精品解析：广东省汕头市潮阳区龙港初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，7，5 C. 2，3，4 D. 1，2，2 3. 下列函数中，是一次函数有（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 6. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为( ) A 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（ ） A. 140 B. C. D. 24 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象与轴的交点坐标是 B. 函数值随自变量的增大而减小 C. 函数的图象不经过第三象限 D. 函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 9. 如图，在平行四边形中，点为的中点，点为上任意一点，把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，则与一定相等的角（不含）有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在平行四边形中，，于点，交于点，若，则的大小是（ ） A B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 一组数据84，84，88，89，89，95，95，95，98，则这组数据的众数是______ ． 12. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 13. 直线与y轴的交点坐标为_________． 14. 如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则___________． 15. 当时，一次函数的最大值为18，则_______ 16. 如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为_________． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 18. 如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 19. 小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米． （1）求风筝到地面的距离线段的长； （2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米，和的长度不变，则他应该再放出_____米线． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分）．经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分． 学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7 九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9 （1）表格中a值为 （2）求八年级学生成绩中位数； （3）唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？ 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 23. 图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ． （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中的长； （3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积． 24. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．试证明：； 深入探究】 （3）如图3，若，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 25. 在平面直角坐标系中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称M，N两点相互等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点，已知点A的坐标是． （1）如图①，在点中，点A的等垂点是 （选填“B”“C”或“D”）． （2）如图②，若一次函数的图像上存在点A的等垂点，求点的坐标； （3）若一次函数的图象上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式必须满足的两个条件进行判断即可． 【详解】解：A、；A选项不是最简二次根式， B、；B选项不是最简二次根式， C、；C选项不是最简二次根式， D、是最简二次根式；故D选项符合题意， 故选：D 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，7，5 C. 2，3，4 D. 1，2，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点.根据勾股定理的逆定理判断即可. 【详解】解：A、∵，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列函数中，是一次函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义．形如的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：A.是二次函数，此项不符合题意； B.是常数函数，此项不符合题意； C.是一次函数，此项符合题意； D.是反比例函数，此项不符合题意． 故选：C． 4. 下列选项中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算．根据题意，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A. ，正确，此项符合题意； B. ，此项不符合题意； C. ，此项不符合题意； D. ，此项不符合题意． 故选：A． 5. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可． 【详解】分． 故选B． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 6. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,由B点坐标知OA=BC=3,AB=OC=2;根据三角形中位线定理可求四边形DEFG的各边长度,从而求周长. 【详解】解: ∵四边形OABC是矩形, OA=BC,AB=OC;BA⊥OA,BC⊥OC. ∵B点坐标为（3.2）, ∴OA=3,AB=2. ∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点, ∴DE=GF=1.5;EF=DG=1. ∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5. 故答案为 5. 【点睛】此题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理,理清坐标系内点的坐标与对应相等的长度之间的关系很关键.难度不大. 7. 如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（ ） A. 140 B. C. D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积,再根据勾股定理得小正方形的面积为． 【详解】解：由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积, 根据勾股定理得小正方形的面积为． 故选：D． 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象与轴的交点坐标是 B. 函数值随自变量的增大而减小 C. 函数的图象不经过第三象限 D. 函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的规律进行解答即可． 【详解】解：A、令y＝0，则x＝4，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（4，0），故A选项错误，符合题意； B、因为一次函数中k＝−1＜0，因此函数值随x的增大而减小，故B选项正确，不符合题意； C、因为一次函数中k＝−1＜0，b＝4＞0，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C选项正确，不符合题意； D、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的规律是解答此题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，点为的中点，点为上任意一点，把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，则与一定相等的角（不含）有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质由翻折的性质可知，，由为的中点，得到，根据三角形外角等于不相邻的两内角之和，找到与相等的角，再根据，也可得到． 【详解】解：由翻折的性质可知：，； 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 与相等的角有，，，， 故选：C． 10. 如图，在平行四边形中，，于点，交于点，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取DF的中点G，连接AG，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠FAD=∠AEB=90°，∠CBD=∠GDA，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出AB=AG=FG=DG，根据等边对等角可得∠ABG=∠AGB，∠GAD=∠GDA，然后根据三角形的外角的性质和已知条件即可求出∠GDA，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论． 【详解】解：取DF的中点G，连接AG，如下图所示 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，∠AEB=90° ∴∠FAD=∠AEB=90°，∠CBD=∠GDA 在Rt△FAD中，DF=2AG=2FG=2GD ∵ ∴AB=AG=FG=DG ∴∠ABG=∠AGB，∠GAD=∠GDA ∴∠ABG=∠AGB=∠GAD＋∠GDA=2∠GDA=2∠CBD ∴∠ABC=∠ABG＋∠CBD=3∠CBD=78° ∴∠CBD=26° ∴∠GDA=26° 在Rt△AFD中，∠AFD=90°－∠GDA=64° 故选B． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角是解决此题的关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 一组数据84，84，88，89，89，95，95，95，98，则这组数据的众数是______ ． 【答案】95 【解析】 【分析】根据一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数得出即可． 【详解】解：在数据84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现了3次，出现的次数最多， 则这组数据的众数为95， 故答案为：95． 【点睛】本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 12. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 13. 直线与y轴的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在坐标轴上点的坐标特点，与y轴的交点即求出当x=0时，y的值，从而得到交点坐标． 【详解】解：令x=0，则y=2×0+5=5， ∴直线与y轴的交点坐标为(0,5)． 故答案(0,5)． 【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特点．一次函数y=kx+b（k≠0，且k、b是常数）的图像是一条直线，它与x轴的交点坐标是(,0)；与y轴的交点坐标是(0,b)． 14. 如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．作于，于，先证明得，由，知，再求出，最后结合矩形的性质可求出结果． 【详解】解：如图，作于，于， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：6． 15. 当时，一次函数的最大值为18，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键．由一次函数的系数判断函数的增减性，可知当时，函数值最大，列出关于的方程，解之即可． 【详解】解：一次函数， ，即随的增大而减小， 当时，函数值最大， 由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得， ，可证得，可得 ，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点M为中点，由可证得，可得，设，则，由勾股定理解得，可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， 即 ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键．直接利用二次根式的混合运算法则求解，即可解题． 【详解】解：原式． 18. 如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，求出，，推出四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 19. 小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米． （1）求风筝到地面的距离线段的长； （2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米，和的长度不变，则他应该再放出_____米线． 【答案】（1）6.5 （2）2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用． （1）先用勾股定理求，再求即可； （2）先求上升4米后的的长度，再用勾股定理求线长，最后求差即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 风筝沿方向再上升4米 他应该再放出线长为（米）． 故答案为：2． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分）．经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分． 学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7 九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9 （1）表格中a的值为 （2）求八年级学生成绩的中位数； （3）唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？ 【答案】（1）9 （2）8分 （3）九年级学生的成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）计算出八年级成绩的方差，再依据方差的意义判断即可； 本题主要考查方差和中位数及算术平均数，解题的关键是掌握方差和中位数及算术平均数的定义． 【小问1详解】 故答案为：9； 【小问2详解】 将八年级学生成绩重新排列为：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10, 所以这组数据的中位数为 【小问3详解】 八年级学生成绩的方差为 ， ∵九年级学生成绩的方差为1分， 九年级学生的成绩更稳定． 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理． （1）先证明得，再结合即可得出结论； （2）先用勾股定理的逆定理证明，得出四边形是矩形即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形 在和中 又 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ． 22. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【解析】 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【小问1详解】 解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔单价各是65元， 54元． 【小问2详解】 解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 23. 图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ． （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中的长； （3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积． 【答案】（1） （2）4 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式．熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，图1中两个正方形的面积之和为，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，由勾股定理求，，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，，整理可求，则，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴图1中两个正方形的面积之和为； 【小问2详解】 解：由题意知，，， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴的长为4； 【小问3详解】 解：由题意知，，， ∵，， ∴，， 整理得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴的面积为1． 24. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．试证明：； 【深入探究】 （3）如图3，若，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见详解；（2），理由见详解；（3）或． 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）先由矩形的性质得，则，再由折叠的性质证明四边形是平行四边形，即可得出其为菱形； （2）连接，先证明，再证明即可； （3）分两种情况：若和若，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形 由折叠知，， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 故答案为：菱形； （2）数量关系为：，理由如下： 如图，连接， 为的中点 四边形是矩形 由折叠知，， 在和中 ； （3）分两种情况： 如图，若， 四边形是矩形 过点作于，则四边形为矩形 由折叠知， ； 如图，若，则， 过点作于，则， 同理可得 由折叠知，， ． 综上，的值为或． 25. 在平面直角坐标系中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称M，N两点相互等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点，已知点A的坐标是． （1）如图①，在点中，点A等垂点是 （选填“B”“C”或“D”）． （2）如图②，若一次函数的图像上存在点A的等垂点，求点的坐标； （3）若一次函数的图象上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式 ． 【答案】（1）D （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等垂点的定义，进行判断即可； （2）分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）分一次函数为，和一次函数为，进行讨论验证即可． 小问1详解】 解：取点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是点的等垂点； y轴上不存在点T，使，以及， ∴点A的等垂点是， 故选D； 【小问2详解】 ①当点在轴的上方时，过点作轴，则：， ∴， ∵是点的等垂点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴； ②当点在轴下方时，过点作轴， 同法可得：， ∴，， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 【小问3详解】 该一次函数的解析式为或，理由如下： 当一次函数为时，设直线上任意一点，连接，作的垂直平分线交轴于点，交于点，过点作轴，作轴，如图： 则：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴，轴， ∴，，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是点的等垂点， ∴直线上的任意一点均为点的等垂点； 即：直线上存在无数个点是点的等垂点． 同法可证，直线上存在无数个点是点的等垂点． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的综合应用．理解并掌握等垂点的定义，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$