4.2.3 等差数列的前n项和-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和核心知识点，系统梳理公式推导、性质探究及应用脉络，从基本量法求解到前n项和性质（如最值问题、片段和等差），再到实际应用（判断数列、绝对值和、建模问题），搭建递进式学习支架。 该资料以北京天坛圜丘石板等情境导入，用数学眼光观察现实问题，通过公式推导与性质证明培养数学思维，结合分期付款等实例强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后通过分层检测（基础、能力、素养）辅助学生查漏补缺，提升应用能力。

4.2.3 等差数列的前项和 新课导入 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 试想，文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？本节课我们一起来探究. 学习目标 1.了解等差数列前项和公式的推导方法． 2.掌握等差数列前项和公式及其性质． 3.会用等差数列的前项和公式解决最值问题与相关实际问题． 第1课时 等差数列的前项和公式 新知学习 探究 一 等差数列的前项和 思考1．已知数列的前项和，怎样求数列的通项公式. 提示 思考2．等差数列的前项和公式和函数有什么关系？ 提示 ①当 时，是项数 的二次函数，且不含常数项； ②当 时，． ［知识梳理］ 1.一般地，对于数列，把称为数列的前项和，记作. 2．等差数列的前项和公式 【答案】； ［例1］ （对接教材例1,例2）在等差数列中： （1） 已知，，求和； （2） 已知，，求和. 【答案】 （1） 【解】由已知得 解得 所以， . （2） 由已知得， 解得，又因为，所以.所以，. 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值 等差数列的通项公式与前项和公式中共含有,,,，五个量，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出关于基本量和的方程组，解出和便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用. （2）结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用. ［跟踪训练1］． （1） 记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. 72 B. 64 C. 56 D. 48 （2） 已知等差数列的前项和为，若,,则_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 3 【解析】 （1） 选.设等差数列 的公差为，得，解得，故，所以. （2） 设等差数列 的首项为，公差为， 则 解得 则. 二 等差数列前项和的性质 ［例2］ （1） 已知等差数列,的前项和分别为,，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ ． （2） 已知等差数列的前项和，前项和，则数列的前项的和_ _ . 【答案】（1） （2） 210 【解析】 （1） 由题得. （2） 方法一：由题意，，成等差数列， 所以30，70，成等差数列. 所以，所以. 方法二:由题意，，成等差数列， 所以.即. 等差数列前 项和的性质 （1）在等差数列中，，,也构成等差数列. （2）若与均为等差数列，且前项和分别为与,则. （3）若等差数列的前项和为，则数列是等差数列，且首项为，公差为. ［跟踪训练2］． （1） 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 36 B. 18 C. 72 D. 9 （2） 设等差数列，的前项和分别为，，若，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.由，， ，成等差数列知，. （2） 因为，根据等差数列的性质，. 三 等差数列前项和的最值问题 ［例3］ 在等差数列中，，，求前项和的最大值. 【解】 方法一：设等差数列 的公差为， 因为，， 所以， 解得. 所以 . 所以当 时，有最大值为169. 方法二：同方法一，求出公差. 所以. 因为， 由 得 又因为， 所以当 时，有最大值为. 方法三：因为，所以. 由等差数列的性质得. 因为，所以. 所以，. 所以当 时，有最大值. 由， 得， 解得， 所以， 所以 的最大值为169. 方法四：设.因为，， 所以二次函数图象的对称轴为，且开口方向向下， 所以当 时，取得最大值. 由题意得 解得 所以， 所以， 即 的最大值为169. 求等差数列前 项和 的最值的方法 （1）函数法 将配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决,体现了函数思想. （2）通项法 若，，则存在最大值，即所有非负项之和； 若，，则存在最小值，即所有非正项之和. ［跟踪训练3］． （1） （多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. （2） 已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ABC （2） 【解析】 （1） 选.等差数列 的前 项和为，，所以，，所以， 所以 且， 所以等差数列 是递减数列，且当 时，取得最大值. 故 正确，错误.故选. （2） 由题意可得 即 解得， 即公差 的取值范围是. 课堂巩固 自测 1．在等差数列中，若，则该数列的前9项和（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 45 【答案】C 【解析】选.. 2．（多选）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 有最大值 【答案】AB 【解析】选.当 时，， 当 时，，符合，故，所以，， 所以数列 是首项，公差 的等差数列，正确； ，正确； 因为公差，所以数列 是递减数列，所以，错误； 由， 易知当 或 时，有最大值，错误. 故选. 3．已知是等差数列的前项和，若,,则_ _ _ _ . 【答案】2 021 【解析】设等差数列 的公差为, 所以, ， 所以, 又， 所以数列 是首项为，公差为 的等差数列， 所以， 所以. 4．在公差不为零的等差数列中，为其前项和，若，则_ _ _ _ ． 【答案】4 【解析】设等差数列 的公差为， 因为， 所以， 所以， 因为，所以． 1.已学习：（1）等差数列的前项和公式.（2）等差数列的前项和的性质. 2.须贯通：（1）基本量法求解等差数列.（2）等差数列前项和的性质的应用. 3.应注意：由求通项公式时忽略对的讨论． 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】选.设等差数列 的公差为,则,，解得，. 2．[（2025·江苏期中）]已知等差数列的前项和为,若,则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】选.在等差数列 中，由,得,解得,所以. 3．在等差数列中，已知，，则使得的最小正整数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】选.由，, 得，则，得， 所以数列 的通项公式为 ， 由，得，即使得 的最小正整数 为8. 4．已知正项数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】选.由，① 当 时，，② 可得，即， 即， 所以， 即 或. 当 时，，解得， 若，则，这与数列 各项均为正数相矛盾， 所以，即数列 是首项为1，公差为1的等差数列. 所以， 所以. 5．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】选.由等差数列的性质可知，， 又因为，所以 和 异号， 因为数列 的前 项和 有最大值， 所以数列 是递减的等差数列， 即, 所以，， 所以，， 所以当 时，的最大值为20．故选． 6．（多选）已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. C. 中，，最大 D. 为递增数列 【答案】BC 【解析】选.对于，，因为，所以,所以当 时，，当 时，不满足上式，所以 从而知 不是等差数列，故 选项错误，选项正确； 对于，因为，所以当 或 时，有最大值，即在 中，,最大，故 选项正确； 对于，由数列 的通项公式知此数列为递减数列，故 选项错误.故选. 7．已知等差数列的前项和为，若，，则． 【答案】20 【解析】设等差数列 的公差为，由，得， 即有，于是，解得， 所以. 8．数列的前项和记为，若，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】当 时，有， 但当 时，不适合上式， 故 9．设等差数列的前项和为，已知，则. 【答案】63 【解析】因为， 根据等差数列的性质，可得， 所以. 10．（13分）在等差数列中，设等差数列的公差为. （1） 若，，求；（4分） （2） 若，，求；（4分） （3） 若，，求与.（5分） 【答案】（1） 解：依题意，. （2） 依题意，，于是，从而. （3） 由，，可得 解得 B 能力提升 11．已知等差数列的前项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设等差数列 的公差为， 由，又任意 均有 成立，所以 由， 而， 则.故选. 12．（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或时，取得最大值 C. 数列为等差数列 D. 使得成立的的最大值为33 【答案】ABC 【解析】选.因为， 当 时，， 当 时，，也符合上式，所以，数列 为等差数列,，正确; 由于，所以当 或 时，取得最大值，正确; ，即,，所以使 成立的 的最大值为32，错误. 13．若等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项的和为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设等差数列 的首项为，公差为， 则 解得 故， 所以， 所以数列 的前10项的和为. 14．（13分）已知等差数列，为其前项和，，，其中. （1） 求及（用表示）；（5分） （2） 在，， ，中，有且只有的值最大，求实数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为，，, 所以，即， 所以，. （2） 因为在，， ，中，有且只有 的值最大， 所以 即 解得， 即实数 的取值范围为. C 素养拓展 15．（15分）已知数列的前项和为，且. （1） 求的通项公式；（6分） （2） 设，求数列的前100项和，其中表示不小于的最小整数，如,.（9分） 【答案】 （1） 解：因为， 所以， 所以； 当 时，， 当 时，也满足， 所以，． （2） ，，，，，，，， ，， 所以，， ，，． 所以数列 的前100项和. 第2课时 等差数列前项和的应用 新知学习 探究 一 利用数列的前项和判断是否为等差数列 ［例1］ 若数列的前项和,求数列的通项公式，并判断数列是否为等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 【解】 当 时,; 当 时，, 经检验，当 时，满足上式，故. 数列 是等差数列，证明如下： 因为,所以数列 是首项为，公差为4的等差数列. 母题探究．若将本例条件“”改为“,”，试证明是等差数列，并求. 解：因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以 是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， 故. 等差数列的判定方法 （1）定义法：对于的任意自然数，验证等于同一常数. （2）等差中项法：验证成立. （3）通项公式法：验证. （4）前项和公式法：验证. 注意 在解答题中常应用定义法和等差中项法来证明等差数列，而通项公式法和前项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断. ［跟踪训练1］．已知数列的前项和. （1） 求的通项公式； （2） 判断是否为等差数列. 【答案】 （1） 解：因为,所以当 时，, 所以 . 又,不满足, 所以数列 的通项公式为 （2） 由（1）知，当 时， , 但, 所以 不满足等差数列的定义，即 不是等差数列. 二 等差数列各项绝对值的和 ［例2］ 设等差数列的前项和为，且,,求： （1） 数列的通项公式及前项的和； （2） 的值. 【答案】 （1） 【解】设等差数列 的公差为， 由题意得 即 解得 所以, . （2） 因为, 所以当 时，，当 时，，, . 母题探究．若本例条件不变，试求数列的前项和. 解：由本例知，当 时，，；当 时，，. 综上可知， 求数列的前项和实际上是求数列前项各项的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清所求数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. ［跟踪训练2］．在等差数列中，，. （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列的前项和． 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为， 因为,, 所以, 解得. 所以. （2） 由,解得, 所以 所以当 时， 的前 项和. 因为, 当 时，的前 项和, 所以数列 的前 项和 三 等差数列前项和的实际应用 ［例3］ 某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼（每层的建筑面积相同）.已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍.经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和） 【解】 设楼高为 层，总费用为 万元， 则征地面积为 平方米， 征地费用为 万元， 各楼层建筑费用和为 万元， 总费用为（万元）， 当且仅当， 即 时，上式取等号， 所以当这幢宿舍楼的楼层数为15时，总费用最少，为2 505万元. 应用等差数列解决实际问题的一般思路： ［跟踪训练3］．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意每段圆弧的中心角都是，设第 段圆弧的半径为，弧长记为， 则，所以 ．故选． 课堂巩固 自测 1．已知数列各项非零，前项和为，，且，则（ ） A. 198 B. 199 C. 200 D. 99 【答案】B 【解析】选.由题意，，两式相减得，因为，所以，所以，所以数列 是以 为首项，4为公差的等差数列，令，在 中，令，结合，得，解得， 所以，, 所以. 2．（多选）已知数列的前项和为，则（ ） A. B. 时，的最大值为17 C. D. 【答案】AC 【解析】选.，，经验证对于 也成立，所以，故 正确； 当 时，，当 时，，当 时，，所以当 时，的最大值为16，故 错误； 因为当 时，，所以，故 正确； ，故 错误.故选． 3．已知数列的前项和为，且，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，当 时,， 当 时,， 所以，经检验当 时,也成立， 所以，则， 所以. 4．某班20位同学在一条笔直公路的一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，若使每位同学从各自的树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则这个最小值为_ _ _ _ . 【答案】2 000 【解析】方法一:假设20位同学是从1号到20号依次排列的，要使每位同学往返所走的路程总和最小，则树苗需放在10号或11号同学的树坑旁.此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，则所有同学往返的路程总和 方法二：设树苗集中放在第 个树坑旁，则所有同学往返的路程总和,所以当 或 时，取得最小值2 000. 1.已学习：等差数列的前项和公式，解决相关实际问题. 2.须贯通：（1）等差数列的判断; （2）等差数列各项绝对值的和的求法； （3）等差数列前项和的实际应用. 3.应注意：等差数列的建模. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知等差数列的前项和为,若,,,且,则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】选.设等差数列 的公差为，由题意得,,联立以上两式，解得,. 2．已知在等差数列中，,,若数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.在等差数列 中，公差， 则,所以, 所以, 则,,, 所以,.故选. 3．已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】选.由题意知，当 为奇数时，，当 为偶数时，， 所以数列 的奇数项构成首项为2，公差为 的等差数列，偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列， 则. 4．记为等差数列的前项和，，则（ ） A. 24 B. 42 C. 64 D. 84 【答案】B 【解析】选.因为 为等差数列 的前 项和， 所以,，若，则， 所以. 5．记等差数列的前项和为,且,,则的最大值为（ ） A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 【答案】B 【解析】选.由题意得，， 则，则， 令，解得， 因为 是等差数列， 所以当,时，，，当,时，， 所以 的最大值为. 6．（多选）如图，北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，， ，，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（ ） A. B. 的公差为9 C. D. 【答案】ABD 【解析】选.设等差数列 的公差为，由题意，解得 故,正确；所以，，，所以，故 错误，，故 正确.故选． 7．已知在等差数列中，,，若此数列的前10项和,前18项和,则数列的前18项和. 【答案】60 【解析】由题意知，且,, 所以. 8．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，. 9．已知数列满足，且数列的前16项和为486，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由题意，数列 满足， 当 为奇数时，；当 为偶数时，． 设数列 的前 项和为， 则 ，解得. 10．[（2025·南京期末）]（13分）设,是数列的前项和.已知,,当时,满足. （1） 若,求数列的通项公式;（6分） （2） 是否存在 ,使得数列为等差数列?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.（7分） 【答案】 （1） 解：由,可得,故, , 由,得, 当 时，由, 有,即, 所以 （2） 当 时，有,即 , 当 时，,即 , 若数列 为等差数列，则有, 即 ,解得, 故有,易得, 又因为,,所以,即数列 为等差数列， 故存在,使得数列 为等差数列. B 能力提升 11．已知等差数列的前项和为，公差，，则使得的最大整数为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】选.因为，所以,异号， 因为，所以,，又有，所以，即， 因为，， 所以使得 的最大整数 为17.故选. 12．（多选）已知等差数列的前项和为，的公差为，则（ ） A. B. C. 若为等差数列，则 D. 若为等差数列，则 【答案】BD 【解析】选 选项，，而,不一定相等，不正确； 选项，因为，， 所以，故 正确； 选项，因为， 若 为等差数列，则 为常数，则，故 不正确； 选项，由题可知， 若 为等差数列，则 为关于 的一次函数， 所以，即，故 正确． 故选. 13．已知正项数列的前项和为，且和满足：.则的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，① 当 时，，解得， 所以，② 得， 所以，化简. 因为，所以. 所以 是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以. 14．（13分）在等差数列中，,. （1） 求数列的通项公式；（5分） （2） 设，求.（8分） 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为， 则 解得， 所以. （2） 因为当 时,;当 时,. 所以 . C 素养拓展 15．（15分）用分期付款的方式购买家用电器需11 500元，购买当天先付1 500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为，若从交付1 500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： （1） 分期付款的第10个月应交付多少钱？（7分） （2） 全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？（8分） 【答案】 （1） 解：设每月付款依次构成数列，， 则，， ， ， 显然，， 故第10个月应交付527.5元. （2） 由（1）可得， 则 为等差数列，且，数列 的前20项和为， 所以， 所以买家用电器实际花了12 025元. 学科网（北京）股份有限公司 $