则阴影部分图形的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：点是边的中点， ，， ， ． 【培优高频题型】 【题型5】三边关系化简绝对值代数式 1.核心知识点   三角形三边不等关系；绝对值化简，判断代数式正负，去掉绝对值符号。 2.解题方法技巧   ①利用两边之和大于第三边判断每一个括号内式子正负；   ②正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号；   ③合并同类项化简结果。 【例题5】.（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知a，b，c是的三边． (1)若，，第三边c为奇数，判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键： （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 又∵c为奇数， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解：， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解：，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 【题型6】大边对大角、大角对大边应用 1.核心知识点   同一三角形里边角对应关系，比较角大小、比较边大小。 2.解题方法技巧   比较角：找对应边，边越大对角越大；比较边：找对应角，角越大对边越大；注意必须在同一个三角形内才可以使用该结论。 【例题6】.（25-26七年级下·上海宝山·期末）在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】确定两个角对应的对边，利用大角对大边即可比较边长大小． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：在同一个三角形中，大角对大边． 的对边为，的对边为， 已知， 可得，即． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】略 【题型7】等面积法求三角形线段长 1.核心知识点   三角形面积公式；同一个三角形面积多种表达方式，等面积法建立等式。 2.解题方法技巧   ①找准一组底边和对应的高，写出面积表达式；   ②两种不同底‑高组合表示同一个三角形面积；   ③列方程求解未知高或者边长。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 【答案】 8 【分析】根据三角形面积公式，面积等于底与高乘积的一半，已知面积和底边长，可求出边上的高． 【详解】 解：设点到直线的距离为， ∵， ∴， 解得，故点到直线的距离为8． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________． 【答案】 4 【分析】先根据三角形中线的性质得，进而求出，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， 解得． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 【答案】8 【分析】设中，边上的高是h，根据三角形中线的性质可得的面积，再由，可得的面积，即可求解． 【详解】解：设中，边上的高是h， ∵的面积为60，为的中线， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：， 即中，边上的高是8． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴ ． 【压轴素养题型】 【题型8】实际情境建模三边关系问题 1.核心知识点   把生活测量、工程、实物框架情境抽象成三角形模型，三边关系解决实际问题，数学建模素养。 2.解题方法技巧   ①读懂情境，提取三条边的已知条件；   ②转化为三角形边长范围问题；   ③结果要符合现实实际意义。 【例题8】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． (1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； (2)小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 【答案】(1) 解：浅色灯带长． 理由：浅色灯带装饰三角形的两条边，深色灯带装饰第三条边． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边． 根据三角形两边之和大于第三边，可得浅色灯带长． (2)三角形每条边的长度分别为，， 【分析】本题考查了三角形三边关系和一元一次方程的应用，解题的关键是（1）利用“三角形两边之和大于第三边”比较灯带长度；（2）设出连续自然数表示的三边长，根据周长列方程求解． （1）根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，判断浅色灯带与深色灯带的长度关系； （2）设中间边长为，用含的式子表示另外两边，根据周长为列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设中间的边长为，由题意得， ，解得， ，， 故三角形每条边的长度分别为80，81，82． 【变式题8-1】.（26-27八年级上·北京·课后作业）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)购买铁条共需元 【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元）， 答：购买铁条共需元． 【变式题8-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】 有，捷径：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】略 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等 (3)；； 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断，面积相等，，面积相等，，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离， ∴两个三角形等底同高， ∴面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；． 【题型9】三线综合探究推理题 1.核心知识点   中线、角平分线、高综合；结合平行、等量代换做几何推理，探究数量与位置关系。 2.解题方法技巧   ①根据三线性质得到相等线段或者相等角；   ②结合平行线性质，进行等量代换；   ③分步书写推理条件，完整推导结论。 【例题9】.（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知线段，，． (1)判断a和c的大小，并说明理由； (2)用a、b、c能构成三角形吗？为什么？ 【答案】(1)， 理由：， ∵线段， ， ， ； (2)不能构成三角形， 理由： ， ， ， ， ， ，即a、b、c不能构成三角形． 【分析】（1）先计算，再由得即可比较大小； （2）先计算，得，再计算，即可根据三角形三边的关系判断． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 【变式题9-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【答案】(1)D (2)22 (3) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）用z表示，，根据三角形三边关系构造不等式组，求得解集，结合定义，求得正整数解即可； （3）根据定义，不等式组的整数解，三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：A．中，三个数都不是正整数，不符合要求；   B．2，5，8中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； C．3，3，6中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求；       D．2，3，4中，三个数都是正整数，且，构成三角形，符合要求； （2）解： 得，， 得，，即， ∴， 解得 ∵，，构成“和雅三角形”， ∴， ∴， 解得， 又，为正整数， ∴正整数， ∴， ∴， ∴“和雅三角形”的周长为22； （3）解： 由①解得， 由②解得，， ∴， ∵所有整数解中存在“和雅三数组”， ∴不等式组的整数解中必包含5，6，7 ∴， ∴ ∵它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，又， ∴不等式组的最大整数解必小于11， ∴ ∴ ∴的取值范围为． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 易错点 1、判断三边能否组成三角形，直接验算一组就下结论，没有排序，误用两边之差；等腰三角形分类讨论之后，忘记检验三边关系，保留无效解。 2、混淆三角形三线概念：三角形的角平分线、高、中线都是线段，容易和射线、直线混淆；钝角三角形不会画外部高，忽略需要延长边。 3、使用 “大边对大角、大角对大边”，跨不同三角形使用定理，定理只适用于同一个三角形内部。 4、中线等分面积，反向误用：认为只要把三角形分成面积相等两部分的线段就一定是中线。 5、绝对值化简，不会利用三边关系判断正负，去绝对值符号符号出错。 重点 1、熟练掌握三角形三边关系，会判定能否构成三角形，能求出第三边取值范围，解决等腰三角形周长、边长计算。 2、理解三角形中线、角平分线、高的定义，能够识别、作图，掌握中线等分面积的重要性质。 3、掌握大边对大角、大角对大边，会在同一个三角形中比较边角大小。 4、会使用等面积法求高、边长，能完成简单几何推理。 难点 1、分类讨论思想：等腰三角形边长问题、钝角三角形高线位置，多种情况需要完整枚举并检验有效性。 2、利用三边关系证明线段不等，需要添加辅助线，多个不等式叠加推导，逻辑链条长。 3、钝角三角形外部高线识别与作图，结合高进行角度、线段计算。 4、实际情境、探究类题型，把现实问题抽象几何模型，综合三线性质做推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于C选项：∵， ∴能组成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能组成三角形． 2．以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 3．下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高，D选项中线段是中边上的高． 二、填空题 4．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 【答案】 【分析】直角三角形中最长边为斜边，两条较短边为直角边，先利用直角边求出三角形面积，再根据面积不变，求出最长边上的高． 【详解】解：由题意知，长度为和的边是直角边， ， 设最长边上的高为， ∴，解得． 5．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 6．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 三、解答题 7．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 8．如图，在四边形中，，是它的两条对角线．比较与四边形周长的大小． 【答案】小于四边形的周长 【分析】根据三角形三边关系得到，，，，然后相加求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 得，， ∴ ∴小于四边形的周长． 9．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)解：如图，即为所求； 【分析】（1）根据高的定义，借助网格构造直角即可； （2）借助网格寻找边的中点即可； （3）借助网格寻找边的三等分点即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，边（不含端点）经过的格点即为点E，连接，则，由图形可知和等底同高，所以； （3）解：如图，设网格中每个小正方形的边长为1，则，在上取,使，则，连接，由图形可知和同高，它们的底分别为，所以． 10．如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $