5.1 导数的概念课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦导数概念，从平均变化率入手，通过割线逼近切线的几何直观和瞬时速度的物理背景，构建从具体到抽象的知识支架，衔接函数变化率与极限思想，帮助学生逐步理解导数的定义与意义。 其特色在于采用分层训练（基础、中档、拔高）对接高考，结合思维导图梳理知识，通过典例与变式详解（如切线方程求解、瞬时速度计算）培养数学抽象与直观想象素养，融入实际应用案例（如烟花运动、污水治理），助力学生深化概念理解，教师可实现一体化教学提升效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第五章 导数及其应用 5.1 导数的概念 本节引导学生从瞬时变化率角度理解导数概念，掌握导数的定义与几何意义，会求简单函数在某点处的导数，体会极限思想，提升数学抽象与直观想象素养。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括80张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 平均变化率 1 平均变化率的概念 函数在区间上的平均变化率为 . 特别提醒 1.平均变化率是函数值的改变量与自变量的改变量的比值，由于需要用到 区间的端点及其函数值，所以刻画的是函数值在闭区间 上变化的快慢，不能 写成开区间. 2.区间是函数 的定义域的一个子集. 3.函数值在区间上变化的快慢取决于函数在区间 上的平均变化率 的绝对值的大小.该绝对值越大，则变化得越快. 4 2 平均变化率的几何意义 图5.1-1 对于函数定义域内任意的, ，设 ,，则函数在区间 上的 平均变化率为 ，如图5.1-1所示，即函数 在区间 上的平均变化率的几何意义是函数图象 上过, 两点的直线的斜率.（链接教材P190【思考】：一 次函数 在其定义域内任意区间的平均变 化率均为 ） 5 学思用·典例详解 图5.1-5 例1-1 [教材改编P188例1]如图5.1-5，分别求函数 在区间 ，, 上的平均变化率. 【解析】在上的平均变化率为 ; 在上的平均变化率为 ;（平均变化率为0， 不代表函数值在此区间上都是相等的）在 上的平均变化率为 . 6 例1-2 ［教材改编P189例4］已知和在区间 上的平 均变化率分别为和 ,则( ) B A. B. C. D.不确定 【解析】由题意， ， ， 故 . 7 知识点2 曲线上一点处的切线 1 割线逼近切线 图5.1-2 如图5.1-2,设为曲线上不同于的一点,这时,直线 称为曲线的割线.随着点沿曲线向点运动,割线在点 附近越来越逼近曲线.当点无限逼近点时,直线 最终 就成为在点处最逼近曲线的直线,这条直线 称为曲线在点 处的切线. 8 2 切线的斜率 图5.1-3 如图5.1-3，设曲线上一点，过点 的一条割线交曲线于另一点 , 则割线 的斜率为 . 当点沿曲线向点运动，并无限逼近点 时， 割线逼近点的切线 ，从而割线的斜率逼近切 线的斜率，即当无限趋近于0时， 无 限趋近于点 处的切线的斜率. 知识剖析 1.表示的改变量，可正也可负，但不可为0，当 取负值时，上述 中的点位于点 的左侧. 9 2.用割线的最终位置定义切线的性质：①切线与切点的位置有关；②要依据割线 是否存在最终位置判断是否存在切线；③若曲线在某点处存在切线，则切线是唯一的. 10 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 图5.1-6 直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点称为 切点，直线称为圆的切线.这个定义对于一般曲线是否适用？ 提示 圆的切线定义不适用于一般的曲线.如图 5.1-6中的曲线 ， 直线与曲线有唯一的公共点，但不是曲线的切线；直线 虽然与曲线有不止一个公共点，但是曲线在点 处的切线.通过逼近方法将割线趋 近于确定位置的直线定义为切线适用于各种曲线. 这种定义才真正反映了切线的本质. 11 例2-3 [教材改编P192例5] （1）已知，求曲线在 处的切线斜率； 【解析】设， ， 则割线 的斜率为 . 当无限趋近于0时，无限趋近于常数5，从而曲线在 处的切线斜 率为5. 12 （2）已知，若曲线 的一条切线的斜率为4，求切点的横坐标. 【解析】设切点为，曲线上另外一点,割线 的斜率为 . 当无限趋近于0时，无限趋近于，因为切线的斜率为4，所以 ，解得 . 故切点 的横坐标为2. 13 知识点3 瞬时速度与瞬时加速度 平均速度 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. 瞬时速度 一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体位移 的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 时 的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 瞬时加速度 一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体速度 的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 时 的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率. 14 学思用·典例详解 例3-4 ［教材改编P195 T2］一质点的运动方程为，其中 表示位移 （单位：），表示时间（单位： ）. （1）求该质点在 这段时间内的平均速度; 【解析】该质点在 这段时间内的平均速度为 . （2）求该质点在 时的瞬时速度. 【解析】由（1）知 .（【破题点】求瞬时速度的前提是先求出平均速 度，然后令无限趋近于0即可）当无限趋近于0时，无限趋近于 ,所以该质点 在时的瞬时速度为 . . . 15 知识点4 导数 1 导数的概念 设函数在区间（ 注意此处是开区间.）上有定义， ，若 无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数，则称 在 处可导，并称该常数为函数在 处的导数（也称为瞬时变化率）， 记作，表示为 .#1 . . 16 知识剖析 理解导数概念的关键点 1.表示自变量的改变量，表示相应的函数的改变量；符号“ ”表示“无限 趋近于”；“ ”表示极限. 2.函数在处的导数即函数在 处的瞬时变化率,是 一个常数. 3.当时，若函数在处左右极限存在并且相等，则说明 有极限， 函数在处可导.若函数在处左右极限不存在或不相等，则称函数 在 处不可导，比如，，函数在处的左极限是 ，右极限是1，所以函 数在 处无极限，即不可导.#1.1.1.3 17 2 导数的几何意义 （1）导数的几何意义就是曲线在点 处的切线的斜率, 如图5.1-4. 图5.1-4 18 （2）曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 曲线在 附近的升降情况 切线的斜率 切线的倾斜角 上升 锐角 下降 钝角 平坦 零角 越大，曲线的变化就越大，曲线越陡峭, 越小，曲线的变化就越 小，曲线越平坦.（【记忆口诀】正则升，负则降；大则快，小则慢） 19 知识剖析 1.如果函数在处可导，那么曲线在点 处 存在切线，且切点为，斜率 ，则切线方程为 .（点斜式） 2.曲线在 处的导数不存在，并非曲线在该点不存在切线，如曲线 在处的导数不存在，但在处存在切线，切线为直线 . 3.若，则曲线在处的切线的倾斜角为锐角;若 ,则曲线 在处的切线的倾斜角为钝角;若,则曲线在处的切线与 轴平行 或重合. . . 20 学思用·典例详解 例4-5 [教材改编P196 例7]函数在 处的导数为____． 16 【解析】因为 ,所以当 时，,即 . 故函数在 处的导数为16. 21 例4-6 如图5.1-7，已知直线是曲线在处的切线，则 的值为_ ___. 图5.1-7 【解析】由图可知直线过点，，则直线的斜率 ，根 据导数的几何意义可得 . 22 图5.1-8 例4-7 已知函数在 上可导，其部分图象如图5.1-8所示，设 ,则下列不等式正确的是( ) B A. B. C. D. 图5.1-9 【解析】根据题意设，，分别作出在点, 处的切线，及过两点的直线，如图5.1-9，则为曲线在点 处切线 的斜率，为曲线在点处切线的斜率，,则 为 直线的斜率，结合图象可得 . 23 例4-8 已知，求曲线在 处切线的斜率，及该切线的方程． 【解析】因为 , 所以当时， ， 即 . 所以曲线在 处切线的斜率为1. 又切点为 ， 所以切线方程为 ， 即 . 24 知识点5 导函数 1 导函数的概念 若对于区间内任一点都可导，则在各点处的导数也随着自变量 的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为的导函数,记作 . 在不引起混淆时，导函数也简称为 的导数. （如无特别说明，本章所涉及的函数都是可导函数） 25 辨析比较 “函数在处的导数”与“导函数 ”的区别与联系 在处的导数 导函数 区别 函数在处的导数 是 一个数值，不是变量，反映了函数 在 处变化的快慢，表现为曲线 在 这个点处切线的斜率. 函数的导函数 是关 于 的函数,是相对于一个区间而 言的，反映了随着 的变化，函 数值变化快慢的规律. 联系 函数在处的导数即函数的导函数在 处 的函数值,所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算 这点的导函数值. 26 2 求导函数的步骤 27 学思用·典例详解 例5-9 已知，则 _ ___. 【解析】 , , （这一步不能直接将 代入处理，因为分数的分母不 能为0，需要化简变形） ,（此步是关键，若化简不到位则无法求出时 的值） 即 . . . . . 28 点评 本例在求导数时，因为表达式中带有根号，所以在变形过程中，要运用“有 理化”的方法.通常有： （1）分母有理化；（2）分子有理化；（3）分子、分母同时有理化. 注意，解题时不能局限于分母有理化，要学会分子有理化的应用. 29 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 平均变化率 例10（1）函数在区间 上的平均变化率为( ) A A.1 B.3 C. D. 【解析】函数在区间 上的平均变化率为 . 30 （2）已知函数在区间上的平均变化率为7，则实数 的值为___. 2 【解析】函数在区间 上的平均变化率为 ,解得或 . 因为（区间的右端点大于左端点），所以 . . . 31 名师点评 题（1）中函数在任意区间上的平均变化率都与 的取值无关. 32 求函数平均变化率的步骤 求函数在 上的平均变化率的步骤如下： （1）求自变量的改变量 ; （2）求函数值的改变量 ; （3）求平均变化率 . 33 【学会了吗丨变式题】 1.正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( ) B A.8 B.7 C. D.1 【解析】正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为 ．（【详解】正方体的体积等于棱长的立方，因此 ， ） 34 题型2 瞬时速度与瞬时加速度 例11 ［教材改编P195 T2］一质点做直线运动，若它所经过的位移与时间的关系为 ，其在时间段内的平均速度为__;在 时的瞬时速度为___. 2 【解析】质点在时间段内的平均速度为 . 质点在 时的瞬时速度为 . 35 例12 某复兴号动车组开出站一段时间内，速度与行驶时间 的关系为 ，则出站后，该复兴号动车组速度首次达到 时，加速度为 _____ . 12.6 【解析】当时，由，解得或 （舍去）， 在到 的时间内， 复兴号动车组的平均加速度为 , 当无限趋近于0时， 无限趋近于12.6，（瞬时加速度） 所以该复兴号动车组速度首次达到时,加速度为 . . . 36 【学会了吗丨变式题】 2.[教材改编P195 T1]已知质点做直线运动，且位移（单位： ）随时间 （单位：）变化的函数为 . 【答案】 . （1）当，时，求 ； 【答案】当，时， （2）当，时，求 ； 【答案】当，时， （【学一手】当取定值， 取不同数值时，函数的平均变化率一般不同） 37 （3）求质点在 时的瞬时速度． 【答案】当时，瞬时速度为． 即质点在时的瞬时速度为 . 38 题型3 求函数在某处的导数 例13 ［教材改编P197 T4］已知函数,则在 处的导数为____. 【解析】设 . .（【破题点】直接利用在某点处的导数的定义求解） . （【破题点】先求出导函数，再将值代入求解即可） 所以 . 39 求函数在 处的导数的两种方法 1.利用定义 . 2.先求出导函数，再将代入导函数中求出 . 40 【学会了吗丨变式题】 3.求函数，为常数在 处的导数. 【答案】因为 , 所以，为常数在处的导数为 . 41 题型4 导数的形式化计算 例14 若函数在处可导，则 等于( ) B A. B. C. D.0 42 【解析】 （拆开，分别利用导数定义求解） . . 43 导数的形式化计算考查的是对导数概念 的理解.需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在 及其附近 的函数值有关，与 无关． 44 【学会了吗丨变式题】 4.已知函数在处的导数为1，则 等于___. 2 【解析】由条件 ， 得 . 45 题型5 切线问题 1 求切点坐标 例15 ［教材改编P200 T10］已知,曲线在点 处的切线斜率为3， 则点 的坐标为________________. 或 46 【解析】设点的坐标为 ， 则有 . 所以，解得或 . 所以点的坐标为或 . 47 2 求曲线切线方程时“过”与“在”的经典问题 母题 致经典·母题探究 1.求曲线在某点的切线方程（某点是切点） （1）若曲线在点的切线的斜率存在，则斜率 ，切线方 程为 . （2）若曲线在点的切线的斜率不存在，（此时曲线在点 处的导数也不存在，如在处的导数不存在，但在 处存在切线，且 切线为轴）即切线垂直于轴，则切线方程为,此时 也不存在. . . 48 2.求曲线过某点的切线方程（某点不一定是切点） 设曲线的方程为，则过某一点 的切线方程的求法为： 49 例16 ［教材改编P199 T4］ （1）曲线在点 处的切线的方程为_______________. 【解析】函数在附近的平均变化率为 ， 所以 , 由导数的几何意义,可知曲线在点处的切线的斜率为 . 从而曲线在点处的切线的方程为，即 . 50 （2）曲线过点 的切线方程为_____________________________. 或 【解析】设过点的切线的切点为 .（【突破点】对于过某点的切线问题， 不论该点是否在曲线上，均应先设切点） 则切线的斜率 . 所以过的切线方程为 . 因为点在切线上,所以 , 化简整理得,即,解得或 ， 故或 , 所以切线方程为或 . . . 51 图5.1-10 名师点评 解方程 的过程中，我们发现2是二 重根，这是为什么呢？画出曲线 ，如图5.1-10所示，可以 看到这个重根恰恰说明点既是切线 与曲线的切点，同时也是切 线 与曲线的交点. 52 易错警示 求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还 是“求曲线过某点的切线方程”.前者的切线有且只有一条，而后者可能有一条或多条. 如图5.1-11（1）所示，过点（点不在曲线上）的切线有, 两条，其切点分别为 ， 如图5.1-11（2）所示，过点（点在曲线上）的切线也有, 两条，其切点分别为 , . 图5.1-11 53 求切线方程的基本思路 （1）求解以曲线上的点 （切点已知）为切点的切线方程的步骤： ①求出函数的导数 ； ②求切线的斜率 ； ③写出切线方程 ，并化简． （2）若求过不在曲线上的点 （切点未知）的曲线的切线方程，则先设切点为 ，再解方程组得 ，进而确定切线方程． 注意:求切线方程时，（1）要判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；（2） 要考虑斜率不存在的情况. . . . . 54 【学会了吗丨变式题】 5.已知曲线 ． （1）求曲线在点 处的切线方程； 【答案】令 ， 则 [- , 点处的切线方程为,即 . 55 （2）求过点并与曲线 相切的直线方程． 【答案】显然点不是切点，设切点坐标为 , 则直线斜率 , , 令，即 , 56 则，即,解得 ， ， . 当时,，直线方程为 ； 当时， ，直线方程为 ; 当时， ，直线方程为 . 57 题型6 变化率在实际中的应用 例17 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果 烟花距地面的高度 （单位：）与时间 （单位： ）之间的关系式为 ，求烟花在 时的瞬时速度，并解释烟花升空后至爆裂的运 动情况． 58 【解析】烟花在时的瞬时速度就是 的值. 因为 ， 所以 . 所以在时，烟花正以 的速度上升． 图5.1-12 画出二次函数 的大致图象， 如图5.1-12所示. 结合导数的几何意义，我们可以看出：在 附近曲线比较 平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时， 瞬时速度为0并爆裂；当 时，曲线在任何点处的切线斜 率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小 的速度升空． 59 【学会了吗丨变式题】 图5.1-13 6.某堆雪在融化过程中，其体积单位：与融化时间 单位：近似满足函数关系：为常数 ，其图象如图5.1-13所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 ,观察图象可知瞬时融化速度等于 的时刻是( ) C A. B. C. D. 图D 5.1-1 【解析】如图D 5.1-1所示，平均融化速度实际上是点与点 连 线所在直线的斜率 ； 瞬时融化速度实际上是曲线 在某时刻的切线斜率，通过对比， 曲线在时刻的切线斜率与相等，故瞬时融化速度等于 的时刻是 . 60 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.若函数在区间上的平均变化率为3，则实数 ( ) C A. B.2 C.3 D. 【解析】根据平均变化率的定义，可知 . 61 2.已知函数在处的导数为12，则 ( ) A A. B.4 C. D.36 【解析】因为函数在 处的导数为12，则 . 62 3.一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离单位：与时间单位： 之间的函数关系式为,当时，此木块在水平方向的瞬时速度 单位： 为( ) C A.2 B.1 C. D. 【解析】 , . 当趋近于0时，趋近于，即时，此木块在水平方向的瞬时速度为 . 63 图5.1-1 4.［教材改编P190 T2］, 两机关开展节能活动，活动开始后两机关 的用电量,单位：与时间 （单位：天）的关系如图 5.1-1所示，则( ) B A.两机关节能效果一样好 B.机关比 机关节能效果好 C.机关的用电量在上的平均变化率比机关的用电量在 上 的平均变化率大 D.机关与 机关自节能以来用电量总一样大 【解析】由题图可知，机关所对应的图象比较陡峭， 机关所对应的图象比较平缓， 且两机关的用电量在上的平均变化率都小于0，故机关比 机关节能效果好. 64 5.[多选题](2026·湘豫名校开学考试)设在处可导，下列式子中与 相等的 是( ) AC A. B. C. D. 【解析】根据导数的定义可知， ,A符合题意； ,B不符合题意； ,C符合题意； ,D不符合题意． 故选 ． 65 6.与曲线相切，且与直线 垂直的直线的方程为________ _________. 【解析】设切点为 ，由导数的概念可得所求直线的斜率 ，又直线的斜率为 ,则 （两直线垂直，斜率之积为），解得 ，则 ,,故所求直线的方程为，即 . . . 66 7.[教材改编P189例4]已知函数, . （1）当从1变为4时，分别求函数和 的平均变化率； 【答案】当从1变为4时，在函数中， ， ，则函数的平均变化率 ；在函数 中，， ， 则函数的平均变化率 . （2）当从1变为4时，比较函数和 的函数值变化的快慢. 【答案】因为，所以当从1变为4时，函数的函数值比函数 的函数 值变化得快. 67 8.已知曲线 . （1）求曲线 上横坐标为1的点处的切线方程. 【答案】将代入曲线的方程得,所以切点为 . ,当趋于0时， 趋近于3,所以 在 处的导数为3. 故所求切线方程为，即 . （2）（1）中的切线与曲线 是否还有其他的公共点? 【答案】由可得，解得, ，从而 求得公共点为， . 故（1）中的切线与曲线的公共点除切点 外，还有其他的公共点. 68 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 图5.1-2 9.(2026·上海市吴淞中学调研)已知函数和在区间 上 的图象如图5.1-2所示，那么下列说法正确的是( ) D A.在上的平均变化率大于在 上的平均变化率 B.在上的平均变化率小于在 上的平均变化率 C.对于任意，函数在 处的瞬时变化率总大 于函数在 处的瞬时变化率 D.存在，使得函数在 处的瞬时变化率小于 函数在 处的瞬时变化率 69 【解析】对于A，B，在上的平均变化率是，在 上的平 均变化率是，由题图可知，, , ， 选项A，B错误； 对于C，D，函数在处的瞬时变化率即为函数在 处的导数，即函数 的图象在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误， D正确． 70 图5.1-3 10.新情境 污水治理 [多选题] 为满足人民对美好生 活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理， 排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量 与时间的关系为,用 的大小评 价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知 则下列结论中正确的有( ) ABC A.在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B.在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C.在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D.甲企业在,,这三段时间中，在 的污水治理能力最强 整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图5.1-3所示. 71 【解析】设甲企业的污水排放量与时间的关系为 ，乙企业的污水排放量与 时间的关系为，由题图可知,,所以在 这 段时间内，的平均变化率小于 的平均变化率，则甲企业的污水治理能力比 乙企业强，故A正确； 在时刻，由导数的几何意义知,的图象的切线斜率的绝对值大于 的图象的 切线斜率的绝对值，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B正确； 在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，C正确； 在，，这三段时间中，在 的平均变化率最小，也就是 污水治理能力最强，故D错误． 72 图5.1-4 11.[多选题]小明从家里到学校行走的路程与时间 的函数关系 表示如图5.1-4所示，记时刻的瞬时速度为，区间 ， ，上的平均速度分别为，， ，则下列判断 正确的有( ) ABC A. B. C.对于，存在，使得 D.整个过程小明行走的速度一直在加快 73 【解析】由题意可知,, ， 由题图可知且，因此 ， ，所以 ， 因此，此时 ，故A正确； , ,故 ,故B正确； 由题图可知，当 时，图象上存在一点，过该点作图象的切线，使得切线 斜率等于直线斜率，故C 正确； 时刻的瞬时速度为 ，由题图可知，小明的速度先加快后变慢，故D不正确． 故选 ． 74 12.直线和曲线相切，则 的值为___，切 点坐标为_ _________． ， 【解析】设直线与曲线的切点为 ， 因为，则 （切点处斜率为1），解得或 . 当时， ， 又点在直线上，将，代入,得 ，与已知条件矛 盾，舍去． 当时， , . . 75 将，代入直线中，得 . 综上，，切点坐标为， . 13.一只昆虫的爬行路程（单位:米）是关于时间 （单位:分）的函数: 求与 ,并解释它们的实际意义. 【答案】当时， , , 当趋近于0时，趋近于6， . 当时， , , 当趋近于0时，趋近于18， . 说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分， 说明在第4分钟 时，该昆虫的爬行速度为18米/分.（瞬时速度） 77 14.已知曲线上一点 ，求： 【答案】点在曲线 上. （1）曲线在点 处的切线方程； 【答案】 , 所以,即曲线在点 处的切线的斜率为4.所以曲 线在点处的切线方程为,即 . 78 （2）过点 的曲线的切线方程. 【答案】设过点的曲线的切线斜率为,切点为 ， 则 ， 当趋于0时，趋于，所以 ③. 联立①②③消去，得 ， 解得或 . 79 时，,切线方程为，即 ；（该切线过 点且点 为切点） 时，，切线方程为，即 . （该切线过点但点 不是切点） 故过点的曲线的切线方程为与 . 80 $