第3章 3.3.2 抛物线的几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，系统梳理标准方程、范围、对称性等核心知识，通过类比椭圆双曲线研究方法引导学生自主探究，结合太阳灶等实际应用案例导入，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以实际问题（如探照灯设计、公路选址）培养数学眼光，通过例题推理（如由焦点求准线）发展数学思维，用表格对比规范数学语言表达。学生能提升知识应用能力，教师可借助分层练习高效开展教学。

3.3.2 抛物线的几何性质 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 1.掌握抛物线的几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 学习目标 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物 导 语 面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等.当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质. 一、抛物线的几何性质 二、由抛物线的几何性质求标准方程 课时对点练 三、抛物线性质的实际应用 随堂演练 内容索引 抛物线的几何性质 一 提示　应研究范围、对称性、顶点、离心率等性质，可通过图形进行研究. 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 问题 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 ___轴 ___轴 ___轴 ___轴 1.抛物线的几何性质 x x y y 知识梳理 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦点坐标 _________ ___________ F F 准线方程 x＝____ x＝___ y＝____ y＝___ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝＝1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) F F － － 2.通径：过焦点且与对称轴垂直的弦叫通径，通径长等于2p. (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才能化为标准方程. (2)抛物线没有渐近线. (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线. 注 意 点 <<< 9 　　 (1)抛物线y＝x2的通径为　　　.  例 1 抛物线的标准方程为x2＝2y，所以p＝1， 通径为2. 解析 2 10 　　 (2)(课本例1)求抛物线y2＝4x的焦点坐标和准线方程. 例 1 因为2p＝4，即p＝2，＝1， 所以抛物线的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1. 解 11 (2)已知双曲线方程是＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线 的标准方程及抛物线的准线方程. 因为双曲线＝1的右顶点坐标为(2，0)， 所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上， 所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 解 12 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它 们与顶点的距离都等于标准方程中一次项系数的绝对值的. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 反 思 感 悟 13 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程. 跟踪训练 1 14 椭圆的方程可化为＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 解 15 二 由抛物线的几何性质求标准方程 (1)边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是 A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 例 2 √ 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)， 则有＝±a，解得a＝±， 所以抛物线方程是y2＝±x. 解析 17 (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程. 18 设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)， 点P(x0，y0). 因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6， 因为点P到准线距离为10，所以＝10. ① 因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0. ② 由①②，得 或 所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x. 解 19 求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置.不同的焦点设出不同的方程. 反 思 感 悟 20 (1)已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物 线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为　　　　.  跟踪训练 2 x2＝16y 21 因为双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 所以＝2， 所以b＝a， 所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0. 所以抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点＝2， 所以p＝8， 所以所求的抛物线方程为x2＝16y. 解析 22 (2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝4，求抛物线的方程. 23 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 准线交x轴于点G， 设BF＝a，则由已知得，BC＝2a， 由定义得，BD＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，2AE＝AC， ∵AF＝4，AC＝4＋3a，∴4＋3a＝8，从而得a＝， ∵BD∥FG， ∴，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x. 解析 24 抛物线性质的实际应用 三 (课本例2)某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡(精确到1 mm)？ 例 3 26 如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy. 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处. 在x轴上取一点C，使OC＝69.过C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即AB＝197， 所以点A的坐标为. 将点A的坐标代入方程y2＝2px，解得p≈70.3. 所以抛物线的焦点坐标约为(35，0). 答灯泡应该安装在距顶点约35 mm处. 解 27 如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在 曲线的方程； 例 3 28 如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴， 线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy， 则B(0，2)，A(2，4). 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离， 所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线. 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4， 故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. 解 29 (2)问变电房M建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 30 要使架设电路所用电线长度最短，即使MA＋MB的值最小. 如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得MB＝MH， 所以MA＋MB＝MA＋MH，故当A，M，H三点共线时， MA＋MH取得最小值，即MA＋MB取得最小值，此时M. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时， 所用电线长度最短，最短长度为6 km. 解 31 解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算. 反 思 感 悟 32 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点. 光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ 跟踪训练 3 33 如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系， 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0). 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)， 代入抛物线方程得302＝2p×40， 解得p＝， 则焦点的坐标为. 故光源应安置在与顶点相距 cm处. 解 34 (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 由(1)可得抛物线的方程为y2＝x. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为＝33. 故将y＝33代入抛物线方程得x＝48.4. 此时，探照灯的深度为48.4 cm. 解 35 1.知识清单： (1)抛物线的几何性质. (2)由抛物线的几何性质求标准方程. (3)抛物线几何性质的实际应用. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 √ 由抛物线y＝4x2， 得抛物线的标准方程为＝x2，2p＝， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 解析 1 2 3 4 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，焦点到顶点的距离为1，则该拋物线的准线方程为 A.y＝1 B.x＝－ C.x＝1 D.x＝－1 √ 因为抛物线焦点到顶点的距离为1，所以＝1，解得p＝2， 所以拋物线的准线方程为x＝－＝－1，即拋物线的准线方程为x＝－1. 解析 1 2 3 4 3.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y √ 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，则有42＝2p·， 解得p＝4(舍负). ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 解析 √ 1 2 3 4 4.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东方向2 km处，B地在A地北偏东60°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L的距离和到A地的距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B两地修建公路的费用都为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是 A.(2＋)a万元 B.(2＋1)a万元 C.5a万元 D.6a万元 √ 1 2 3 4 设点M 到直线L的距离为d，则d＝MA.d＋MB的最小值即为点B到直线L的距离.因为B地在A地北偏东60°方向2km处，所以B地到A地的水平距离为3 km，所以B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A A B C B 题号 7 8 11 12 13 14 答案 － 6 D AB 6 (2，＋∞) 题号 15 答案 B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则OF＝OM. 因为F(2，0)， 所以OM＝OF＝3， 所以M(3，0). 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以OA＝OB＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径. 由已知，得A点坐标是(2，6)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 则36＝2p×2，p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x， 焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处， 所以A，F两点间的距离即为每根铁筋的长度. AF＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)， 所以点C到准线l的距离d＝2， 又CO＝， 所以MN＝2＝2＝2. (2)设C， 则圆C的方程为＋(y－y0)2＝， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x2－x＋y2－2y0y＝0. 由x＝－1， 得y2－2y0y＋1＋＝0， 设M(－1，y1)，N(－1，y2)， 则 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由AF2＝AM·AN，得|y1y2|＝4， 所以1＋＝4，解得y0＝±，此时Δ>0， 所以圆心C的坐标为，OC2＝， 所以OC＝，即圆C的半径为. 基础巩固 1.若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为 A.－2 B.2 C.－4 D.4 √ 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为， 将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)， 根据题意可得＝2，所以m＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是 A.x＝－1 B.y＝－1 C.x＝－2 D.y＝－2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点A作准线的垂线，垂足为点C， 过点F作AC的垂线，垂足为点B， 如图，由∠OFA＝120°，得AB＝AF＝2， 点A到准线的距离为d＝AB＋BC＝p＋2＝4， 解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1. 解析 3.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若AB＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易得线段AB所在的直线方程为x＝1， 又抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线AB的距离为1－. 解析 4.已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则△OFM的面积为 A.1 B.2 C. D.2 √ 由题意得，抛物线的准线方程为x＝－，焦点F， 由抛物线的性质知点M到焦点的距离等于到准线的距离，可得5＝4＋， 解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，将M代入抛物线方程可得＝16，解得|y0|＝4， 所以S△OFM＝OF·|y0|＝×1×4＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4 km，城镇P位于点O的北偏东30°方向10 km处，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网.为了降低 修路成本，则修建的两条公路总长最小值约为 (≈24.515，结果精确到0.001 km) A.24.515 km B.19.612 km C.9.806 km D.3.922 km √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，建立平面直角坐标系，由题意得，＝0.4， 则抛物线C：y2＝1.6x.设抛物线C的焦点为F，则F(0.4，0)， ∵城镇P位于点O的北偏东30°方向10 km处， ∴P(5，5)， 则公路总长Q'F＋Q'P≥PF＝≈9.806(km). 当且仅当P，Q，F三点共线时，等号成立. 解析 6.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝4OF，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)，则由MF＝4OF得x1＋＝4×， 即x1＝p，则＝3p2， 则|y1|＝p，则S△MFO＝××p＝4，解得p＝4， 即抛物线的方程为y2＝8x. 解析 7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦 点为F，则直线AF的斜率为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上， ∴＝2，∴p＝4. ∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).又A(－2，3)， 根据斜率公式得kAF＝＝－. 解析 － 8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，OF＝2， ∵M为FN的中点，MM'＝1， ∴M到准线的距离d＝MM'＋＝3， ∴MF＝3，∴FN＝6. 解析 9.已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. 解 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则OF＝OM. 因为F(2，0)，所以OM＝OF＝3，所以M(3，0). 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以OA＝OB＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 解 10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径. 由已知，得A点坐标是(2，6)， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x， 焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处， 所以A，F两点间的距离即为每根铁筋的长度. AF＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米. 解 11.抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝， ∴＝6，∴p＝8. 解析 12.(多选)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为 A. B.－ C. D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－， 因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2， 所以＝2，解得a＝或a＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A， B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　.   抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－. 将y＝－＝1，得|x|＝.要使△ABF为等边三角形，则tan，解得p2＝36，p＝6(舍负). 解析 6 14.在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，＋∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆心为P(0，a)(a>0)，Q(x，y)是抛物线上任意一点， PQ2＝x2＋(y－a)2＝4y＋(y－a)2＝(y－a＋2)2＋4a－4， 若PQ2的最小值不在O(0，0)处取得，则圆P不过原点， 所以a－2>0，即a>2，此时圆的半径r＝＝2>2. 因此当r>2时，圆无法触及抛物线的顶点O. 解析 15.已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1，2)，B(－1，2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为 A.2＋ B.1＋ C.3 D.4 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设抛物线y2＝2x的焦点为F， 则四边形ABNM的周长l＝AB＋2AM＋2xM ＝2＋2AM＋2MF－1 ＝1＋2(AM＋MF)≥1＋2AF＝1＋， 当且仅当A，M，F三点共线时取等号. 故四边形ABNM周长的最小值为1＋. 解析 16.如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N. (1)若点C的纵坐标为2，求MN； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)， 所以点C到准线l的距离d＝2， 又CO＝， 所以MN＝2＝2＝2. 解 (2)若AF2＝AM·AN，求圆C的半径. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C， 则圆C的方程为＋(y－y0)2＝， 即x2－x＋y2－2y0y＝0. 由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0， 设M(－1，y1)，N(－1，y2)， 则 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由AF2＝AM·AN，得|y1y2|＝4， 所以1＋＝4，解得y0＝±，此时Δ>0， 所以圆心C的坐标为，OC2＝， 所以OC＝，即圆C的半径为. 解 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $