3.3.2 抛物线的几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

3.3.2 抛物线的几何性质 新课导入 生活中不乏以抛物线为原型的例子，太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等.除了美观外,主要也是借用了抛物线的一些性质,比如抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等.如前面学习椭圆、双曲线一样,下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质. 学习目标 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 3.掌握并会判断直线与抛物线的位置关系． 4.会解决弦长与中点弦问题． 5.能解决与直线和抛物线位置关系有关的综合问题． 第1课时 抛物线的简单几何性质 新知学习 探究 一 抛物线的几何性质 思考1．类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质? 提示 范围、对称性、顶点及离心率等. 思考2．抛物线与椭圆、双曲线比较有什么明显的区别？ 提示 抛物线没有对称中心，只有一条对称轴，不是封闭图形. ［知识梳理］ 标准方程 图形 范围 在轴右侧 在轴左侧 在轴上方 在轴下方 对称轴 轴 轴 轴 轴 开口方向 向右 向左 向上 向下 顶点 ①_ _ 通径长 ②_ _ _ _ _ _ 【答案】原点； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.（ ） （2） 抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上.（ ） （3） 抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.（ ） （4） 抛物线上任意一点的横坐标的取值范围是.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） √ （4） × 2．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 抛物线关于轴对称 C. 抛物线的准线方程为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】选.因为抛物线 与抛物线 关于 轴对称，所以抛物线 的方程为，则抛物线 的焦点坐标是，准线方程为，故，正确； 抛物线 关于 轴对称，故 错误； 抛物线 的焦点到准线的距离为2，故 错误. 3．已知等腰梯形的四个顶点在抛物线上，且，则原点到的距离与原点到的距离之比为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由抛物线的对称性可知，且 轴，设,，,，则，可知，所以原点到 的距离与原点到 的距离之比为. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 （1）开口：由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是还是,一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为；离心率恒等于1. 二 由抛物线的性质求标准方程 ［例1］ （对接教材例1）已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点.求抛物线的标准方程和准线方程. 【解】 当抛物线的焦点在 轴上时， 设其标准方程为. 将点 代入，得. 所以抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在 轴上时， 设其标准方程为. 将点 代入，得. 所以抛物线的标准方程为. 故所求的抛物线的标准方程为 或. 准线方程分别为 或. 由抛物线的几何性质求其标准方程，要先确定抛物线的焦点的位置，不同的焦点设不同的方程，再利用已知的几何性质求参数，此处仍然使用待定系数法求解. ［跟踪训练1］．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴且与圆相交的公共弦长等于，则抛物线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为，则抛物线过点，或，， 设抛物线方程为 或，则， 所以抛物线方程为 或. 三 抛物线性质的应用 ［例2］ （1） 已知为坐标原点，，是抛物线上的不同两点，点是抛物线的焦点，且的重心恰为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2） 已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则的面积为_ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 易知,，设,,因为 的重心恰为，则 解得 由 可知点,关于 轴对称，即，则，即，又因为，解得. （2） 设，由，可得，所以，则，即，所以 的面积为. 母题探究．本例（2）条件“”改为“的面积为2”，则_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】由已知得抛物线 的焦点为，设，则，所以，则，解得，于是. 利用抛物线的性质可以解决的问题 （1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题. （2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. （3）范围：解决与抛物线有关的最值问题. （4）焦点弦：解决焦点弦问题. ［跟踪训练2］． （1） 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. （2） 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 6 【解析】 （1） 选.因为,所以 为 的中点，过点 作 垂直于 轴于点,所以 为 的中位线，则,所以 的坐标为,，而,，则直线 的斜率. （2） 由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个在抛物线 上的顶点关于 轴对称，如图所示.设等边三角形边长为，则 点的横坐标为，点的纵坐标为,则,，代入 得，解得（舍去），故等边三角形的边长为6. 拓视野 圆锥曲线的统一定义 版选择性必修第一册链接呈现了圆锥曲线的统一定义. 圆锥曲线的第二定义也是圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离之比等于常数的点的轨迹.当时, 它表示椭圆；当时, 它表示双曲线；当时, 它表示抛物线,这里为离心率,为焦点,为准线.注意：必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比.（椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆或双曲线，与焦点,对应的准线方程分别为,） 圆锥曲线的统一定义是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能. ［典例］ （1） 点在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点的横坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 已知点，,点在双曲线上，当最小时，点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） , 【解析】 （1） 由题可知，，，，所以. 设，因为，设 到椭圆左准线的距离为，到椭圆右准线的距离为，由椭圆第二定义可知，，所以，，易得，又因为两条准线间的距离，所以，所以， 解得. （2） 因为,, 所以,所以. 设点 到与焦点 相应的准线的距离为,则,所以，所以,该问题就转化为在双曲线上求点,使点 到定点 的距离与到准线的距离和最小,即直线 垂直于准线时符合题意,所以点 的坐标为,. 圆锥曲线统一定义的关注点 （1）利用统一定义，结合表达式的几何意义,可判断一些定点的轨迹; （2）利用统一定义，可将曲线上一动点到焦点的距离转化为到准线的距离; （3）椭圆和双曲线都有两个焦点、两条准线，注意左焦点和左准线相对应，右焦点和右准线相对应，但抛物线只有一个焦点与一条准线. ［练习］．定长为3的线段的两端点在抛物线上移动,设点为线段的中点,则点到轴的最小距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，抛物线焦点,,准线,设点，，在准线 上的射影分别是，，,设点,则,,又,,所以,所以,即 的最小值是.所以点 到 轴的最小距离是,当且仅当 过点 时取得最小值. 课堂巩固 自测 1．已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为抛物线 的准线方程为，且点 在准线上，所以,解得,所以,所以焦点 的坐标为，故直线 的斜率. 2．图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上的点到底部水平线（轴）距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.令抛物线方程为 且，由题设，在抛物线上，则，得，又 且，则点 到该抛物线焦点 的距离为. 3．（多选）若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】BD 【解析】选.设抛物线 的焦点为，则,，依题意可知，所以，则,.所以 点坐标可以为,，,.故选. 4．已知抛物线，过点作直线交于，两点，且，则点的横坐标为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题可设，直线 的方程为，,， 联立 得，恒成立， 所以，① ，② 又因为，结合图形可得 ，③ 联立①②③可得，， 所以， 即点 的横坐标为. 1.已学习：抛物线的几何性质. 2.须贯通：（1）利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质. （2）抛物线焦点弦的性质. （3）抛物线的实际应用. 3.应注意：抛物线建模时变量的实际意义和范围. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意设抛物线 的方程为，因为，所以，所以抛物线 的方程为. 2．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】选.由抛物线，可知，准线 的方程为，设,，因为，所以，所以，由抛物线定义知，点 到准线 的距离为. 3．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上的三个点，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】选.由题意得焦点,，设点，，，则，所以，所以. 4．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 为抛物线 的焦点，所以，焦点 的坐标为，由抛物线定义可知，又，所以，解得，故，所以,为原点，从而. 5．已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】选.因为，，三点共线，所以 为圆 的直径，.由抛物线定义知，所以 .因为点 到准线的距离为6，所以. 6．（多选）已知以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.由题意，若，则焦点为,，故当 时，，所以，即，；若，则焦点为,，故当 时，，所以，即，.综上，. 7．抛物线的顶点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】抛物线， 即，顶点坐标为. 8．已知抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为2，则_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】抛物线 的准线方程为，设，显然，当且仅当 时取等号，则点 到焦点的距离，当且仅当 时取等号，因此，所以. 9．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】如图所示，过点 作 垂直准线于点，过焦点 作 垂直 于点，由题意可知，,，根据抛物线的定义，在 中，，又， 所以， 解得. 10．（13分）已知为抛物线上的一个动点，为的焦点. （1） 当时，求点的坐标；（6分） （2） 若点的坐标为，求的最小值.（7分） 【答案】 （1） 解：由 得， 设，由 得，解得，当 时，，所以点 的坐标为 或. （2） 设，则，， 则 ， 当 时，取得最小值，且最小值为. B 能力提升 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】选.如图，设直线 的倾斜角为 ，抛物线的准线，作 于点，根据抛物线的定义， ,所以，同理.由 知，即，故. 12．（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的方程为 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 【答案】BC 【解析】选.抛物线的焦点,，准线，，如图，因为，所以 为线段 的中点，，过 作准线的垂线，垂足为，与 轴交于点，则，由抛物线的定义可知，，得，故 正确； 在 中，，得，故 错误； ，则直线 的斜率为，所以直线 的方程为，即 或，故 错误； 取线段 中点，过 作 轴于点，则，所以，即线段 的中点到 轴的距离等于，则以线段 为直径的圆与 轴相切，故 正确. 13．（15分）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若. （1） 求点的坐标以及抛物线方程；（6分） （2） 若点与关于点对称，求.（9分） 【答案】 （1） 解：因为抛物线过点， 则，① 又， 且焦点为,，即，② 结合①②解得,或,，即,或,. （2） 当,时， 此时，则， 所以； 当,时，， 则，所以. 综上，或. 14．（15分）已知椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，坐标如表所示： 1 2 2 0 （1） 求和的标准方程；（7分） （2） 若和交于不同的两点，，求的值.（8分） 【答案】 （1） 解：设抛物线 的标准方程为，当 时，， 结合题表数据，因为， 所以点,在抛物线 上，且，解得， 所以抛物线 的标准方程为. 将点,,代入椭圆 的标准方程 中， 得 解得 所以椭圆 的标准方程为. （2） 根据对称性，可设,两点坐标分别为,， 联立 消 得， 解得，， 因为，所以. 所以. C 素养拓展 15．[（2025·邯郸期末）]已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设准线 交 轴于点，由题知焦点，，，所以，记点 关于直线 的对称点为，则，则当，，三点共线时，，故 的最小值为，即 周长的最小值为. 第2课时 直线与抛物线的位置关系 新知学习 探究 一 直线与抛物线的交点 思考．直线与抛物线只有一个交点则直线与抛物线相切,这种说法对吗? 提示 不对. 直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． ［知识梳理］ 设直线，抛物线：，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程. （1）若，当①_ _ _ _ _ _ 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当②_ _ _ _ _ _ 时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当③_ _ _ _ _ _ 时，直线与抛物线相离，没有公共点． （2）若，直线与抛物线有④_ _ 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 【答案】； ； ； 一个 ［例1］ 已知直线，抛物线，当为何值时，与只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 【解】联立 消去， 得 当 时，式只有一个解， 所以直线 与 只有一个公共点,， 此时直线 平行于 轴． 当 时，式是一个一元二次方程， ． ①当，即，且 时， 与 有两个公共点，此时直线 与 相交； ②当，即 时，与 有一个公共点，此时直线 与 相切； ③当，即 时，与 没有公共点，此时直线 与 相离． 综上所述，当 或0时，与 有一个公共点； 当，且 时，与 有两个公共点； 当 时，与 没有公共点． 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式 来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． ［跟踪训练1］．（多选）若过点的直线与抛物线只有一个交点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.当直线 的斜率不存在时，直线 满足条件； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，联立 消去 可得，因为直线 与抛物线 只有一个交点， 所以,所以 或，所以直线 的方程为 或.综上，直线 的方程为，或 或.故选. 二 弦长问题及中点弦问题 ［例2］ 已知抛物线,过此抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，且 ,求所在直线的方程. 【解】 由题意知焦点 , 设 ,. 若 轴，则 ,不满足题意.所以直线 的斜率存在且不为零，设为， 则直线 的方程为,. 联立 方法一:消去，整理得. 因为，由根与系数的关系得，.所以 ，解得. 所以 所在直线的方程为 或. 方法二：消去 ，整理得.因为 ,所以由根与系数的关系得.所以,解得.所以 所在直线的方程为 或. 母题探究．将本例中的“过此抛物线焦点的直线与抛物线交于 ，两点，且”改为“过点且斜率为2的直线与抛物线相交于，两点”，求的长. 解：直线 的方程为，联立直线 与抛物线的方程 解得 或 所以 的长为. （1）求弦长问题的方法 ①一般弦长：或. ②焦点弦长：在抛物线中，设过焦点的弦的端点为,,则. （2）中点弦问题的解法 涉及抛物线弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. ［跟踪训练2］． （1） 设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于,两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. （2） 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.直线与抛物线相交于，两点，若的中点为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.易知过点,的直线为：,设,,由 得,则,,因为,,则.故选. （2） 由题意知抛物线的方程为， 设直线 与抛物线 的交点为， ， 则有 且， 两式相减得，. 因为 的中点为， 所以， 所以， 所以直线 的方程为， 即. 三 与抛物线有关的最值问题 ［例3］ 如图，已知直线交抛物线于，两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使的面积最大，并求出这个最大面积. 【解】 由 解得 或 由题图可知，，， 则. 设 为抛物线 这段曲线上一点，为点 到直线 的距离， 则 . 因为，所以. 所以. 从而当 时，， . 因此，当点 的坐标为，时，的面积取得最大值，最大值为. 与抛物线有关的最值问题的解题思路 一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决. ［跟踪训练3］．求抛物线上的点到直线的最小距离. 解：方法一:设 为抛物线上的点， 则点 到直线 的距离 . 所以当 时，有最小值. 方法二：如图，设与直线 平行的抛物线的切线方程为，由 消去 得， 所以，所以. 所以所求最小距离为. 拓视野 抛物线焦点弦性质的应用 抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设是过抛物线焦点的弦，若，，则 （1），； （2）以弦为直径的圆与准线相切； （3）是直线的倾斜角， ,为直线的斜率； （4）为定值. 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷. ［典例］ （1） 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 （2） 已知抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 因为，， 解得，， 故. （2） 当抛物线的方程为 时，直线方程为. 设直线交抛物线于，两点，则，所以，所以，故所求抛物线的方程为. 当抛物线的方程为 时，同理可求得抛物线的方程为. 综上，抛物线的方程为. （1）解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线的定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. （2）在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解，为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要. ［练习1］．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点为坐标原点，则是（ ） A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D. 与点，位置有关 【答案】C 【解析】选.方法一:抛物线 的焦点 的坐标为，由题意分析可知，直线 的斜率一定存在. 设，，设直线 的方程为，联立 得，所以，，所以，所以 为钝角. 方法二：抛物线焦点在 轴上，则，，则，故 为钝角. ［练习2］．（多选）已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若，，三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】选.把点 代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故 正确； 因为，，，，所以，，，又由，得，所以，故 正确； 因为，，三点共线，所以 是焦点弦，所以，故 不正确； 设 的中点为，因为，，所以，得，即 的中点到 轴距离的最小值为2，故 正确. 课堂巩固 自测 1．过抛物线的焦点作直线交于，两点，若，则（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】选.由题意得， 则. 2．直线与抛物线有且只有一个公共点，则_ _ . 【答案】0或1 【解析】当 时，直线与抛物线只有一个公共点； 当 时，联立方程消去， 得， 由题意， 解得. 综上，或. 3．若直线与抛物线交于，两点，则线段的中点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得，， 设，， 则，， 故线段 的中点坐标为． 4．抛物线上一点到直线距离的最小值为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 与 相切，联立 与 得,，由，得，则直线 为， 故直线 与 之间的距离即为 上一点 到直线 距离的最小值，由两平行线间距离公式得,所求距离的最小值为. 1.已学习：直线与抛物线的位置关系. 2.须贯通：抛物线的弦长求法，焦点弦问题. 3.应注意：（1）涉及弦长时，忽视判别式这一隐含条件致错.（2）忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错. 课后达标 检测 A 基础达标 1．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】选.如图，设过点 的直线为，则当 与 轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线 和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点.由图可知，过点 与抛物线 有且只有1个公共点的直线有3条. 2．已知直线交抛物线于,两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.易知直线 的斜率存在，设直线 的斜率为,,， 则 两式相减得， 整理得， 因为线段 的中点为， 则， 所以， 即直线 的斜率为. 3．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设圆 的圆心坐标为，依题意可得，化简得，即圆 的圆心的轨迹方程为. 4．已知双曲线的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】选.因为双曲线 的渐近线方程为，所以，所以，代入抛物线 得，， 设直线与抛物线的交点为,，则,， 所以. 5．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. A 【答案】A 【解析】选.设抛物线上关于直线 对称的两点为，， 则 两式相减得， 由条件可知，， 即， 所以 中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 6．（多选）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为 C. D. 是等边三角形 【答案】ABD 【解析】选.抛物线 的焦点为，而，所以直线 过点，故 正确； 设直线 的倾斜角为 ，因为直线 的斜率， ， 所以，即直线 的倾斜角为，故 正确； 因为，故 错误； 因为点 在抛物线上，由抛物线的定义可知，，又，所以 是等边三角形，故 正确. 7．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设点,的横坐标分别为,，由 的中点到 轴的距离是2，得，即，由抛物线 的弦 过其焦点，得，解得，所以此抛物线方程是. 8．已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】设，，， 则 由题意得,, 由 得. 因为，所以，解得. 9．已知为坐标原点，抛物线，斜率为2的直线与抛物线交于,两点，且直线与的斜率之和为，则的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意设, ，. 联立 得，则，即， 且,， 因为，所以，解得，则 的方程为. 10．（15分）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形. （1） 求的方程；（5分） （2） 讨论过点的直线与的交点个数.（10分） 【答案】 （1） 解：由题意得焦点,，准线方程为， 以焦点和 的准线上的两点为顶点可以构成边长为 的等边三角形， 而这个等边三角形的高为 ， 即焦点到准线的距离， 解得， 所以 的方程为. （2） 若直线 的斜率存在，设 的方程为. 联立 可得. ①当 时，解得,，此时方程只有一个实数解，与 只有一个公共点； ②当 时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得 或，此时方程有两个相等的实数解，与 只有一个公共点； （ⅱ）由，解得 或，此时方程有两个不相等的实数解，与 有两个公共点； （ⅲ）由，解得 或，此时方程没有实数解，与 没有公共点； 若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为，易知 与 没有公共点. 综上，当 的方程为 或 的斜率 或 时，与 的交点个数为0； 当 的斜率 或 或 时，与 的交点个数为1； 当 的斜率,时，与 的交点个数为2. B 能力提升 11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为 的直线与抛物线的一个交点为位于轴的右侧，过点作，垂足为，连接，交抛物线于点在线段上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由抛物线，得，由，得直线 的方程为， 代入，得， 解得，， 所以， 因为，所以 ，又因为，所以 为等边三角形，由 可知 ，则直线 与 关于 轴对称， 由抛物线的对称性可得，所以. 12．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于,两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】选.对于，抛物线 的焦点 到准线的距离是4，所以，，故 正确; 对于，当直线 的斜率不存在时，，所以； 当直线 的斜率存在时，设，,得，所以,故 正确; 对于，，故 错误； 对于，如图所示， 过,,分别向准线作垂线，垂足为,,， 因为,， 所以， 又 为弦 的中点,所以,故 是圆 的一条直径,故 正确. 13．（15分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于,两点，且. （1） 求曲线的方程；（3分） （2） 求,两点的横坐标之积与纵坐标之积；（5分） （3） 求面积的最小值，并求此时直线的方程.（7分） 【答案】 （1） 解：由点 到点 的距离比点 到直线 的距离小2， 得点 到点 的距离等于点 到直线 的距离， 因此点 的轨迹是以点 为焦点、直线 为准线的抛物线， 所以点 的轨迹曲线 的方程为. （2） 设，， 因为， 即， 所以， 因为，， 所以， 所以，. （3） 由题知，令直线方程 中，可得直线与 轴交点，联立 得，由（2）知，， 所以，即 点坐标为， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 所以面积的最小值为16，此时直线的方程为. 14．[（2025·杭州期中）]（15分）如图，抛物线,是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线,，设与抛物线 相交于点,,与抛物线 相交于点，，当恰好为线段的中点时，. （1） 求抛物线 的方程；（6分） （2） 求的最小值.（9分） 【答案】 （1） 解：设直线,,,， 联立 得， 所以,. 又因为 是 的中点， 所以， 又 ， 代入 化简得，解得. 故抛物线 的方程为. （2） ， 由（1）可得，， 因为 ， 同理， 所以， 当且仅当 时，等号成立，即所求最小值为12. C 素养拓展 15．（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为或 【答案】AB 【解析】选.对于，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，由，得，故 正确； 对于，因为抛物线方程为，所以.根据抛物线的定义，，所以，当 为 与抛物线的交点时，等号成立，故 正确； 对于，记直线 与 轴的交点为，过点 作 于点，如图.因为，， 所以，所以. 根据抛物线的定义，，，所以，故 错误； 对于，当 时，直线 斜率存在且不为0，设直线. 代入 得，，整理得. 设，， 则 由，点 在第一象限，得. 解得，故 错误. 学科网（北京）股份有限公司 $