精品解析：广东深圳市红岭教育集团2026-2027学年上学期九年级开学考数学试卷

红岭教育集团2026―2027学年度第一学期 初三入学摸底检测 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：A选项，等号左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B选项，等号左边表示的是单项式与多项式的积，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C选项，等号左边表示的是多项式与多项式的积，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D选项，将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解定义，故本选项符合题意． 2. 如果，那么下列正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，则，原式正确，符合题意； D、由可得，原式错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的概念及识别，根据旋转的性质且结合图1和图2的变化，找出中心对称图形，即可作答． 【详解】解：4张扑克牌中，只有方块6是中心对称图形， 观察图1和图2，它们都没有改变，因此被旋转过的牌是方块6， 故选：D 4. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出：，解出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5. 根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意得到，因为，可证明四边形是平行四边形，其依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是平行四边形； 判定依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：C． 6. 如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求使y1＜y2的x的取值范围，即求对于相同的x的取值，直线y1落在直线y2的下方时，对应的x的取值范围．直接观察图象，可得出结果． 【详解】解：由图象可知，当x＜4时，直线y1落在直线y2的下方， 故使y1＜y2的x的取值范围是：x＜4． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 7. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分并求出边长是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长即可． 【详解】解：∵，， ∴两对角线的一半分别为，， 由勾股定理得，边长， 故选：A． 8. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知，则分式的值等于_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：， ， ∴． 11. 如图，已知在中，对角线，相交于点，若，对角线和的和是，则的周长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，结合已知条件求出和的值，进而求出的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 的周长为． 12. 图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为___________度． 【答案】#36度 【解析】 【分析】首先求出正五边形的内角为，然后利用周角为求解即可． 【详解】解：如图所示， 正五边形内角度数为 ∴ ∴ ∴四边形的最小内角为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的内角，图形的镶嵌，解题的关键是求出正五边形的内角． 13. 如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接、，若，垂足为E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得到，利用勾股定理，求得，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是的中线， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并写出满足条件的整数解． 【答案】不等式组的解集为，满足条件的整数解为，，． 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再写出满足条件的整数解即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 满足条件的整数解为，，． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，已知点坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请直接写出的坐标_______，并画出． （2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的． （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】（1）， 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：∵与关于原点成中心对称，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴和的对称中心的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标． 17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在平行四边形内部作以为对角线的菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证（1）中作的四边形是菱形． 【答案】（1） 解：作的垂直平分线，分别交于点，连接，四边形即为所求，如图所示， ； （2） 证明：垂直平分， ∴，， 又四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线垂直平分作的垂直平分线分别交于点，即可得到答案； （2）根据垂直平分线得到，，结合平行四边形证明即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查垂直平分线的性质及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定． 19. 综合与实践 素材1 为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决: 任务1： （1）①当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 （2）当时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当为整数时，请直接写出所有符合条件的正整数x的值； 任务3 （4）若分式的值为，求的取值范围． 【答案】（1）减小；减小 （2）2 （3）符合条件的正整数x的值为，或； （4） 【解析】 【分析】（1）根据素材1的结论即可求解； （2）先化简，再根据素材1的结论，可得当时，随着x的增大，的值无限接近0，因此的值无限接近2； （3）根据为整数，x的值是正整数，可得为整数，从而，，，，或，解方程即可； （4）先化简，再讨论，，时，的变化情况，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； ，当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； 【小问2详解】 解：， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近2， 即的值无限接近2； 【小问3详解】 解：为整数，x的值是正整数， 为整数， ，，，，或， ，，，，或， 则符合条件的正整数x的值为，或； 【小问4详解】 解：， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0， 当时，取得最大值， 当时，随着x的减小，的值随之减小，并无限接近0， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近2， 当时，取得最大值， 当时，随着x的减小，的值随之减小，并无限接近2， 综上，的取值范围为． 20. 综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形中，，平分，则四边形为“旋直四边形”，为“旋直分割线”． 【概念辨析】 （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____________（填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，四边形是矩形，，，与交于点．若，求的值； 【答案】（1）② （2）证明：过点作，如图所示： ∵在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“旋直四边形”的定义即可得解； （2）过点作，由题意易得平分，则根据角平分线的性质可知，然后可得，进而根据勾股定理可进行求证； （3）过点C作于点H，易证，可得，则，再证，可得，设参求解即可． 【小问1详解】 解：根据“旋直四边形”的定义，只要②符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作于点H， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2026―2027学年度第一学期 初三入学摸底检测 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 5. 根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 6. 如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：___________． 10. 已知，则分式的值等于_______． 11. 如图，已知在中，对角线，相交于点，若，对角线和的和是，则的周长为 ______． 12. 图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为___________度． 13. 如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接、，若，垂足为E，则的长为______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并写出满足条件的整数解． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，已知点坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请直接写出的坐标_______，并画出． （2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的． （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在平行四边形内部作以为对角线的菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证（1）中作的四边形是菱形． 19. 综合与实践 素材1 为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决: 任务1： （1）①当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 （2）当时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当为整数时，请直接写出所有符合条件的正整数x的值； 任务3 （4）若分式的值为，求的取值范围． 20. 综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形中，，平分，则四边形为“旋直四边形”，为“旋直分割线”． 【概念辨析】 （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____________（填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，四边形是矩形，，，与交于点．若，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $