第1章 1.5.1 平面上两点间的距离（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及坐标法应用，以公交站点选址问题导入，从数轴上两点距离切入，逐步推导平面直角坐标系中的公式，构建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于通过问题驱动培养数学眼光，如用距离公式和斜率两种方法判断三角形形状，结合坐标法证明几何问题体现数学思维与语言表达。采用例题分层与跟踪训练，小结清晰，助力学生构建知识体系，方便教师教学实施。

1.5.1 平面上两点间的距离 第1章　直线与方程 <<< 1.掌握两点间的距离公式并会应用. 2.掌握中点坐标公式. 3.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 学习目标 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 导 语 一、两点之间的距离公式 二、两点间距离公式的应用 课时对点练 三、坐标法的应用 随堂演练 内容索引 两点之间的距离公式 一 提示　AB＝|xA－xB|. 　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 问题1 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 问题2 提示　(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图， 在Rt△P1QP2中，P1＝P1Q2＋Q， 所以P1P2＝. 1.平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式 ______________________________. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. P1P2＝ 知识梳理 (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝ |x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. 注 意 点 <<< 9 (课本例1)(1)求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离； 例 1 由两点间距离公式，得 AB＝. 解 (2)设a为实数，已知A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值. 由两点间距离公式，得＝17， 解得a＝±8. 故所求实数a的值为8或－8. 解 10 已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 例 1 11 方法一　∵AB＝＝2， AC＝＝2， 又BC＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二　∵kAC＝， kAB＝＝－， 解 12 ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝2， AB＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形. 解 13 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况用|x2－x1|或|y2－y1|求解. 反 思 感 悟 14 (1)已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且AB＝AC，则实数a的值为 A.－2 B.－1 C.1 D.2 跟踪训练 1 由两点间的距离公式及AB＝AC可得，，解得a＝－2. 解析 √ 15 (2)若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为_____ _______________.  由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10).由两点间距离公式， 得MN＝＝10或MN＝＝10(舍去)， 解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10). 解析 10)或(－10，10) (2， 16 二 两点间距离公式的应用 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2，0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围 是　　 　　 .  例 2 设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0， 解得≤a≤，故a的取值范围为. 解析 18 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解. 反 思 感 悟 19 在直线2x－3y＋5＝0上存在点P，使点P到A(2，3)的距离为，则点P的坐标是 A.(5，5) B.(－1，1) C.(5，5)或(－1，1) D.(5，5)或(1，－1) 跟踪训练 2 设点P(x，y)，则y＝.由PA＝，得(x－2)2＋＝13， 即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1，1)或(5，5). 解析 √ 20 坐标法的应用 三 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 22 (课本例3)在直角三角形ABC中，点M为斜边BC的中点，试建立适 当的直角坐标系，求证：AM＝BC. 例 3 23 如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c). 因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为. 由两点间距离公式，得 BC＝， AM＝. 所以AM＝BC. 证明 24 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 例 3 25 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则AB＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴DE＝， ∴DE＝AB， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明 26 (1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关的代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 反 思 感 悟 27 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD. 跟踪训练 3 如图所示，以AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系， 设A(－a，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(－b，c). ∴AC＝， BD＝. 故AC＝BD. 证明 28 1.知识清单： (1)两点间的距离. (2)由两点间距离求参数. (3)坐标法的应用. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，则a的值为 A.1 B.－5 C.1或－5 D.－1，5 √ 由两点间距离公式得＝5.解得a＝1或a＝－5. 解析 1 2 3 4 2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于 A.4 B.4 C.2 D.2 √ ∵P(1，1)，Q(5，5)，∴PQ＝＝4. 解析 1 2 3 4 3.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是 A.(－4，5) B.(－3，4) C.(－1，2) D.(0，1) 设所求点的坐标为(x0，y0)，有 x0＋y0－1＝0，且， 两式联立解得 解析 √ √ 1 2 3 4 4.已知A(1，2)，B(2，3)以及点C(－2，5)，则△ABC的面积为　　.  ∵AB＝，BC＝＝2， AC＝＝3，∴AC2＋AB2＝BC2， ∴S△ABC＝×3×＝3. 解析 3 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C C BCD 题号 7 8 11 12 13 答案 (0，0)或(10，0) B A 10 题号 14 15 答案 [－2，2] D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝， 则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴，解得a＝±2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，DA＝DB＝DC， 以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(a，0)，C(b，c)，则D， 因为DB＝DA， 所以，即ab＝0， 因为a≠0，所以b＝0， 所以C(0，c)，所以AC⊥AB，A＝， 所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系. 设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0). AB2＋BC2－AC2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 基础巩固 1.若A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于 A. B. C.3 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 AC＝4，CB＝2＝2. 解析 2.点P(－2，5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1，0)，那么点M到原点O的距离为 A.41 B. C. D.39 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5. 所以点M(4，－5)，则OM＝. 解析 3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是 A.2 B.3 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由中点坐标公式可得，BC边的中点D. 由两点间的距离公式得AD＝. 解析 4.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)， 直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得AB＝. 解析 5.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是 A.－ B.－ C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴AB＝ ＝＝ ＝， ∴当a＝时，AB取得最小值. 解析 6.(多选)对于，下列说法正确的是 A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确. 解析 √ √ 7.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝. 解析 8.已知x轴上一点A与点B(5，12)的距离为13，则点A的坐标为__________ ________.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x，0)，则AB＝＝13，即(x－5)2＝25，解得x＝0或x＝10，所以点A坐标为(0，0)或(10，0). 解析 (0，0)或 (10，0) 9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中 点到原点的距离为，求a的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝， 则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴，解得a＝±2. 解 10.用坐标法证明：若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，DA＝DB＝DC， 以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(a，0)，C(b，c)，则D， 因为DB＝DA， 所以，即ab＝0， 因为a≠0，所以b＝0， 所以C(0，c)，所以AC⊥AB，A＝， 所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 证明 11.已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是 A.0 B.2 C.4 D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S＝可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，D(－3，1)，A(－1，0)，则C点的坐标为 A.(－1，2) B.(－2，1) C.(－1，1) D.(2，2) √ ∵四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，∴AC⊥x轴，∴可设C(－1，t)，∵AD＝CD， ∴，解得t＝0(舍去，此 时C点与A点重合，不符合题意)或t＝2，∴C(－1，2). 解析 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 ＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2，PC2＝a2＋b2， 于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2， 即＝10. 解析 10 14.在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，3)，B(－1，1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是　　 　　.   答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，x－m)， 因为PA＝PB，所以PA2＝3PB2， 所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2， 化简得2x2－2mx＋m2－6＝0， 则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0，解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]. 解析 [－2，2] 15.在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为 A.10 B. C.14 D. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD， 因为PA＋PC≥AC，当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为PB＋PD≥BD，当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD ＝＝， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号. 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为. 解析 16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角 坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系. 设B(b，c)，C(a，0)， 依题意得A(－a，0). AB2＋BC2－AC2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 证明 第1章　直线与方程 <<< $