第3章 勾股定理 单元复习培优讲义（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过知识点框架图系统梳理知识体系，涵盖勾股定理及逆定理、勾股数、验证方法和五大应用模型，结合分层题型归纳呈现知识脉络，突出直角三角形边长计算、逆定理判定等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层精练设计，基础题型如边长计算培养运算能力，培优题型如立体图形最短路径（蚂蚁爬行）发展空间观念与模型意识，压轴题型如新定义“巳巳如意三角形”题提升创新意识。方法指导强调面积法、方程思想，支持不同层次学生提升，助力教师实施精准复习教学。

第3章 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.定理内容：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方；在，中，（为直角边，为斜边）。 2.公式变形：，，已知两边可求第三边。 3.几何意义：以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积。 4.适用范围：仅直角三角形可用，普通三角形不满足该数量关系。 知识点2：勾股定理的验证（面积法） 1.核心思路：用两种不同方式表示同一图形的总面积，通过面积相等推导。 2.经典证法：赵爽弦图、直角梯形拼图、达芬奇剪拼法，均采用“算两次”面积思想。 3.解题关键：拆分图形，区分全等直角三角形、正方形的面积表达式。 知识点3：勾股定理的逆定理 1.定理内容：若三角形三边长满足，则这个三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。 2.判定步骤：先找出三边中最长边，计算两条短边平方和与最长边平方，对比二者是否相等。 3.拓展判定：若为钝角三角形；为锐角三角形。 知识点4：勾股数 1.定义：满足的一组正整数，必须同时满足三个数均为整数。 2.基础勾股数组：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。 3.性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，得到的新数组仍是勾股数。 4.通用构造式：；。 知识点5：勾股定理常见应用模型 1.平面几何模型：折叠对称、网格格点、垂美四边形、等腰三角形求高。 2.立体几何模型：长方体、圆柱侧面展开求最短爬行路径。 3.实际情境模型：航海方位、旗杆测量、梯子滑动、水池芦苇问题。 4.代数模型：利用构图法求含二次根式代数式的最小值。 【基础必考题型】 【题型1】勾股定理基础边长计算 1.核心知识点：直角三角形三边平方关系；勾股定理公式变形；区分直角边与斜边 2.解题方法技巧 ①先确定斜边：最长边为斜边，代入；已知斜边求直角边用减法变形 ②两边长未指明直角/斜边时，分两种情况分类讨论，避免漏解 ③计算后开方取正线段长度，舍去负根 【例题1】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】先根据已知求出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：在中， ， ， ， ． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：另一条直角边长为． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 【答案】B 【详解】在中，米 【题型2】利用逆定理判定直角三角形 1.核心知识点：勾股逆定理；最长边判定；锐角、钝角三角形区分 2.解题方法技巧 ①排序三边，固定最长边作为，计算与对比 ②小数、分数数组不能称为勾股数，仅能判定直角三角形 ③网格题直接计算各线段平方，快速验证平方等量关系 【例题2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用勾股定理逆定理逐一判断即可解答． 【详解】解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，不能组成直角三角形； C选项：，不能组成直角三角形； D选项：，能组成直角三角形． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·陕西汉中·期中）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【答案】等腰直角 【分析】根据已知三边长，先判断边的相等关系，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．，， C．8，15，17 D．0.6，0.8，1 【答案】C 【详解】解：A选项中，，，∴不是勾股数； B选项中，，不是正整数，∴不是勾股数； C选项中，且三个数均为正整数，∴是勾股数； D选项中0.6，0.8，1不全是正整数，∴不是勾股数． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·重庆·阶段检测）图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 【题型3】勾股数识别与规律填空 1.核心知识点：勾股数定义；基础勾股数组；勾股数整数倍性质 2.解题方法技巧 ①先验证三个数是否均为正整数，非整数直接排除 ②套用通用构造式，快速写出第组勾股数 ③已知一组勾股数，同乘倍数直接生成新勾股数组 【例题3】.（2026·贵州黔东南·三模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西延安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、，，都为小数，不是正整数，不是勾股数； B、不是正整数，不是勾股数； C、，，，不是勾股数； D、，且3，4，5均为正整数，是勾股数． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 【题型4】网格格点作图与长度计算 1.核心知识点：网格线段平方构造；格点直角三角形判定；构图法求面积 2.解题方法技巧 ①横纵格数为直角边，线段平方=横向格数²+纵向格数² ②作长度的线段，拆分为两个完全平方数之和 ③割补法求格点三角形面积，整体矩形减去四周直角三角形 【例题4】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期中）利用网格作图，要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均在正方形网格格点上，在边上找一点，使点到和的距离相等； (2)在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线． 【答案】(1) 如图所示： (2)如图所示： 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据网格作的角平分线与线段的交点即为所求； （2）取格点，连接，取的中点，作射线交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，找到网格点M、N， 连接交于点P即为所求； ∵正方形， ∴为的角平分线， ∴到和的距离相等； （2）解：如图②中，取格点，连接，取的中点，作射线交于点， 在网格图中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是的中线，也是的角平分线， ∴即为所求． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 【变式题4-3】.（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【答案】(1) 如图，点即为所求，如图，点即为所求． (2) 如图，即为所求． (3) 如图，即为所求． 【分析】（1）在图中根据网格特征，作等腰直角即可得出；在图中，作等腰直角，再作，交于，根据平行线的性质即可得出； （2）过点作的垂线，截取，连接，作出即可； （3）过点作的垂线，作的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交的角平分线于，过点作于，即为所求． 【详解】（1）解：图中，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图中，同理可得是等腰直角三角形， ∴， 由网格特征可知，， ∴． （2）略 （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴即为所求． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理面积模型（勾股树/弦图） 1.核心知识点：直角三角形三边正方形面积关系；赵爽弦图面积等量关系 2.解题方法技巧 ①勾股树：每层两个小正方形面积之和等于上层正方形面积 ②弦图计算：大正方形面积=4个全等直角三角形面积+中间小正方形面积 ③多个嵌套正方形求和，逐层利用面积传递规律简化运算 【例题5】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【答案】 【分析】由已知图形得到第n个图形中正方形有个，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第6个图形中正方形有个， ∴第6个图形里的正方形比第4个图形多个． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·重庆江津·期末）在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，可得， ，，求解，，如图，连接，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接，过作于， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（2026·辽宁抚顺·二模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【答案】 【分析】根据，得出，证明，得出，,勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴，, 在中， ∴． 【题型6】实际情境应用题 1.核心知识点：生活问题数学建模；直角三角形构造；方程思想 2.解题方法技巧 ①提取题干垂直条件，画出直角三角形简图标注边长 ②设未知线段为，结合勾股定理列一元一次方程求解 ③结果符合实际长度，舍去负数解 【例题6】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【分析】先利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再在中用勾股定理求出长度，最后用减去得到的长． 【详解】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】(1)解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要米 (2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 【题型7】立体图形最短路径（蚂蚁爬行） 1.核心知识点：立体侧面展开；两点之间线段最短；展开后直角三角形构造 2.解题方法技巧 ①圆柱、长方体沿棱剪开铺平，转化平面直角三角形 ②长方体分三种展开方式，分别计算路径再取最小值 ③底面周长、高作为两条直角边，斜边即为最短路线 【例题7】.（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【答案】(1)路线1较短， (2)当时，路线2较短 【分析】(1) 分别求出两种路线的长度的平方，利用作差法比较大小． (2) 用表示两种路线的长度的平方，通过作差法建立不等式，求解的范围． 【详解】（1）解：由题意，圆柱底面半径，高， 路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为， ， 路线2：， ， ， 又， ， ， 路线1较短． （2）解：圆柱底面半径为，高为， 路线1：， 路线2：， ， ， ， ， 当路线2较短时，， 即， ， ， ， 又， ， ． 【压轴素养题型】 【题型8】勾股定理的多种面积证明 1.核心知识点：面积法（算两次）；拼图分割；数形结合思想 2.解题方法技巧 ①拆分图形为已知规则图形，分别写出总面积表达式 ②等式两边消去相同项，化简得到 ③牢记赵爽弦图、直角梯形两类标准证明书写步骤 【例题8】.（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 (1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； 【定理应用】 (2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点B到边的距离； (3)如图3，在中，，点E是高上一点，．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）由图可得外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积，然后问题可求解； （2）由图可得的面积为，设点B到边的距离为，由勾股定理得，然后根据三角形面积公式可进行求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，设，则，进而根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴， 整理，得． （2）解：由图可知：的面积， 设点B到边的距离为， 由勾股定理得， ∴的面积， 解得， 即点B到边的距离为； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【题型9】含无理数代数式最值（构图法） 1.核心知识点：几何转化代数；两点之间线段最短；勾股计算距离 2.解题方法技巧 ①将看作直角边的斜边长 ②横轴分段表示变量，竖轴固定高度构造双直角三角形 ③两点连线为最短距离，用勾股定理计算最小值 【例题9】.（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 【变式题9-2】.（2026·湖北襄阳·模拟预测）日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 【题型10】新定义类勾股综合题 1.核心知识点：阅读理解；新四边形/新三角形定义；勾股定理综合推导 2.解题方法技巧 ①完整拆解题干新定义，标记限定条件 ②作垂线构造直角三角形，转化为常规勾股模型 ③分概念理解、性质证明、数值计算三层分步作答 【例题10】.（25-26八年级下·全国·单元测试）在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 【答案】(1)是 (2) 该三角形是“巳巳如意三角形”．理由如下： ，， ， ∴该三角形是“巳巳如意三角形”． (3)的值为 【分析】（1）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可； （2）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可； （3）先由勾股定理求出的值，再根据“巳巳如意三角形”的定义判断出正确的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：是． ∵三角形为等腰直角三角形， ∴设直角边为，则斜边为 ∵， ∴该结果等于另一条直角边平方的倍，满足“巳巳如意三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”． （2）略 （3）解：∵在中，三边长分别为，，，且，， 或． 当时，，即， 此时这个三角形是“巳巳如意三角形”， （负值已舍去）； 当时，，，， 此时这个三角形不是“巳巳如意三角形”． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、“巳巳如意三角形”的定义，熟练掌握勾股定理和“巳巳如意三角形”的定义是解题的关键． 【变式题10-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）连接，证明得出，结合新定义，即可得证． （2）根据等对四边形的定义得出，结合网格特点和勾股定理找到点，再根据勾股定理求得线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴四边形是等对四边形． （2）解：如图所示， ∵点在格点上，且四边形是等对四边形， ∴， ∴，，． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）【综合与探究】定义：如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的“勾股分割点”． (1)【数学思考】已知M，N把线段分割成，，，若，，，则点M，N是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． (2)【深入探究】已知点M，N是线段的“勾股分割点”，若为以，，为边的三角形的直角边，若，，请求出的长． 【答案】(1)是； 理由如下： ，，， ， 以，，为边的三角形是一个直角三角形， 点M，N是线段的“勾股分割点”； (2)的长为5或3 【分析】（1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方即可； （2）分两种情况进行讨论：当为最大线段时，当为最大线段时，分别计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ①当为最大线段时，根据题意得，，即， 解得：， ②当为最大线段时，根据题意得，，即， 解得， 综上所述，的长为5或3． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：连接， 和都是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， ∴点是的和谐点 (2)或或2 【分析】（1）根据和都是等边三角形，可得，同时，，可证明，得到，根据，所以在中，，用替换，得到，即可证明点是的“和谐点”． （2）如图3所示：①当最长时：可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；②当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；③当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时． 【详解】（1）略． （2）解：如图3所示：①当最长时： 可以找到一个点P，此时， ， 所以，故； ②当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故； ③当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故， 所以的长为或或2． 易错点 1.使用勾股定理不区分直角边与斜边，直接将任意边代入。 2.已知直角三角形两边长，未分类讨论斜边，出现漏解情况。 3.判定勾股数时，将小数、分数数组误认为勾股数。 4.立体最短路径只算一种展开方式，未对比所有展开的长度最小值。 5.折叠问题忽略折叠全等，无法找到相等线段构建方程。 重点 1.勾股定理及其逆定理的计算、判定，是本章核心基础。 2.折叠、网格、勾股树三大经典面积模型的计算方法。 3.利用勾股定理建立方程，解决线段长度未知问题。 4.实际情境、跨学科问题的几何建模能力。 5.垂美四边形、构图求代数式最值拓展模型。 难点 1.动点直角三角形多情况分类讨论，容易遗漏直角顶点。 2.立体图形多种展开路径对比，求最短距离。 3.新定义、数学文化探究题的阅读理解与模型转化。 4.平方和差类几何证明，辅助线构造思路。 5.等腰、垂美四边形综合多结论推理证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1， D．2，3，4 【答案】D 【分析】找出每组数中的最长边，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，能构成直角三角形，不符合题意； B选项，，能构成直角三角形，不符合题意； C选项，，能构成直角三角形，不符合题意； D选项，，，，不能构成直角三角形，符合题意． 2．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 3．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设的长为尺，则的长为尺， 在中，，则由勾股定理得， ∴． 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 5．如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据度求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图，    根据作图可得， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理可得：， ， ． 二、填空题 6．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 【答案】10 【分析】延长到点E，使，连接，证明，利用全等的性质得到对应边的长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ， ， ∵是的中线， ， ∵在和中， ， ， ∴，， ， ， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 7．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 8．如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求解． 【详解】解：由题意知：， 在中，， ∵是以长为半径画弧， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点所表示的数为． 9．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 10．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 【答案】 【分析】连接，令与的交点为O，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为O， ∵点B恰好落在直线上， ∴、、B三点共线， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴​． 三、解答题 11．如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【答案】这块试验田的面积是 【分析】在中由勾股定理求出，再证明是直角三角形，再根据解答即可． 【详解】解：，，， ． 在中，，，， ∴，，， ， 是直角三角形，， ， 这块试验田的面积是． 12．如图，点在梯形的边上，，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】利用勾股定理，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，求解即可； 【详解】解：，，， ， 是等腰直角三角形， ，         ，，， ， 是直角三角形， ，                         ； 13．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 14．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 15．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形； (2)池塘两端，之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：是直角三角形，点，，在同一直线上， ， ， 即池塘两端，之间的距离为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.定理内容：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方；在，中，（为直角边，为斜边）。 2.公式变形：，，已知两边可求第三边。 3.几何意义：以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积。 4.适用范围：仅直角三角形可用，普通三角形不满足该数量关系。 知识点2：勾股定理的验证（面积法） 1.核心思路：用两种不同方式表示同一图形的总面积，通过面积相等推导。 2.经典证法：赵爽弦图、直角梯形拼图、达芬奇剪拼法，均采用“算两次”面积思想。 3.解题关键：拆分图形，区分全等直角三角形、正方形的面积表达式。 知识点3：勾股定理的逆定理 1.定理内容：若三角形三边长满足，则这个三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。 2.判定步骤：先找出三边中最长边，计算两条短边平方和与最长边平方，对比二者是否相等。 3.拓展判定：若为钝角三角形；为锐角三角形。 知识点4：勾股数 1.定义：满足的一组正整数，必须同时满足三个数均为整数。 2.基础勾股数组：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。 3.性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，得到的新数组仍是勾股数。 4.通用构造式：；。 知识点5：勾股定理常见应用模型 1.平面几何模型：折叠对称、网格格点、垂美四边形、等腰三角形求高。 2.立体几何模型：长方体、圆柱侧面展开求最短爬行路径。 3.实际情境模型：航海方位、旗杆测量、梯子滑动、水池芦苇问题。 4.代数模型：利用构图法求含二次根式代数式的最小值。 【基础必考题型】 【题型1】勾股定理基础边长计算 1.核心知识点：直角三角形三边平方关系；勾股定理公式变形；区分直角边与斜边 2.解题方法技巧 ①先确定斜边：最长边为斜边，代入；已知斜边求直角边用减法变形 ②两边长未指明直角/斜边时，分两种情况分类讨论，避免漏解 ③计算后开方取正线段长度，舍去负根 【例题1】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，求的长． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 【题型2】利用逆定理判定直角三角形 1.核心知识点：勾股逆定理；最长边判定；锐角、钝角三角形区分 2.解题方法技巧 ①排序三边，固定最长边作为，计算与对比 ②小数、分数数组不能称为勾股数，仅能判定直角三角形 ③网格题直接计算各线段平方，快速验证平方等量关系 【例题2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（25-26八年级下·陕西汉中·期中）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．，， C．8，15，17 D．0.6，0.8，1 【变式题2-3】.（25-26八年级上·重庆·阶段检测）图中，是直角三角形的序号是________． 【题型3】勾股数识别与规律填空 1.核心知识点：勾股数定义；基础勾股数组；勾股数整数倍性质 2.解题方法技巧 ①先验证三个数是否均为正整数，非整数直接排除 ②套用通用构造式，快速写出第组勾股数 ③已知一组勾股数，同乘倍数直接生成新勾股数组 【例题3】.（2026·贵州黔东南·三模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西延安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题3-2】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【题型4】网格格点作图与长度计算 1.核心知识点：网格线段平方构造；格点直角三角形判定；构图法求面积 2.解题方法技巧 ①横纵格数为直角边，线段平方=横向格数²+纵向格数² ②作长度的线段，拆分为两个完全平方数之和 ③割补法求格点三角形面积，整体矩形减去四周直角三角形 【例题4】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期中）利用网格作图，要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均在正方形网格格点上，在边上找一点，使点到和的距离相等； (2)在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【变式题4-3】.（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理面积模型（勾股树/弦图） 1.核心知识点：直角三角形三边正方形面积关系；赵爽弦图面积等量关系 2.解题方法技巧 ①勾股树：每层两个小正方形面积之和等于上层正方形面积 ②弦图计算：大正方形面积=4个全等直角三角形面积+中间小正方形面积 ③多个嵌套正方形求和，逐层利用面积传递规律简化运算 【例题5】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·重庆江津·期末）在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（2026·辽宁抚顺·二模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【题型6】实际情境应用题 1.核心知识点：生活问题数学建模；直角三角形构造；方程思想 2.解题方法技巧 ①提取题干垂直条件，画出直角三角形简图标注边长 ②设未知线段为，结合勾股定理列一元一次方程求解 ③结果符合实际长度，舍去负数解 【例题6】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【题型7】立体图形最短路径（蚂蚁爬行） 1.核心知识点：立体侧面展开；两点之间线段最短；展开后直角三角形构造 2.解题方法技巧 ①圆柱、长方体沿棱剪开铺平，转化平面直角三角形 ②长方体分三种展开方式，分别计算路径再取最小值 ③底面周长、高作为两条直角边，斜边即为最短路线 【例题7】.（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【变式题7-3】.（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【压轴素养题型】 【题型8】勾股定理的多种面积证明 1.核心知识点：面积法（算两次）；拼图分割；数形结合思想 2.解题方法技巧 ①拆分图形为已知规则图形，分别写出总面积表达式 ②等式两边消去相同项，化简得到 ③牢记赵爽弦图、直角梯形两类标准证明书写步骤 【例题8】.（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 (1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； 【定理应用】 (2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点B到边的距离； (3)如图3，在中，，点E是高上一点，．若，，求的长． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【题型9】含无理数代数式最值（构图法） 1.核心知识点：几何转化代数；两点之间线段最短；勾股计算距离 2.解题方法技巧 ①将看作直角边的斜边长 ②横轴分段表示变量，竖轴固定高度构造双直角三角形 ③两点连线为最短距离，用勾股定理计算最小值 【例题9】.（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【变式题9-2】.（2026·湖北襄阳·模拟预测）日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【题型10】新定义类勾股综合题 1.核心知识点：阅读理解；新四边形/新三角形定义；勾股定理综合推导 2.解题方法技巧 ①完整拆解题干新定义，标记限定条件 ②作垂线构造直角三角形，转化为常规勾股模型 ③分概念理解、性质证明、数值计算三层分步作答 【例题10】.（25-26八年级下·全国·单元测试）在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 【变式题10-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）【综合与探究】定义：如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的“勾股分割点”． (1)【数学思考】已知M，N把线段分割成，，，若，，，则点M，N是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． (2)【深入探究】已知点M，N是线段的“勾股分割点”，若为以，，为边的三角形的直角边，若，，请求出的长． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 易错点 1.使用勾股定理不区分直角边与斜边，直接将任意边代入。 2.已知直角三角形两边长，未分类讨论斜边，出现漏解情况。 3.判定勾股数时，将小数、分数数组误认为勾股数。 4.立体最短路径只算一种展开方式，未对比所有展开的长度最小值。 5.折叠问题忽略折叠全等，无法找到相等线段构建方程。 重点 1.勾股定理及其逆定理的计算、判定，是本章核心基础。 2.折叠、网格、勾股树三大经典面积模型的计算方法。 3.利用勾股定理建立方程，解决线段长度未知问题。 4.实际情境、跨学科问题的几何建模能力。 5.垂美四边形、构图求代数式最值拓展模型。 难点 1.动点直角三角形多情况分类讨论，容易遗漏直角顶点。 2.立体图形多种展开路径对比，求最短距离。 3.新定义、数学文化探究题的阅读理解与模型转化。 4.平方和差类几何证明，辅助线构造思路。 5.等腰、垂美四边形综合多结论推理证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1， D．2，3，4 2．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 7．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 8．如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 9．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 10．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 三、解答题 11．如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 12．如图，点在梯形的边上，，，，，．求的度数． 13．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 14．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 15．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $