3.2.2 双曲线的几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学双曲线知识，先通过类比椭圆探究方法，系统梳理双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，再深入直线与双曲线的位置关系，包括判断、弦长及中点弦问题，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以发电厂冷却塔等现实情境导入，培养用数学眼光观察世界的能力。通过例题推导离心率、渐近线方程，强化数学思维；设置分层检测与素养拓展题，如证明反比例函数图象是双曲线，提升数学表达与创新意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

3.2.2 双曲线的几何性质 新课导入 发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关性质. 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.理解判断直线与双曲线位置关系的方法. 4.会求解有关弦长、中点弦问题. 5.会解决直线与双曲线的综合问题. 第1课时 双曲线的简单几何性质 新知学习 探究 一 双曲线的几何性质 类比椭圆的几何性质，研究双曲线的方程及其对应曲线： 思考．从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制? 提示 有限制，因为，即，所以 或. ［知识梳理］ 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 性质 范围 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 对称性 对称轴：③_ _ _ _ _ _ ；对称中心：④_ _ 顶点坐标 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 渐近线 ⑦_ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ 离心率 ⑨_ _ _ _ _ _ ， 轴长 实轴长为⑩_ _ _ _ _ _ ,虚轴长为⑪_ _ _ _ _ _ 【答案】 或； 或； 坐标轴； 原点； ,； ,； ； ； ； ； 2．双曲线的中心和等轴双曲线 （1） 双曲线的中心 双曲线的⑫_ _ _ _ _ _ _ _ 叫作双曲线的中心． （2） 等轴双曲线 ⑬_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率. 【答案】（1） 对称中心 （2） 实轴和虚轴等长 ［例1］ （对接教材例1）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 【解】 把方程 化为标准方程为， 由此可知，实半轴长， 虚半轴长，， 焦点坐标为，， 离心率， 顶点坐标为，， 渐近线方程为， 即. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式； （2）由标准方程确定焦点位置，确定,的值； （3）由求出的值，写出双曲线的几何性质. 注意 求性质时一定要注意焦点的位置. ［跟踪训练1］． （1） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 5 （2） 双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） D 【解析】 （1） 选.设，则，，，所以. （2） 选.由 可得,又因,故有,而双曲线 的渐近线方程为,即.故选. 二 由双曲线的几何性质求标准方程 ［例2］ （1） 求焦点在轴上，离心率为，且过点的双曲线的标准方程； （2） 求经过点,，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【答案】 （1） 【解】因为， 所以，. 又因为焦点在 轴上， 所以设双曲线的标准方程为.把点 代入方程，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2） 方法一:当焦点在 轴上时，设双曲线标准方程为，由双曲线经过点,得，① 由双曲线的渐近线方程为 得，② 由①②解得，，， 此时，所求双曲线方程为. 当焦点在 轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点,得，③ 由双曲线的渐近线方程为 得，④ 不存在同时满足③④的，. 综上所述，所求双曲线的标准方程为. 方法二：由渐近线方程为，即 可设所求双曲线的方程为， 又双曲线经过点,，则有， 所以所求双曲线的标准方程为. （1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． （2）巧设双曲线方程的技巧 渐近线为的双曲线方程可设为. ［跟踪训练2］． （1） 已知双曲线中心在原点，一个顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.方法一:由双曲线顶点在 轴上，所以可设其方程为，因为顶点坐标为，渐近线方程为，即，可得 解得 所以双曲线的标准方程为. 方法二：依题意可设双曲线方程为，化为标准方程，又一个顶点坐标为，所以，，故所求双曲线的标准方程为. （2） 由题意得 解得 所以， 所以双曲线的方程为. 三 双曲线的渐近线与离心率 角度1 求双曲线的渐近线 ［例3］ （1） 已知中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知,,为双曲线的两个焦点，点为虚轴的一个端点， ，则的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 由题意可得，则，又双曲线的焦点在 轴上，所以双曲线的渐近线方程为. （2） 由题意知，，而 ，结合双曲线的对称性可知 为等腰三角形，则 ，故，结合 可得， 故 的渐近线方程为. 求双曲线渐近线方程的步骤 （1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论； （2）求参数：利用已知条件建立，的关系式，求出，的值或其比值； （3）写方程：若双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为. 角度2 求双曲线的离心率 ［例4］ （1） 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. （2） 已知点，分别是双曲线的左焦点和右顶点，过点作垂直于轴的直线，交双曲线于，两点，若，则双曲线的离心率为_ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 2 【解析】 （1） 依题意，双曲线的渐近线方程为，又因为直线 的斜率为，所以，则双曲线 的离心率. （2） 设，将 代入，得，所以,，,,因为，且，由双曲线的对称性可知,,所以，即,即，所以，即，因为,所以，所以双曲线的离心率为2. 求双曲线离心率的方法 （1）若可求得,，则直接利用求解. （2）若已知,，可直接利用求解. （3）若得到的是关于,的齐次方程,,为常数，且,则转化为关于的方程求解（注意）. ［跟踪训练3］．（多选）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（ ） A. 的实轴长为 B. 的虚轴长为 C. 的渐近线方程为 D. 的离心率为2 【答案】AC 【解析】选.设，渐近线方程为，即，与渐近线的交点为，则 到渐近线的距离， 又，所以，又直线 与圆 相切，所以，设另外一个焦点为，则，， 又，所以，所以，又，所以，双曲线 的实轴长为，虚轴长为，正确，错误； 渐近线方程为，离心率为，正确，错误. 课堂巩固 自测 1．双曲线的虚轴长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】选.双曲线 的标准方程为，可得，则虚轴长. 2．（多选）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 双曲线的离心率 D. 椭圆和双曲线有4个公共点 【答案】AD 【解析】选.对于，双曲线 的渐近线方程为，正确； 对于，椭圆 的焦点在 轴上，双曲线 的焦点在 轴上，错误； 对于，双曲线 中，，，离心率，错误； 对于，由 解得 此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，正确. 3．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可知焦点 到渐近线 的距离为， 所以，所以. 4．根据下列条件求双曲线的标准方程： （1） 过点，与双曲线的离心率相等； （2） 与双曲线具有相同的渐近线，且过点. 【答案】（1） 解：过点，可知所求双曲线的焦点在 轴上，且，双曲线 的离心率，因为所求双曲线与双曲线 的离心率相等，所以所求双曲线的离心率为，解得，所以，所以所求双曲线的标准方程为. （2） 由题意可设所求双曲线的方程为，把点 代入所设方程得，解得.所以所求双曲线的标准方程为. 1.已学习：双曲线的几何性质. 2.须贯通：（1）根据几何性质求双曲线方程的方法.（2）求离心率及其范围的方法. 3.应注意：（1）忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.（2）混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误. 课后达标 检测 A 基础达标 1．双曲线的实半轴长为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】选.由双曲线，可化为，可得，即，所以双曲线 的实半轴长为4. 2．已知双曲线的虚轴长为2，一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可知，双曲线 的焦点在 轴上，设其标准方程为, 由题意可得 解得 故双曲线 的渐近线方程为. 3．已知双曲线的离心率，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】选.由题意双曲线 的标准方程为，，则，即. 4．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意可设所求双曲线的标准方程为.又该双曲线经过点，则，解得，则所求双曲线的标准方程为. 5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】选.由 可得其渐近线方程为，即,依题意，圆 的圆心 到 的距离为，化简得，则. 6．（多选）双曲线的左、右顶点分别为，，，两点在上，且关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 以的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 直线与的斜率之积为 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【解析】选.对于，的焦点和顶点分别为，，从而以 的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故 错误； 对于，双曲线 的离心率为，故 正确； 对于，显然，异于，，不妨设，, 因为点,都在双曲线 上， 且，， 所以直线 与 的斜率之积为 ，故 正确； 对于，双曲线 的焦点、渐近线方程分别是，，所以焦点到渐近线的距离，故 正确. 7．已知双曲线的实轴长为，离心率为2，则双曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题得 解得 所以双曲线的标准方程为. 8．已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】圆，双曲线 的渐近线方程为，因为圆 与双曲线 的渐近线有公共点， 所以圆心 到渐近线的距离， 所以，所以，即，所以. 9．已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内分别交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，过点 作 轴的垂线，直线方程为， 将 代入双曲线方程得，所以， 又点 在第一象限，所以,，双曲线的一条渐近线方程为，令 可得，即,， 又，所以 是线段 的中点，则，即，所以，所以双曲线 的渐近线方程为，即. 10．[（2025·孝感期中）]（13分）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线. （1） 若经过抛物线的顶点，求双曲线的方程；（5分） （2） 若双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，求双曲线的方程.（8分） 【答案】 （1） 解：依题意可设 的方程为. 抛物线 的顶点为，将 代入 的方程，得，则 的方程为. （2） 由题意易知，. 当焦点在 轴上时，设双曲线 的方程为，，则，， 则双曲线 的方程为； 当焦点在 轴上时，设双曲线 的方程为，， 则，， 则双曲线 的方程为. 综上所述，双曲线 的方程为 或. B 能力提升 11．已知双曲线的左、右焦点分别为,，右顶点为，点是右支上一点，点是的重心，若，则点到的两条渐近线的距离之和为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】选.如图，由已知可得，设点，由 可得点 的横坐标,因为点 是 的重心，则，将 代入双曲线方程可得，解得，则点 的坐标为 或，由双曲线的对称性，可知点 的两个坐标到渐近线的距离之和相同，取点，由双曲线方程可得渐近线方程为，则点 到双曲线 的两条渐近线的距离之和为. 12．（多选）已知双曲线的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于，两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】选.对于，设双曲线的右焦点为，因为直线 过原点，所以四边形 为平行四边形，所以,所以,故 正确；对于,因为，所以四边形 为矩形，所以，故 正确；对于，若，由渐近线的性质可知，所以，故 正确；对于，若，则，由渐近线的性质可知，在 中，，故 错误. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，在中，， ，则双曲线的离心率是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，由双曲线的定义知， 所以. 如图，取 的中点，连接, 所以， 又 ，得， 所以在 中，， 即，得，所以， 解得， 因为，所以双曲线 的离心率是. 14．[（2025·潍坊期末）]（15分）已知双曲线，点,都在双曲线上，且的右焦点为. （1） 求的离心率及其渐近线方程；（6分） （2） 设点是双曲线右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为,，证明：.（9分） 【答案】 （1） 解：由题意，把点，代入双曲线 的方程,得 解得 所以双曲线 的方程为， 故离心率，渐近线方程为. （2） 证明：由题意得，,一定存在且，，且， ，， 则， 又点 的坐标满足， 则， 故 ， 所以. C 素养拓展 15．（15分） （1） 根据双曲线的定义证明反比例函数的图象是双曲线；（7分） （2） 我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即. 探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 证明：观察图象可知若函数 的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线， 且 轴、轴是 图象的渐近线，直线 是双曲线的对称轴，它与双曲线 的两个交点为,是双曲线的两个顶点，实轴长. 两焦点坐标为,. 设点 在函数 的图象上，则，即,， ①当 时，， 所以 . ②当 时，，同理， 有. 因此，无论点 在第一象限或者在第三象限，均有. 综上，函数 的图象是双曲线. （2） 解：因为 与 是双曲线 的两条渐近线，且. 类似地，双曲线 上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数. 证明如下：设 是双曲线 上任意一点，则有. 双曲线 的渐近线方程为. 于是点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为，结论成立. 第2课时 直线与双曲线的位置关系 新知学习 探究 一 判断直线与双曲线的位置关系 ［知识梳理］ 设直线,① 双曲线,② 把①代入②得. （1） 当,即时，直线与双曲线①_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 当,即时， . 直线与双曲线有②_ _ 个公共点； 直线与双曲线有③_ _ 个公共点； 直线与双曲线有④_ _ 个公共点. 【答案】（1） 相交于一点 （2） 2；1；0 ［例1］ 已知双曲线,直线，试分别确定满足下列条件的实数的取值范围. （1） 直线与双曲线有两个不同的公共点； （2） 直线与双曲线有且只有一个公共点； （3） 直线与双曲线没有公共点. 【答案】 ［例1］ 【解】 联立 消去, 整理得 当,即 时, . （1） 由 得 且, 此时方程 有两个不同的实数解， 即直线 与双曲线有两个不同的公共点. （2） 由 得, 此时方程 有两个相同的实数解， 即直线 与双曲线有且只有一个公共点； 当,即 时， 方程（*）化为， 方程（*）只有一个实数解，即直线 与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当 或 时， 直线 与双曲线有且只有一个公共点. （3） 由 得 或，此时方程（*）无实数解， 即直线 与双曲线没有公共点. （1）解决直线与双曲线公共点问题时，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时的情况. （2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或与直线或平行. （3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论. ［跟踪训练1］． （1） 若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 （2） 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.直线，即 恒过点， 又双曲线的渐近线方程为，则点 在其中一条渐近线 上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线 过点 且平行于 或过点 且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线 有2条. （2） 联立 得,① 由题知方程①有一个正根，一个负根， 所以 解得. 二 与双曲线有关的弦长及中点弦问题 ［例2］ （1） 过点能否作一条直线与双曲线交于两点，，且点是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由. （2） 已知直线和双曲线相交于,两点，为原点，求的面积. 【答案】 （1） 【解】若能作出直线，则直线 的斜率存在，设为，设,,则 两式相减得, 整理可得, 因为 是线段 的中点，所以,即， 故直线 的方程为， 即， 将直线方程代入双曲线方程可得, ，此时直线与双曲线不相交. 故不能作出这样的直线. （2） 方法一:联立 得，设,， 则,，所以. 又因为点 到直线 的距离为， 所以. 方法二：由方法一易得. 设直线 与 轴的交点为,则. 弦长及中点弦问题的解题策略 （1）利用弦长公式 ，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式. （2）涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的关系. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·天津期中）]若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.设双曲线方程为，，,则 两式相减得,由题意知,所以，为线段 中点，则，， 又，所以，即， 而 是双曲线的焦点，所以，，则， 经验证双曲线 符合题意，所以双曲线的方程为. （2） 设双曲线 与直线 交于,两点，由 消去 整理得，则，解得，且，,所以. 由，解得，所以. 三 与双曲线有关的综合问题 ［例3］ 已知双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足 ，且. （1） 求双曲线的离心率； （2） 若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于,两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】 （1） 【解】由对称性可知，故， 由双曲线定义可知，即， 所以，又因为， 在 中，由余弦定理得， 即， 解得，故离心率为. （2） 因为双曲线过点， 所以，又由（1）知， 解得，,所以双曲线方程为，圆， 当直线 的斜率不存在时，则,,,， 所以当直线 的斜率不存在时不成立. 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为,，， 又点 到直线 的距离, 所以,， 联立 消去 得， 则 由 的面积为，即,所以， ， 将 代入上式得， 所以 或 即 或 经检验，满足，所以直线 的方程为 或. 与双曲线有关的综合问题 （1）当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. （2）当与直线知识结合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解. ［跟踪训练3］．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的右支于，两点，且当垂直于轴时，与的两条渐近线所围成的三角形的面积为4. （1） 求的方程； （2） 若，求的值. 【答案】 （1） 解：根据题意有，的渐近线方程为， 将 代入两个渐近线方程得到交点坐标为，， 与 的两条渐近线所围成的三角形的面积为， 所以，的方程为. （2） 设，， 其中，， 由（1）可知，， 当 轴时，显然 与 不垂直. 当 不垂直于 轴时，设 的方程为，代入 的方程有 ， 故，， ，， 当 时有，① 由 得到， 代入， 整理有，② 由①，②可得. 所以 . 课堂巩固 自测 1．若直线与双曲线相交于,两点，则（ ） A. 6 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】选.由 消去 并整理得，，设,，则,，所以. 2．（多选）已知直线，双曲线，则（ ） A. 当时，与只有一个交点 B. 当时，与只有一个交点 C. 当时，与的左支有两个交点 D. 当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【解析】选.由题意知直线 过定点， 当 时，与 的渐近线平行，与 只有一个交点，故，正确； 当 时，与 的左支和右支各有一个交点，故 错误； 当 时，与 的左支有两个交点，故 正确. 3．已知直线与双曲线交于，两点，且弦的中点为,，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，，则，，又 两式相减得, 即， 因为,整理得， 所以直线 的方程为， 即. 4．已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为. （1） 求的方程和焦点坐标； （2） 设的右焦点为，过点的直线交于，两点，若线段中点的横坐标为3，求. 【答案】 （1） 解：因为 的离心率，又 的虚轴长为2，所以,又,联立解得,,, 所以 的方程为，左、右焦点坐标分别为，. （2） 由（1）知，根据题意易得过点 的直线斜率存在，设直线的方程为,,， 联立 化简得, 则 所以,, 因为线段 中点的横坐标为3，所以,解得，经检验，满足条件，所以,则,则. 1.已学习：直线与双曲线位置关系的判断. 2.须贯通：（1）解决直线与双曲线问题的通法. （2）弦长问题、中点弦问题. 3.应注意：“点差法”解题要验证直线与双曲线的交点是否存在. 课后达标 检测 A 基础达标 1．过双曲线的左焦点和点的直线与双曲线的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】选.由题意得，则直线 的斜率，故直线 的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 则直线 与直线 平行，且 过双曲线的左焦点，故直线 与双曲线 的交点个数是1. 2．过双曲线的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题知，直线 的方程为，① 设，,， 将①代入双曲线方程消去 得，. 方法一:解得，. 将，代入①，得，， 故 . 方法二：则,, 所以 . 3．已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以，即双曲线离心率的取值范围为. 4．已知双曲线的下焦点和上焦点分别为,，直线与交于，两点，若的面积是面积的4倍，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由 可知，,联立 整理得，则，即，由 的面积是 面积的4倍可知，到直线 的距离是 到直线 的距离的4倍，即，化简可得，即，解得 或（舍去）. 5．已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设，，可得，，两式相减可得，由点 是弦 的中点，且直线，可得，，，则，即，双曲线的渐近线方程为.经验证此时直线与双曲线有两个交点，符合题意. 6．（多选）已知直线经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，经过的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.若直线 与 的两支交于顶点，，则，若直线 与 的一支交于，两点，则通径最短，，由题意得，解得，则 的方程为，经验证，选项表示的点不在双曲线上，，选项表示的点在双曲线上. 7．若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】设直线 的方程为，联立 整理得， 当 时，，得，符合题意； 当，即 时，由，得，符合题意，综上可知，或. 8．已知双曲线，若过右焦点的直线交双曲线的右支于,两点，且，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】当直线 斜率为0时，显然不符合题意，所以直线 的斜率不为0，设直线 的方程为，，，联立 消去 整理得， ，则，， 易知,则,故， 解得，则 或，故直线 的方程为 或. 9．[（2025·东营期末）]过双曲线内一点，且斜率为的直线交双曲线于,两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，, 由题意可得，， 且， 又因为 所以， 即有， 所以，所以， 所以， 所以. 10．（13分）已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. （1） 求双曲线的标准方程；（5分） （2） 已知倾斜角为的直线与双曲线交于,两点，且线段的中点的纵坐标为4，求.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意知,， 由 可得， 解得,， 故双曲线 的标准方程为. （2） 设,,中点的坐标为，则 两式相减得，化简得，即直线 的斜率，所以， 所以 中点的坐标为， 所以直线 的方程为， 即. 将 代入 得， ，, 则,， . B 能力提升 11．已知双曲线的一个焦点为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（ ） A. B. 9 C. D. 6 【答案】C 【解析】选.由题可知，，，，则不妨令，根据对称性设过 的直线为,，联立 可得，则， 设，，则，， 由，可得， 即有，② 由①②可得，， 所以， 解得（负值已舍去），， 所以. 12．已知双曲线的左焦点为，离心率为，直线分别与的左、右两支交于点，.若的面积为， ，则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】7 【解析】设双曲线 的右焦点为，如图，连接，，由对称性知四边形 为平行四边形， 故，， 由题意 ， ， 由面积公式得，解得， 由双曲线定义知， 在 中， , 解得，故，当且仅当，即 时等号成立. 13．（13分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. （1） 求的方程；（5分） （2） 若，是曲线上两点，试判断点能否为线段的中点，如果能，求出直线的方程；如果不能，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意，显然， 所以 的方程为. （2） 假设,在曲线 上，且线段 中点为，当 时， ， 所以，则， 所以直线 的方程为， 即，联立 整理得，解得 或，但这与 且,矛盾，故 不符合题意； 当 时，根据双曲线的对称性可知，线段 的中点应该为，这与线段 中点为 矛盾. 综上所述，若，是曲线 上两点，点 不能为线段 的中点. 14．[（2025·滁州期中）]（15分）已知双曲线的离心率是，焦距为6. （1） 求的方程；（5分） （2） 若直线与相交于，两点，且（为坐标原点），求的值.（10分） 【答案】 （1） 解：由题可知，，解得，，所以. 所以 的方程为. （2） 设，， 联立 消去 得， 因为直线 与 相交于，两点， 所以 即 且， 则，， 又，， 所以，所以，则， 即，解得，满足 且，所以 的值为. C 素养拓展 15．已知点，，是离心率为的双曲线上的三点，直线,,的斜率分别是,,，点，，分别是线段,,的中点，为坐标原点，直线,,的斜率分别是，,若，则_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】因为双曲线 的离心率为，所以， 不妨设,，， 因为点,在 上， 所以 两式相减， 得， 因为点 是 的中点，所以，， 所以， 即， 所以， 同理，. 因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $