1.3 两条直线的平行与垂直 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的平行与垂直”，系统梳理斜率、一般式、斜截式下的判定条件及方程求解，通过思维导图衔接直线倾斜角与斜率知识，搭建从基础到拔高的学习支架。 其亮点是分基础、中档、拔高难度训练，例题结合教材改编与高考对接，如用一般式系数关系求参数培养逻辑推理，直线系方程应用发展模型意识。含思维导图和培优练习，助力学生提升数学运算素养，方便教师一体化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第一章 直线与方程 1.3 两条直线的平行与垂直 本节理解两条直线平行与垂直的判定条件，能利用直线斜率判断两直线的位置关系，会根据平行、垂直条件求解直线方程，提升逻辑推理与数学运算素养 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括54张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 两条直线平行的判定 对于两条不重合的直线,，设它们的倾斜角分别是，,斜率分别为， .#1 位置关系 图示 倾斜角关系 斜率关系 ,均存在 两直线斜率都不存在 4 特别提醒 判断两直线平行的注意点 对任何情况均成立. 成立的前提条件是两直线的斜率均存在. 如果直线, 的斜率都不存在（对于直线的平行问题，要注意斜率不存在的情况）， 那么它们都与轴垂直，也有 .#1.2.1.3 . . 5 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P23例3］直线经过点，且与直线 平行，则直 线 的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可知，直线 的斜率为1， 因为直线与直线平行，所以直线 的斜率存在，且也为1， 则直线方程为，将直线方程化简为一般式得 ． 6 知识点2 两条直线垂直的判定 对于两条直线,，设它们的倾斜角分别是，，斜率分别为, .#1 位置关系 图示 倾斜角关系 ， 斜率关系 , 均存在 一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零 7 特别提醒 成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0. 如果一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直. （2）当直线时，有或其中一条直线垂直于 轴，另一条直线垂 直于轴；而若,则一定有.因此“”是“ ”的必要不充分 条件. （3）当两条直线的斜率存在时，若两条直线垂直，则可以用一条直线的斜率表 示另一条直线的斜率.#1.1.3 . . . . 8 学思用·典例详解 例2-2 已知两不同的直线, ,下列说法正确的是( ) A A.若，的斜率存在且乘积为，则 B.若， 互相垂直，则它们的斜率互为负倒数 C.若，的倾斜角的正弦值相等，则 D.若，的倾斜角互余，则 9 【解析】A显然正确； B不正确，如一条直线平行于轴，斜率为0，另一条直线与 轴垂直，斜率不存在， 但它们也垂直； C不正确，如，的倾斜角分别为 , ,虽有 ，但它们不平 行； D不正确，如，的倾斜角分别为 ， ，它们不垂直. 10 释疑惑 重难拓展 知识点3 斜截式、一般式直线方程下的直线平行、垂直 方程形式 条件 位置关系 斜截式 , 一般式 , 平行 且 或 或,,均不为0 11 方程形式 条件 位置关系 斜截式 , 一般式 , 重合 且 垂直 续表 学思用·典例详解 例3-3 ［教材改编P27 T5］ （1）(2026·湖南省湘潭市第一中学期中)若直线 与 平行，则实数 ( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】，，解得 ． （2）若直线与直线垂直，则实数 ( ) C A.1 B. C.2 D. 【解析】，，解得 ． 13 知识点4 平行直线系方程与垂直直线系方程 教材深挖POINT 该结论即教材第28页【习题1.3】第7题和第9题. 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫作直线 系方程.直线系方程中除含有自变量, 以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量， 称为参变量，简称参数. 14 1 平行直线系方程 （1）斜率为的直线系方程为：为常数，为参数 . （2）与定直线 平行的直线系方程为 , 为参数， . 特别地，过点，且平行于直线 的直线方程是 . 15 2 与定直线垂直的直线系方程 （1）与直线垂直的直线系方程为：为参数 . （2）与定直线 垂直的直线系方程为： 为参数 . 特别地，过点，且垂直于直线 的直线方程是 . 16 学思用·典例详解 例4-4 ［教材改编P24 T4］已知直线过点，且与直线 平行，则 直线 的方程是______________. 【解析】设过点，且与直线平行的直线方程为 ，则 ,解得 ． 故的方程为 ． 例4-5 ［教材改编P27 T4］(2026·广东省汕头市期中)经过点 且与直线 垂直的直线方程是________________. 【解析】设与直线垂直的直线方程为，将 代入 直线方程，解得，所以所求直线方程为 ． 17 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 两直线位置关系的判定 例6 根据下列给定的条件，分别判断直线与 的位置关系： （1）经过点，，经过点， ； 【解析】设直线,的斜率分别为,,均存在 . 由题意知，，，所以，又直线 的斜率 ,故，，三点不共线（只有，， 三点不共线时两直线 才平行，当三点共线时，两直线重合），所以 . . . 18 （2）的倾斜角为 ，经过点， ； 【解析】由题意知，直线的斜率，直线的斜率 ， 因为 ，所以两条直线垂直. （3）平行于轴，经过点， . 【解析】由题意知，的斜率不存在，且不与轴重合， 的斜率也不存在，恰好与 轴重合，所以 . 19 20 例7 判断下列所给直线的位置关系： （1）与 ; 【解析】 直线的斜率,在轴上的截距 ,直线 的斜率,在轴上的截距 , 因为， ,（注意判断截距的大小关系） 所以两直线平行. 因为 ，所以两直线平行. . . 21 （2）与 ; 【解析】因为直线可化简为 ，所以两直线重合. （切勿只判断出 就认定两直线平行） （3）与 ； 【解析】 直线的斜率为，直线的斜率为 ， 因为 ,所以两直线垂直. 因为 ，所以两直线垂直. . . 22 （4）与（参数,,,,,为 的角 与边）. 【解析】由题意可知，直线与 的斜率分 别为，，在中，由正弦定理可知， ， 所以 ，所以两直线垂直． 23 判断两直线是否平行或垂直的两种方法 （1）利用直线的斜率与截距的数量关系作出判断.即当两直线的斜率都存在时，则 由斜率、截距是否分别相等或斜率乘积是否等于 作出判断；若两直线的斜率都不 存在，则两直线平行或重合，若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0， 则两直线垂直. （2）利用直线方程一般式中系数之间的数量关系作出判断. 24 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题] 已知，，， ，则下面结论正确的是 ( ) AD A. B. C. D. 【解析】,, , ,,，且,,, 四点不共线， ,，故选 . 25 题型2 利用两直线位置关系求参 例8 (2026·安徽省阜阳市期中)已知直线经过点,,直线 经过点 , . （1）若,求 的值; 【解析】若,则直线的斜率也存在,又,则由,得 ,解 得或 . 经检验,当或时, . 26 （2）若,求 的值. 【解析】若，当时,,此时直线的斜率 ,不符合题意; 当时,直线 的斜率存在且不为0, 则直线的斜率也存在，且,即,解得或 . 经检验，当或时， . 27 【解析】由题意知，直线的斜率存在且 . 28 例9（1）当为何值时，直线与直线 平行？ 29 【解析】 , , 当时，显然不平行于 .（用此法解题时，切勿忽略对含参数的分母是否为0 的讨论） 当时，若,则需 ①. 由①式得,解得或 . 当或时， . 若，则需 ,（此方法可避免讨论） 解得或 . 当或时， . 当或时， . . . . . 30 （2）［教材改编P28 T6］当为何值时，直线 与直 线 垂直？ 【解析】 由题意得 . 当,即时，直线与直线 显然垂直. 当，即时，直线与直线 不垂直. 当,且时，直线,的斜率,都存在，, . 当时， ， 即,解得 . 综上可知，当或时， . 31 , ，解得 . 故当或时， . 32 利用两直线的位置关系求参数的思路 对于已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题，首先需考虑直线的斜率是否存在， 若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外， 求解垂直问题时，还需注意斜率是否为零. . . 33 【学会了吗丨变式题】 2.若直线与直线垂直，垂足为，则 等 于( ) D A. B.4 C. D. 【解析】因为直线与直线 垂直， 故，即 ， 因为垂足为（垂足在两条直线上），所以 故故 . . . 34 题型3 由两直线位置关系求直线方程 例10 (2026·江苏省常州市期中)已知直线的方程为，求直线 的方 程，使 满足： （1）过点，且与 平行； 35 【解析】 的方程可化为 ， 的斜率为 . 与平行，的斜率为 . 又过点， 由点斜式得直线的方程为 ，即 . 由与平行，可设的方程为 ， 将代入得 . 所求直线方程为 . 由与平行，且过点 ， 则的方程为 ， 即 . 36 （2）过点，且与 垂直； 【解析】 的方程可化为 ， 的斜率为 ， 由与垂直，得的斜率为 . 又过点， 由点斜式得直线的方程为 ，即 . 由与垂直，可设的方程为，将代入得 . 所求直线方程为 . 由与垂直，且过 ， 则的方程为 ， 即 . 37 （3）与垂直，且 与两坐标轴围成的三角形面积为4. 【解析】 的方程可化为 ， 的斜率为 . , . 设在轴上的截距为 , 则直线的方程为 , 令,可得在轴上的截距为 , 由题意可知，围成的三角形面积, . 直线的方程为或 . 即或 . 38 由与垂直，可设直线的方程为,则在轴上的截距为 , 在轴上的截距为 , 则围成的三角形面积 , 得 . 直线的方程为或 . 39 根据两直线的位置关系求直线方程的方法 若待求直线与已知直线平行或垂直，有两种求解方法： （1）先根据直线平行或垂直的充要条件确定待求直线的斜率，再根据直线上点的坐 标或其他条件求解直线方程. （2）直接根据直线平行或垂直确定斜率间的关系，设出待求直线的方程，利用待定 系数法求解.一般地，与直线 平行的直线方程可设为 为参数，且；与直线 垂直的直线方程可 设为为参数 . 40 【学会了吗丨变式题】 3.已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在 轴上的截距大1， 则直线 的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】由直线与直线平行，知可设直线的方程为 ， 根据直线在轴上的截距比在轴上的截距大1，可得，解得 ，故 直线的方程为 ， 即 ． 41 题型4 两直线位置关系与图形特征的综合问题 例11 已知四边形的顶点，，，，求和 的值， 使四边形 为直角梯形. 图1.3-1 【解析】（1）当 （由于不清楚直 角梯形中哪个角为直角，因此要进行分类讨论） 时，如图1.3-1（1）所示. 四边形为直角梯形， 且 ，易求得， . （2）当 时，如图1.3-1（2）所示. 四边形为直角梯形，且， ， . . 42 解得 综上所述，，或， . 名师点评 在遇到两条直线平行或垂直的问题时，一定要注意直线的斜率不存在的情 况，如本题中当时，直线 的斜率不存在. （1）利用几何图形的性质求点的坐标时，要注意两直线平行、垂直条件的应用. （2）已知点的坐标判断图形形状应注意以下三个方面： ①在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状， 为下面证明提供明确目标； ②证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况； ③判断四边形形状，要依据该四边形的特点，且确定不会产生其他情况． 44 练习帮 习题课丨学业质量测评 1.过点和点的直线与直线 的位置关系是( ) B A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直 【解析】两直线斜率都为0且不重合，所以平行． 2.已知直线，直线，若 ，则 ( ) B A. B. C.2 D. 【解析】因为，所以，则 ． 45 3.(2026·湖南省常德市第一中学月考)已知直线 ， ，则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由题意得解得, “ ”是“ ”的充要条件． 46 4.在中，三内角，，所对的边分别为,,,且 ， 则直线与直线 的位置关系为( ) C A.平行 B.垂直 C.重合 D.平行或重合 【解析】， ， ，，, , ，,即 ， 由正弦定理得 ， 直线与直线 的位置关系为重合． 47 5.［多选题］(2026·河南省周口市扶沟县高级中学月考)已知直线 ，其中 ，下列说法正确的是( ) BC A.若直线与直线平行，则 B.当时，直线与直线 垂直 C.过点且平行于直线的直线方程是 D.当时，直线 在两坐标轴上的截距相等 48 【解析】对于A，直线与直线 平行，则 ，解得或 ，故A错误； 对于B，当时，直线的方程为，与直线 垂直，故B正确； 对于C，易知,设与直线 平行的直线方程为 ,为参数，又所求直线过点，则 ,则所求 直线的方程为 ,故C正确； 对于D，当时，直线的方程为，则该直线在轴和 轴上的截距分 别为，1，故D错误.故选 ． 49 6.［多选题］已知直线和直线 ， 则( ) AC A.过点，且与直线垂直的直线方程是 B.若在轴和轴上的截距相等，则 C.若，则 或2 D.若，则或 50 【解析】对于A，设与直线垂直的直线方程是 为参数 ，又所求 直线过点,则,解得 ,则所求直线方程为 ，故A正确. 对于B，直线中，令，得，令 ， 得,在轴和 轴上的截距相等， ，解得或 ，故B错误. 对于C，若，则，解得 或2，故C正确. 对于D，若，则，解得 ，故D错误． 故选 ． 51 7.(2026·河南省新乡市永宏高级中学月考)已知三角形的三个顶点是， ， ，则 边上的高所在直线的方程为_________________ . 【解析】边所在直线的斜率,因为所在直线的斜率与 边上的高 所在直线的斜率乘积为，所以边上的高所在直线的斜率为，又因为 边上 的高所在的直线过，所以边上的高所在的直线方程为 ,即 . 52 8.(2026·天津市西青区张家窝中学月考)与直线 平行，且和两坐标轴 在第一象限所围成的三角形的面积是24的直线方程为_________________． 【解析】设所求直线方程为 ,则直线与两坐标轴的交点分别 为，,从而由条件得，结合,解得 , 所以所求直线的方程为 . 53 9.已知点，，，，试判断以，，， 为顶点的四边 形的形状. 图D 1.3-1 【答案】如图D 1.3-1所示，易知， ， ，，， ，所以 ，， ， ，故，，与 不垂 直，与不垂直，所以以，，， 为顶点的四边 形为平行四边形. 54 $