第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

3矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 不抓基础·达标练 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于 知识点1矩形的四个角都是直角 点O,BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F.求证：BE= 1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F CF. 在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE= ∠CDF. B 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, CE∥BD,DE∥AC.求证：四边形OCED是菱形， 知识点2矩形的对角线相等 2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 卓育 A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O.若∠ACB=30°，AB=3,则BD的长为() 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边 0 的一半 8.如图，某城市中有如图所示的公路AB,BC,它 A.4V3 B.6 C.6V3 D.12 们互相垂直，公路AC的中点M与点B被湖隔 4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 开.若测得AC的长为2.4km,则M,B两点之 O,AELBD于点E,∠AOB=56°，则∠BAE的度数 间的距离为 ()》 为 A.2.4 km B.0.6 km C.1 km D.1.2 km 第4题图 第5题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 第8题图 第9题图 于点O.若AB=1,BD=2,则∠AOB的度数为 9.如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠D=36°，点 O为BD的中点，则∠BAO的度数为 I6名校作业数学(BS)9年级上 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是15.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD BC边上的中线，点E,F分别是AB,AC的中 相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 点.求证：四边形AEDF是菱形， (1)求证：BD=BE. (2)若∠DBC=30°，B0=4,求AD的长 16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 学抓重点·提升练 点0.小淇、小尧两位同学利用所学数学知 识作菱形的方法如下： 11.如图，四边形ABCD是矩形，点E是BC的延 小淇：如图①，分别过点小尧：如图②，分别过点 长线上一点，且BE=BD,连接DE.若LACB= A,C作EF∥BD,HG∥ A,C作PLLAC,MNLAC. 40°，则∠E的度数为 BD,分别过点B,D作分别过点B,D作LM FG∥AC,EH∥AC. BD,PN⊥BD .四边形EFGH是菱形..四边形PLMN是菱形. 第11题图 第12题图 请你帮两位同学完成证明」 12.如图，在矩形ABCD中，AB=1,对角线AC,BD 相交于点O,AE⊥BD于点E.若BE=EO,则AD 的长为 13.如图，在△ABC中，AB=8,BC=12,点D,E分 别是AB,AC的中点，点F在DE上，且∠AFB= 90°，则EF的长为 2 A B B F 第13题图 第14题图 14.如图，将矩形ABCD沿DE折叠，顶点A落在 BC边上的点F处.若BF=4,CD=8,则BE的 长为 第一章特殊平行四边形7[ .BE⊥AC,CF⊥BD, 3矩形的性质与判定 ∴.∠BE0=LCF0=90°， 第1课时矩形的性质 又∠B0E=∠C0F, ∴.△BOE≌△COF(AAS). 1.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.BE=CF .∴.AB=DC,∠ABE=∠DCB=90° 7.证明：，CE∥BD,DE∥AC, ∴，∠DCF=180°-∠DCB=90°. ∴.四边形OCED是平行四边形. .∠ABE=LDCF. 四边形ABCD是矩形， 在△ABE和△DCF中， .·.AC=BD,OC 24C,0D .·AB=DC,∠ABE=∠DCF,BE=CF, .∴.0C=0D ∴.△ABE≌△DCF(SAS). ..□OCED是菱形 .∠BAE=∠CDF. 8.D 2.C 9.54°解析：∠BAD=90°，点0为BD的中点， 3.B解析四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，BD=AC. 40-0,D0-0 ∠ACB=30°， ..OA=OD. ∴.AC=2AB=6. .∠DA0=LD=36 BD=6. .LBA0=∠BAD-∠DA0=90°-36=54° 4.28°解析：四边形ABCD是矩形 10.证明：AB=AC,AD是BC边上的中线， :.AC=BD.OA=-AC,0B--BD. AD⊥BC ∴∠ADB=LADC=90° ..OA=OB. 智想 :点E,F分别是AB,AC的中点， ∠0BM=L0MB=2180-LA0B)=62. AE-2AB.DE-2AB.AF-24C.DF-4C. 1 AE⊥BD, ·.AE=DE=AF=DF ∴.∠AEB=90° .四边形AEDF是菱形 .∠BAE=90°-∠0BA=28° 11.70°解析：四边形ABCD是矩形， 5.60°解析：四边形ABCD是矩形， 0A-ZAC,0B-BD-1.AC-BD. 六0B-28D,0GAC,AC=BD, 2 .0B=0C .0A=0B=1. .∠DBC=LACB=40°. AB=1, BE=BD. ..AB=OA=OB. 1 ∠B=LBDB=2(180°-LDBC)=70 .△AOB是等边三角形. 12.V√3解析：四边形ABCD是矩形 ∴.∠A0B=60° .∠BAD=90°，AO=C0,AC=BD.∴.AC=2A0. 6.证明：四边形ABCD是矩形， ,'AE⊥BD,BE=EO, ..AC=BD.OC=-AC.OB=-BD. 2 2 ∴.AE垂直平分OB. ..OB=OC. .A0=AB=1. AC=2.∴.BD=2. ..EH=AC. ..AD=VBD2 AB2=V3. 四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. 13.2解析∠AFB=90°，点D是AB的中点， .EH=EF .DF-ZAB-4. .口EFGH是菱形 小尧：PL⊥AC,MW⊥AC, 点D,E分别是AB,AC的中点， .PL∥MN,∠CAP=90° ∴DE是△ABC的中位线 同理PN∥LM,∠BDP=90° DE-2BC-6. ∴.∠CAP=LBDP,四边形PLMW是平行四边形。 ∴.EF=DE-DF=2 .∠L=∠N. 14.3解析由折叠，得EF=AE ,四边形ABCD是矩形， :四边形ABCD是矩形， AB-DC,LBAD=LADC-90,0A=OC- AC,OB=0D= .AB=CD=8,∠B=90°. 设BE=x,则EF=AE=8-x 2吻 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE+BF=EF,即x+ ..OA=OD...∠OAD=∠ODA 42=(8-x)2,解得x=3. .·.∠CAP-∠OAD=∠BDP-∠ODA,即∠PAD=∠PDA .BE=3. ∴.180°-∠BAD-∠PAD=180°-∠ADC-∠PDA,即∠BAL= 15.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∠CDN,PA=PD ∴.AC=BD,AB∥CD. 在△ABL和△DCN中， BE∥AC, L=∠N,∠BAL=∠CDN,AB=DC, ∴四边形ABEC是平行四边形 .△ABL≌△DCN ..AC=BE. ∴AL=DN ..BD=BE. 智 ∴.PA+AL=PD+DN,即PL=PN (2)解：四边形ABCD是矩形， .口PLMN是菱形. ∴.AD=BC,BD=2B0=8,∠BCD=90° ∠DBC=30°，∴.CD=BD=4. 21 ∴.BC=VBD2-CD2=4V3. ∴.AD=4V3 16.解：小淇：EF∥BD,HGBD, .EF∥HG. 同理FG∥EH. ∴四边形EFGH是平行四边形. EF∥BD,FG∥EH, .四边形DEFB是平行四边形. ∴.EF=BD 同理四边形ACHE是平行四边形，