第一章 特殊平行四边形 题型练习：特殊平行四边形中的最值 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形最值问题，以垂线段最短、轴对称（将军饮马）、三角形三边关系为核心方法，构建“原理-典例-应用”的系统训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂线段最短|5题|等线段转化后用垂线段最短|结合矩形、菱形性质，将动态线段和转化为定线距离| |轴对称及两点之间线段最短|6题|作对称点化折线为直线（将军饮马）|利用正方形、菱形对称性，迁移“两点之间线段最短”原理| |三角形三边关系|3题|对称转化线段至同一三角形，用三边关系求范围|综合特殊平行四边形性质与勾股定理，构建不等关系|

特殊平行四边形 题型练习：特殊平行四边形中的最值 考点1: 利用垂线段最短求最值 · 利用等线段转化，然后利用“垂线段最短”求最值 练习1. 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 ，AD＝4，点P从点B出发，沿着BD往点D移动，若过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则EF的最小值为(　A　). A. B. C.4 D.5 2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE＋PC的最小值为(　B　). A.5 B. C.6 D. 8 3. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，E是AB边上任意一点，F为BC边上一动点，连接DE、EF，M、N分别为DE，EF的中点，则MN的最小值是 3 ． 4. 如图，□ABCD中，AC⊥BD，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB点F.若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为 . 5. 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB的最小值是 . 考点2: 利用轴对称及两点之间线段最短求最值(将军饮马) · 已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P. 计算：PA＋PB的最小值． 作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P. 结论：最小值为AB′的长． 原理：对称点的连线被对称轴垂直平分，两点之间线段最短． 练习2. 1. 如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边CD上，且DM＝2，N是对角线AC上一动点，则DN＋MN的最小值为(　D　). A.8 B.8 C.2 D.10 2. 如图所示，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(　B　). A. B.1 C. D.2 3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE则BF＋DE的最小值为(　D　). A.2 B.2 C.4 D.4 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE＋DF的最小值为 8 ． 第4题 第5题 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝10，BD＝24，点E，F分别是线段OD，AD上的动点，连接AE，EF ，则AEAEF 的最小值为____. 考点3: 利用三角形三边之间的关系求最值 · 通常利用特殊平行四边形的对称性作对称点，将不同线段转化到同一个三角形中，然后利用 “三角形的三边关系”求解，通常过程中需要运用勾股定理求线段长. 练习3. 1. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG的最小值为 －1 ． 2. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2.运动过程中，点D到点O的最大距离是 ＋3 ． 3. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，以BC为边，在△ABC右侧作正方形BCDE，对角线BD与CE相交于点O，连接AO，则AO的最大值为____. 巩固练习： 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F，分别为AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值是(　B　). A.3 B.4 C.5 D.6 2. 如图，将两张完全一样的长为 、宽为的长方形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是(　C　). A.4 B.4 C. D. 3. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，点O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上的一动点，则PM－PO的最大值为____. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE，M，N分别是DE，AB的中点，若DE＝2，则MN的最小值为____. 5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC上的有一动点P(点P不与点C、点A重合)，以DP为边作正方形DPFG．若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为 2 ． 6. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为____. 7. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.若GH的最小值为3，则BC的长为 6 ． 8. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝60°. (1)判断DE与DF的数量关系并说明理由； (2)若AB＝4，求△EDF周长的最小值； (3)当点E在AB边上运动时，小亮发现，四边形DEBF的面积保持不变，请验证小亮的发现. 解：(1)DE＝DF，理由如下：连接BD，如答图所示， ∵菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝60°，AB∥CD，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB＝60°，BD＝AD. ∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°－∠C＝120°，∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝60°，∴∠DBF＝∠A＝60°， ∵∠ADB＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＋∠EDB＝∠EDB＋∠BDF，∴∠ADE＝∠BDF， ∵BD＝AD，∴△ADE≌△BDF ，∴DE＝DF. (2)∴△EDF 周长的最小值为3×2 ＝6 (3)根据(1)可知，△ADE≌△BDF ，∴S△ADE ＝S△BDF， ∴S四边形DEBF＝S△BDE＋S△BDF＝S△ADE＋S△BDE＝S△ABD＝ S菱形ABCD. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊平行四边形 题型练习：特殊平行四边形中的最值 考点1: 利用垂线段最短求最值 · 利用等线段转化，然后利用“垂线段最短”求最值 练习1. 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 ，AD＝4，点P从点B出发，沿着BD往点D移动，若过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则EF的最小值为(　 　). A. B. C.4 D.5 2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE＋PC的最小值为(　 　). A.5 B. C.6 D. 8 3. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，E是AB边上任意一点，F为BC边上一动点，连接DE、EF，M、N分别为DE，EF的中点，则MN的最小值是 ． 4. 如图，□ABCD中，AC⊥BD，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB点F.若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为 . 5. 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB的最小值是 . 考点2: 利用轴对称及两点之间线段最短求最值(将军饮马) · 已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P. 计算：PA＋PB的最小值． 作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P. 结论：最小值为AB′的长． 原理：对称点的连线被对称轴垂直平分，两点之间线段最短． 练习2. 1. 如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边CD上，且DM＝2，N是对角线AC上一动点，则DN＋MN的最小值为(　 　). A.8 B.8 C.2 D.10 2. 如图所示，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(　 　). A. B.1 C. D.2 3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE则BF＋DE的最小值为(　 　). A.2 B.2 C.4 D.4 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE＋DF的最小值为 ． 第4题 第5题 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝10，BD＝24，点E，F分别是线段OD，AD上的动点，连接AE，EF ，则AEAEF 的最小值为 . 考点3: 利用三角形三边之间的关系求最值 · 通常利用特殊平行四边形的对称性作对称点，将不同线段转化到同一个三角形中，然后利用 “三角形的三边关系”求解，通常过程中需要运用勾股定理求线段长. 练习3. 1. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG的最小值为 ． 2. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2.运动过程中，点D到点O的最大距离是 ． 3. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，以BC为边，在△ABC右侧作正方形BCDE，对角线BD与CE相交于点O，连接AO，则AO的最大值为 . 巩固练习： 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F，分别为AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值是(　 　). A.3 B.4 C.5 D.6 2. 如图，将两张完全一样的长为 、宽为的长方形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是(　 　). A.4 B.4 C. D. 3. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，点O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上的一动点，则PM－PO的最大值为 . 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE，M，N分别是DE，AB的中点，若DE＝2，则MN的最小值为 . 5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC上的有一动点P(点P不与点C、点A重合)，以DP为边作正方形DPFG．若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为 ． 6. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为 . 7. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.若GH的最小值为3，则BC的长为 ． 8. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝60°. (1)判断DE与DF的数量关系并说明理由； (2)若AB＝4，求△EDF周长的最小值； (3)当点E在AB边上运动时，小亮发现，四边形DEBF的面积保持不变，请验证小亮的发现. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $