3.2.1.1双曲线的定义与标准方程的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线定义与标准方程的应用，通过典型例题链接教科书内容，以直线与双曲线位置关系、实际应用、焦点三角形计算为核心，搭建从定义到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“数学眼光”分析实际问题（如敌炮兵阵地定位），用“数学思维”提炼通性通法（如代数法判断位置关系、整体处理焦点三角形），通过变式训练和母题探究深化理解。既提升学生问题解决能力，也为教师提供系统教学资源。

第2课时　双曲线的定义与标准方程的应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 直线与双曲线的公共点问题 【例1】　（链接教科书第99页例4）判断直线 l ： y ＝ x ＋1与双曲线 C ： x2－ y2＝1是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标. 解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去 y ，可 得 x2－（ x ＋1）2＝1，由此可解得 x ＝－1.此时， y ＝0.因此直线与双 曲线有一个公共点，且公共点的坐标为（－1，0）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 　　判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代 数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解时一个公共点；两解 时两个公共点；无解时没有公共点. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知双曲线 x2－ y2＝4，直线 l ： y ＝ k （ x －1），直线 l 与双曲线有两 个不同的公共点，确定满足条件的实数 k 的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：联立消去 y ，得（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝0. （*） 当1－ k2≠0，即 k ≠±1时， Δ＝（2 k2）2－4（1－ k2）（－ k2－4）＝4（4－3 k2）. 由得－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1， 此时方程（*）有两个不同的实数解，即直线 l 与双曲线有两个不同的 公共点. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 双曲线的实际应用 【例2】　 A ， B ， C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东6 km， C 在 B 北偏西30°，相距4 km， P 为敌炮兵阵地，某时刻 A 处发现敌炮兵阵 地的某种信号，由于 B ， C 两地比 A 距 P 地远.因此4 s后， B ， C 才同 时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s， A 若炮击 P 地，求炮 击的方向角. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：如图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的垂直平分线 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B （－3，0）， A （3，0）， C （－5，2 ）. 因为 PB ＝ PC ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 设敌炮兵阵地 P 的坐标为（ x ， y ）， BC 的中点为 D . 因为 kBC ＝－ ， D （－4， ）， 所以直线 PD 的方程为 y － ＝ （ x ＋4）.　① 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 联立①②，解得 x ＝8， y ＝5 ， 所以 P 点的坐标为（8，5 ）. 因此 kPA ＝ ＝ . 故炮击的方向角为北偏东30°. 又 PB － PA ＝4，所以 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支上，且方程 为 － ＝1（ x ≥2）.　② 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 利用双曲线解决实际问题的步骤 （1）建立适当的坐标系； （2）求出双曲线的标准方程； （3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　某工程需要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP ， BP 运到 P 处（如图）， AP ＝100 m， BP ＝150 m，∠ APB ＝ 60°，试说明怎样运土才能最省工. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分 线为 y 轴建立平面直角坐标系， 设 M 是分界线上的点，则 MA ＋ AP ＝ MB ＋ BP ，即 MA － MB ＝ BP － AP ＝150－100＝50（m）， 在△ APB 中， AB2＝ AP2＋ BP2－2 AP · BP · cos 60°＝ 17 500， AB ＝50 ＞ MA － MB ， 这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右支，且 a ＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） c2＝ ＝4 375， b2＝3 750， 故所求分界线的方程为 － ＝1（ x ≥25）. 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P 处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 双曲线中与焦点三角形有关的计算问题 【例3】　（链接教科书第101页习题10题）已知 F1， F2分别是双曲线 － ＝1的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且 PF1· PF2＝ 32.则△ F1 PF2的面积为 ⁠. 16　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.因为 P 是双曲线左支上 的点，所以 PF2－ PF1＝6，两边平方得 P ＋ P －2 PF1· PF2＝36， 所以 P ＋ P ＝36＋2 PF1· PF2＝36＋2×32＝100.在△ F1 PF2中， 由余弦定理，得 cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝0，所以∠ F1 PF2＝90°，所以 ＝ PF1· PF2＝ ×32＝16. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变条件，变设问）若将本例条件“ PF1· PF2＝32”改成“ PF1∶ PF2＝1∶3”，其他条件不变，试求△ F1 PF2的周长. 解：由题意知 F1 F2＝2 ＝10，又 PF1∶ PF2＝1∶3，∴ PF1 ＝3， PF2＝9，故△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. （变条件）若将本例条件“ PF1· PF2＝32”改为“∠ F1 PF2＝ 60°”，其他条件不变，试求△ F1 PF2的面积. 解：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5. 由定义和余弦定理得 PF1－ PF2＝－6， F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2 cos 60°， ∴102＝（ PF1－ PF2）2＋ PF1· PF2， ∴ PF1· PF2＝64，∴ ＝ PF1· PF2· sin ∠ F1 PF2＝ ×64× ＝16 . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 　　在解与焦点三角形（△ PF1 F2）有关的问题时，一般地，可由双 曲线的定义，得 PF1， PF2的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得 PF1， PF2的关系式，从而求出 PF1， PF2.但是，一般我们不直接求解 出 PF1， PF2，而是根据需要，把 PF1＋ PF2， PF1－ PF2， PF1· PF2看 作一个整体来处理. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 设 F1， F2分别是双曲线 － ＝1的下、上焦点， P 是该双曲线上的一点，且3 PF1＝5 PF2，则△ PF1 F2的面积为（　　） A. 12 B. 24 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　由双曲线 － ＝1得 a ＝2， b ＝2 ， c ＝4，又3 PF1 ＝5 PF2，且 PF1－ PF2＝2 a ＝4，得到 PF1＝10， PF2＝6，所以 P － P ＝64＝（2 c ）2＝ F1 ，即△ PF1 F2为直角三角形，所以 ＝ PF2· F1 F2＝ ×6×8＝24.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ）   解析：不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥ PF2，所以 F1 ＝ P ＋ P ＝（2 ）2，又 PF1－ PF2＝2，所以（ PF1－ PF2）2 ＝4，可得2 PF1· PF2＝4，则（ PF1＋ PF2）2＝ P ＋ P ＋2 PF1· PF2＝12，所以 PF1＋ PF2＝2 . 2 　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 直线3 x －4 y ＝0与双曲线 － ＝1的交点个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　联立直线3 x －4 y ＝0与双曲线 － ＝1的方程，得 方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 如图，已知双曲线的方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），点 A ， B 均在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2， AB ＝ m ， F1为双曲线的左焦点，则△ ABF1的周长为（　　） A. 2 a ＋2 m B. 4 a ＋2 m C. a ＋ m D. 2 a ＋4 m 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　由双曲线的定义，知 AF1－ AF2＝2 a ， BF1－ BF2＝2 a . 又 AF2＋ BF2＝ AB ，所以△ ABF1的周长为 AF1＋ BF1＋ AB ＝4 a ＋2 AB ＝4 a ＋2 m . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $