黑龙江大庆市让胡路区大庆外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学第六次学情自测试题

大庆外国语学校 初四年级第六次月考数学试卷 考试时间：2026年4月28日 答卷时间：120分钟 卷面分值：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，其解析式可以是（ ） A． B． C． D． 2．年月日时分月球过近地点，距离地球约公里，这是年所有满月中与地球最近的一次，将数据用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 3．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算中，计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 6．某超市以元/千克的价格购进A种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以元/千克零售这种水果所获得的利润为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．如图，正六边形的两条对角线、把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（ ） A． B． C． D． 8．如图，点、、、分别为四边形的四边、、、的中点，则关于四边形，下列说法正确的为（ ） A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形 C．可能是轴对称图形 D．当时它是矩形 9．如图，二次函数（）的图象与轴正半轴的交点的坐标为，对称轴为直线．则（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（ ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 二．填空题（共8道小题，每题3分，共24分） 11．计算：________． 12．因式分解：____________________． 13．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是________． 14．如图，内接于，若，，则________． 15．如图，平行四边形的顶点在函数（）的图象上，其余点均在坐标轴上，则平行四边形的面积为________． 16．某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，，，，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是________． 17．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第次变换可得，经过第次变换可得，经过第次变换可得，…，以此类推．当时，________． 18．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是________． 三．解答题：（共66分） 19．（4分）计算： 20．（4分）解方程：． 21．（6分）某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 A B C D E 成绩（） 样本成绩扇形统计图 样本成绩频数直方图 （1）图中________；样本容量为________． （2）求扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角； （3）已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩80分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 22．（6分）马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买台A型机器人、台B型机器人，共需万元；若买台A型机器人、台B型机器人，共需万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共台，且总费用不超过万元．最多能买A型机器人多少台？ 23．（6分）搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离时，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为． （参考数据：，，，，，） （1）求地面雷达站到发射处的水平距离； （2）这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到） 24．（7分）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接，． （1）如图，若，求证：四边形为正方形； （2）如图，若，，（），则的面积________（用含，，的式子表示）． 25．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点（点在点左侧），已知点的横坐标是； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿轴向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点，如果的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 26．（8分）老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃，其中，且墙长为． （1）设，矩形花圃的面积为．则关于的函数关系式为___________，的取值范围为____________； （2）求矩形花圃面积的最大值； （3）在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到元，求的长． 27．（9分）如图，已知是的直径．是的弦，弦垂直于点，交于点．过点作的切线交的延长线于点 （1）求证：； （2）判断是否成立？若成立，请证明该结论； （3）若为中点，，，求的长． 28．（9分）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地平面的最小高度随着的变化而变化，直接写出与的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $初四年级第六次月考数学试卷答案 1.B2.A3.C4.B5.B6.C7.A8.C9.B10.C 二.填空题 685 11.-2 12.(a+3b)(a-3b)13.(0,7）14.20 15.316.2 17. 6 18.解：因为该函数表达式为y=x2-2bx+12, -2b X三一 =b 所以其图象开口向上，对称轴为直线 2 所以在对称轴左侧，少随x的增大而减小，在对称轴的右侧，'随X的增大而增大. 因为A(x,m).B(x+2,n) 所以点B在点A的右侧， 因为对于3.5≤≤5，都有m<n<12. 所以5.5≤+2≤7 所以当x=7时，y<12,即72-14b+12<12, 所以b>2.5 对于3.5≤x≤5都有m<n<12, 所以xb<6+2- 两边平方，得，-b)2<+2-b)2 所以b<x+1b<3.5+1即b<4.5, 综上所述，2.5<b<4.5、 故答案为：2.5<b<4.5. 8+3 1 -4sin45°-(3-π)° 19.解： =2W2+3-4× 2 =2√2+3-22-1 =2 20.解：去分母得4x=x+3. 解得x=1， 检验：把x=1代入得2x(x+3)≠0 ∴.原分式方程的解为x=1」 21.解：(1)通过D组频数为20，所古比例为40%，求出样本总数为： 20÷40%=50,样本容量50 50-5-5-8-20=12. 则a=12；: 故答案为：12；50 (2)根据圆心角度数等于A组频数占样本总数的比例乘以360°进行计算可得： 5×360°=36° 5 则扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角为36° 20 800× P =448 (3) 50 50 人， 答：则估计获得“优秀”等级的人数为448人. 22.解：(1)设A、B两种型号智能机器人的单价分别为X万元，y万元， x+3y=260 由题意列二元一次方程组得， 3x+2y=360 x=80 解得(y=60 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元： (2)设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-)台， 由题意列一元一次不等式得，80a+60(15-a)s1000 整理得，20a≤100， 解得a≤5 答：最多能买A型机器人5台 23.解：(1)由题意得BL⊥LR, 在Rt△ALR中，AR=6km,∠ARL=40° .RL=AR·cos40°≈6×0.77=4.62≈4.6(km） 答：地面雷达站R到发射处L的水平距离约为4.6km； (2)在Rt△BLR中，∠BRL=48°，LR=4.62km ∴.BL=RL.tan48°≈4.62×1.11=5.1282(km) 在Rt△ALR中，AR=6km,∠ARL=40°， .AL=AR.sin40°≈6×0.64=3.84(km) ∴.AB=BL-AL=5.1282-3.84=1.2882(km） AB_12882≈0.5(km/s) ∴这枚火箭从A处到B处的平均速度2.52.5 答：这枚火箭从A处到B处的平均速度约为0.5km/S. 24.(1):△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠A=∠B=45° PD⊥AC,PF⊥BC, ∴.∠PDC=∠PFC=∠ACB=90° ∴.∠AED=∠BGF=45°，四边形PDCF为矩形， ∴.∠DEG=∠FGE=135° .CE=CG .∠CEG=∠CGE, ∴.∠CED=∠CGF ∴.△CDE≌△CFG(AAS) ..CD=CF, 矩形PDCF为正方形： 1 (22c(a+b-c) 1 .解：1)直线。少= 2经过点A,A点的横坐标是-4， ·当x=-4时，y=2, .A(-4,2) k V= ,反比例函数x的图象经过点A, ∴.k=-4×2=-8 反比例函数的表达式为 、8 x. D 2与反比例函数的图象交于1，B两点· .B(4,-2) 1 k 不等式2x的解集为x<-4或0<x<4, (3)如图，设平移后的直线2与x轴交于点D,连接AD,BD, y B CD∥AB △ABC的面积与△ABD的面积相等， :△ABC的面积为30， :SAARD=SAOD+S△BOD=30,即 oD0y+yal）=30 1 ÷2x00x4=30 .0D=15 ·D(15,0) 1 y=- 设平移后的直线？的函数表达式为 2t+6 0= 把D(5,0)代入，可得 x15+b 2 15 解得 2, 1.15 y=- X十 ∴.平移后的直线2的函数表达式为2 2 26.解：(1)由己知得BC=(60-3x)m ∴.y=x(60-3x)=-3x2+60x :墙长30m ∴.0<60-3x≤30 解得10≤x<20(m)】 .x的取值范围是10≤x<20, 故答案为：y=-3x2+60x,10≤x<20: (2)y=-3x2+60x=-3(x-10)2+300 .抛物线对称轴为直线x=10 :a=-3<0,在对称轴右侧，随x的增大而减小， x=10时，y取最大值，最大值是300， ∴矩形ABCD面积的最大值是300m2: (3)由(2)得x=10时，y取最大值，最大值是300， ∴.BC=60-3x=30m 设BF=tm,则CF=(30-)m, ∴矩形ABFE的面积为10rm,矩形EFCD的面积为10(30-)m2, :.W=30×10t=300tW2=-100(30-t)}2+320×10(30-t) 根据题意得 300t-100(30-t)}+320×10(30-t)=28800 解得4=19,52=12 .CF=11m或l8m 27.解：(1)连接OC, /G OC =OB. ∴.∠OCB=∠OBC. :CP是⊙O的切线， ∴.∠OCP=90° :弦ED垂直AB于点F,AB是OO的直径， ∴.∠GFB=90° .∠FGB+∠FBG=90°，∠OCB+∠BCP=90°， ∴.∠FGB=∠PCG ∠FGB=∠PGC, ∴.∠PCG=∠PGC. .PC=PG. (2)如图1，连接EC、CD, G B 图1 :ED⊥AB,AB是圆O的直径， .EB=BD ∴.∠ECB=∠BCD .PG=PC」 ∴.∠PCG=∠PGC .∠CGP=∠E+∠ECB.∠GCP=∠PCD+∠BCD, .∠PCD=∠E. ∴.△PCD∽△PEC, PC PD PE PC, ∴PC2=PE·PD PC=PG ..PG2 PD.PE (3)如图2，连接OG,EO, A D B 图2 “G为BC中点， .OG⊥BC. 在Rt△80G中，0G=5.sm8= 5, ∴.OB=5,BG=2√5 .GF⊥OB. ∴.∠B+∠FGB=90°.∠B+∠BOG=90°， ∴.∠GOF=∠FGB. :.△FGB∽△GOB, GB FB OB GB, 25 FB ·525 ∴.FB=4, ∴.OF=1 在Rt△EOF中，OF=1,EO=5, :EF=2V6. .ED=46 28.解：（1)由题意得，二次函数的顶点坐标为(2,3)， 设该二次函数的解析式为y=a(r-2+3(a≠0)，二次两数经过原点。 .4a+3=0 a=- 3 解得4， ∴.该二次函数的解析式为 =2f+3 (2)水柱不能喷射到护栏上，理由如下： y=- 当x=3.5时， 下3x-2)+3=2=1.3125】 16 .1.3125>1.2 ∴，水柱不能喷射到护栏上： (3)①：河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5(其中i=tan∠ABE), :45=i=1:0.5 BE 即BE=2.5」 则点B与原点0的水平距离为3.5+2.5=6， ·点B的坐标为(6，-5) 又：点4的坐标为(3.5,0) 设AB的解析式为片=x+b(k≠0) 3.5k+b=0 6k+b=-5 k=-2 解得b=7 .y=-2x+7(3.5≤x≤6) -2x+7=-3(x-2+3 14 解得=2 (不合思意，舍去)， X2= 3 14 x= 当 3时， y=- 3 即河水离地平面AD距离为3米时，水柱刚好落在水面上； y=- ②将抛物线 4(x-2)}+3 向上平移m米，则可得新的抛物线解析式为 -2+3+m y=- 当 坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为一h,如图，结合坝面 AB的坡比为i=1:0.5 绿道A D 喷水口0 h E B 根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标 35+-h 3 y=-2(x-2)2+3+m :点G在抛物 4 的图象上， 、3 3.5+2h-2+3+m=-h 整理得3h2+2h-21=16m, 即m与h的关系式为3h+2h-21=16m.