精品解析：广东汕头市潮阳区龙港初级中学2026-2027学年九年级上学期开学数学试题

2026秋八升九质量检测 数 学 说明：本卷满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答在试卷上的答案无效． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 小智同学学习完数学课本“探究与发现”栏目中的《用多边形镶嵌平面》内容后，知道了平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖的问题叫做平面镶嵌．随后他设计了以下四种正多边形瓷砖，请问用同一种瓷砖可以进行平面镶嵌的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 4. 汕头市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分120分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（ ） A. 这次考试中两校均没有满分的 B. 甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C. 甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D. 甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 5. 如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 6. 如图，平行四边形的顶点坐标分别是，和，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 8. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 已知直线经过第一、二、三象限，则实数可以是___________．（填一个即可） 12. 在一次中学田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示． 成绩/ 人数 则这些运动员成绩的中位数为_______________． 13. 如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 14. 小濠在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小濠把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与n （个）的函数关系是__________． 15. 观察下列等式：，，，用含有（，取正整数）的式子将其中的规律表示出来为_______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知，， （1）直接写答案：________；________；________． （2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：. 17. 在①；②E、F分别是、的中点；③，这三个条作中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，______填写序号，连接、、、． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形是平行四边形． 18. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示． (1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式； (2)直接写出每分进水，出水各多少升． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图： 甲组： 第1步：以点B为圆心，以长为半径作弧，交边于点E， 第2步：连接 结论： 乙组： 第1步：以点A为圆心，以长为半径作弧，交边于点E， 第2步：连接， 结论： 解答下面问题： （1）请你分别判断甲组、乙组的作法是否正确？ （2）请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； （3）请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 （1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ （2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； （3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 21. 【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． （1）如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ （2）课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ （3）如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 综合与实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图1，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下四项挑战． （1）挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（______，______）、（______，______）、（______，______） （2）挑战二：定位线位置 任务：请你探究并求出折叠后与轴交点的坐标； （3）挑战三：特殊平行四边形 任务：如图2，过点E作交于点F，请问四边形是否为菱形？请写出你的判断理由． （4）挑战四：动点的存在性探究 任务：请你展开深入探究：若点是折线上的一动点，是否存在这样的点，使得的面积为9？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作交外角平分线于． （1）如图1，若为边的中点，求证：． （2）如图2，若，求的长； （3）如图3，连接，交边于点，连接，求证：平分． （4）如图4，以点为坐标原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，，为边的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋八升九质量检测 数 学 说明：本卷满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答在试卷上的答案无效． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负、分母不为零的条件，列不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， ∴， 解得：． 2. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数中，在一个变化范围内，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中，对于给定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数； D选项中，对于给定范围内x取值时，y可能有多个值与之相对应，所以y不是x的函数． 3. 小智同学学习完数学课本“探究与发现”栏目中的《用多边形镶嵌平面》内容后，知道了平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖的问题叫做平面镶嵌．随后他设计了以下四种正多边形瓷砖，请问用同一种瓷砖可以进行平面镶嵌的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【详解】解：①正三角形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； ②正方形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； ③正五边形每个内角是，不能整除，故不能进行密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； 综上，能密铺平面的是①②④． 4. 汕头市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分120分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（ ） A. 这次考试中两校均没有满分的 B. 甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C. 甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D. 甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A、两校最高分均未达120分，故无满分，正确； B、甲校上四分位数约为90，乙校下四分位数约为80，，正确； C、甲校成绩范围更大，波动更明显，正确； D、箱线图显示甲校下四分位数约为60，乙校中位数约为90，甲校下四分位数与乙校中位数不同，故选项D错误． 5. 如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 6. 如图，平行四边形的顶点坐标分别是，和，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合点的坐标特征求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴且． ∵，， ∴在轴上，且， ∴平行于轴，且． 又， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 点的横坐标为， ∴点的坐标为． 7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 8. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是、 ∴两个空白小正方形的边长是、 ∴大正方形的边长是 ∴大正方形的面积是 ∴阴影部分的面积是． 故选：A 【点睛】本题考查了开方运算在几何图形中的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 9. 如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BGP的面积等于EBP的面积，三角形HPD的面积等于三角形PDF的面积，从而可得到AEPH的面积等于GCFP的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线， ∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积． ∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积． ∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE， 可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等． 所以有3对面积相等的平行四边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 10. 如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再结合直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：是的中位线，， 为的中点，为的中点， ， 是的高线， ， ∴， 为的中点， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 已知直线经过第一、二、三象限，则实数可以是___________．（填一个即可） 【答案】（负数均正确） 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限，得到直线与轴交点位置，进而得到的取值范围． 【详解】解：一次函数中，， 直线必经过第一，三象限， 直线经过第一，二，三象限， 直线与轴的交点在轴正半轴， 当时，， ，得， 任选一个小于的实数即可，例如． 12. 在一次中学田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示． 成绩/ 人数 则这些运动员成绩的中位数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】共有个数据，中位数为从小到大排列后的第个数据，累加人数确定第个数据对应的成绩即可． 【详解】解：一共有个数据，将成绩从小到大排列后，中位数是第个数据， ，， 第个数据对应的成绩为． 13. 如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴和勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． 先求出的长度，由垂直得出直角，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间的距离求出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 14. 小濠在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小濠把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与n （个）的函数关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出纸杯边沿的高，然后根据纸杯的高加纸杯边沿的高，可得答案． 【详解】解：根据题意，得纸杯边沿的高是 ∴高度h与n的函数关系是， 即． 15. 观察下列等式：，，，用含有（，取正整数）的式子将其中的规律表示出来为_______． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知等式，归纳总结出一般规律即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， …… 通过观察得到规律， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式准确找出规律是解题关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知，， （1）直接写答案：________；________；________． （2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：. 【答案】（1）；2；2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减法计算和的值，利用平方差公式计算的值； （2）先因式分解得出，然后再利用整体代入法计算． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解： 把，，代入得， 原式= = 17. 在①；②E、F分别是、的中点；③，这三个条作中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，______填写序号，连接、、、． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：若选择， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ； 若选择②E、F分别是、的中点， 证明：四边形是平行四边形，  ∴，， ∵E、F分别是、的中点， ∴， 即 在和中， ， ， ； 若选择③， 证明：四边形是平行四边形，  ∴， ∵， ， 在和中，  ，  ． （2）解：若选择， 证明：四边形是平行四边形， ∴ ，， ， ∴，即， ，， ∴ 四边形是平行四边． 若选择②E、F分别是、的中点， 证明：四边形是平行四边形，  ∴，， ∵E、F分别是、的中点， ∴， 即， ，， ∴ 四边形是平行四边． 若选择③， 证明：四边形是平行四边形，  ∴，， ∵， ， 在和中，  ， ，  ∴， ，， ∴ 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理、全等三角形的判定与性质证明即可； （2）由（1）的结论及平行四边形的判定可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示． (1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式； (2)直接写出每分进水，出水各多少升． 【答案】（1）y＝x＋15(4≤x≤12)（2）进水5L，出水3.75L 【解析】 【详解】试题分析：（1）用待定系数法求对应的函数关系式； （2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解． 试题解析：（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．∵图象过（4，20）、（12，30），∴，解得：，∴（4≤x≤12）； （2）根据图象，每分钟进水20÷4=5升，设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m=30﹣20，解得：m=． 故每分钟进水、出水各是5升、升． 考点：1．一次函数的应用；2．分段函数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图： 甲组： 第1步：以点B为圆心，以长为半径作弧，交边于点E， 第2步：连接 结论： 乙组： 第1步：以点A为圆心，以长为半径作弧，交边于点E， 第2步：连接， 结论： 解答下面问题： （1）请你分别判断甲组、乙组的作法是否正确？ （2）请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； （3）请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）甲组正确；乙组正确 （2）若选“甲组正确” 理由如下： 如题图所示， ∵， ∴， ∴， 即， 由甲组的尺规作图可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故甲组作法正确； 若选“乙组正确” 理由如下： 如图，连接，． 由乙组的尺规作图可知，． ∵，， ∴， ∴， ∴同理四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故乙组作法正确； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形判定与性质判断即可； （2）若选“甲组正确”，证明四边形是矩形得出结论；若选“乙组正确”，得出，进而得出四边形是矩形，即可得出结论； （3）根据过直线外一点作已知直线垂线的作法作图即可． 【小问1详解】 解：甲组正确；乙组正确． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 （1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ （2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； （3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】（1）甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； （2）甲排名第一，乙排名第二； （3）设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【小问1详解】 解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； 【小问2详解】 解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； 【小问3详解】 解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 21. 【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． （1）如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ （2）课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ （3）如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力． （1）利用两点间距离公式计算即可． （2）利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ，，， ， 的面积； 【小问3详解】 如图，的面积， ， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 综合与实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图1，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下四项挑战． （1）挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（______，______）、（______，______）、（______，______） （2）挑战二：定位线位置 任务：请你探究并求出折叠后与轴交点的坐标； （3）挑战三：特殊平行四边形 任务：如图2，过点E作交于点F，请问四边形是否为菱形？请写出你的判断理由． （4）挑战四：动点的存在性探究 任务：请你展开深入探究：若点是折线上的一动点，是否存在这样的点，使得的面积为9？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）、、 （2） （3）四边形是菱形，理由如下： 如下图，设交于点M， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∵沿着对角线翻折得， 由折叠的性质，可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （4）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据已知线段长直接得出点的坐标即可； （2）先证明，设，则，根据勾股定理求出即可； （3）证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （4）当点在上时， 设的坐标为，列方程求出结论；当点在上时，设的坐标为，列方程求出结论即可． 【小问1详解】 解：、、； 【小问2详解】 解：∵长方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角中，， 则，解得：； 则， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：存在；理由如下： 点在上时，的高是3，面积是9，底是线段的长度； 设的坐标为，则： 即， 解得 ∴的坐标为； 点在上时， 设的坐标为，则： ， 解得：， ∴的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 23. 如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作交外角平分线于． （1）如图1，若为边的中点，求证：． （2）如图2，若，求的长； （3）如图3，连接，交边于点，连接，求证：平分． （4）如图4，以点为坐标原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，，为边的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标． 【答案】（1）如图，在上截取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，， 又是中点， ， ， ，即是中点， ∴， ， ，°， 是等腰直角三角形， ， ， 又平分，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ． （2）． （3）证明：如图3所示，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ∴，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即平分． （4）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）在上截取一点，使，通过证明即可得出结论； （2）在上取一点，使得，连接，同理（1）可得，进而可得，再根据勾股定理得出结论； （3）延长到，使，连接，构造全等三角形，通过证明，得出，，再证明，得出，根据等角的余角相等即可得出结论； （4）根据，可得，故当点与点重合， ，得出第一个符合条件的点，再利用对称得出符合条件的的位置，根据点坐标求出直线和解析式、以及它们的交点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，在上取一点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：过点作轴，垂足为点，设点的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）有， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∴点所在的直线的解析式为：， 连接，由（3）得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴当点与点重合， ， ∵点是线段的中点， ∴， ∴点的坐标为，即点的坐标为； 设直线的解析式为：， 把，代入，得：解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 作点关于直线的对称点，可得， 此时， ∴当点为直线与的交点时，， ∴由待定系数法可求直线的解析式为， 联立，解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $