3.2.2 双曲线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖标准方程、渐近线、离心率等核心知识点。通过对比椭圆性质导入，结合思维导图梳理知识脉络，以基础解读、例题详解、分层练习为支架，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于采用“基础-中档-拔高”分层训练，融入高考真题与数学思维方法，通过典例解析（如离心率与渐近线关系题）培养数学运算、逻辑推理素养。含思维导图、培优练习等资源，助力教师一体化教学，提升学生数形结合能力与解题效率。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 本节理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导过程，能根据条件求双曲线标准方程，会辨析双曲线与椭圆的异同，提升数形结合与数学运算核心素养 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括204张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：轴、 轴 对称中心：原点 4 标准方程 顶点 双曲线和它的对称轴的两个交点 ， ， 实、虚轴 线段是双曲线的实轴，线段 是双曲线的虚轴. 实轴长,叫做双曲线的实半轴长，虚轴长， 叫 做双曲线的虚半轴长 虚轴端点 , , 渐近线 与双曲线无限接近，但永远不相交的两条直线 直线 直线 离心率 续表 5 知识剖析（1）由知，当无限增大时， 也随之无限增大，所以双曲 线是不封闭的曲线. （2）双曲线的顶点只有两个，即实轴的两个端点，虚轴的两个端点并不在双曲线上. 另外，实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来. （3），决定双曲线的开口大小，越大， 越大，双曲 线开口越大；越小， 越小，双曲线的开口就越小.#1.3 6 学思用·典例详解 例1-1 双曲线的左、右焦点为,,点在双曲线的右支上，点 关于 原点的对称点为，则 ___. 4 图3.2.2-7 【解析】.如图3.2.2-7，连接 ,由双曲线的对称性 知，点在双曲线的左支上，且 , 所以由双曲线的定义得 . 7 例1-2 (2026·上海市复旦大学附属中学期中)双曲线 的离心 率为 ,则其渐近线方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】由，可得 ，故所求的双曲线的渐近线方程是 ，（在写渐近线方程时，要注意双曲线的焦点位置）即 . . . 8 知识点2 双曲线的渐近线 1 定义 一般地，双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，但永远不相交，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 2 由双曲线方程求渐近线 对于双曲线 ，只需将方程中的“1”换成“0”，即 ，从而得出渐近线方程为，即 . 类似地，对于双曲线，则由 ，得渐近线方程 为 . 9 3 渐近线方程的性质 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数 . （2）双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 图3.2.2-1 （3）渐近线倾斜角与离心率的关系 如图3.2.2-1，设 ，过点作垂直于渐近线 的线段,垂足为，在中，, ,所以 ,（性质（1）（易得）） ， 则 . . . 10 注意 当双曲线的焦点在轴上时, 为渐近线的倾斜角 . （若规定 是渐近线与实轴的夹角，则 适合所有的双曲线） 学思用·典例详解 例2-3 [多选题](2026·河南省南阳市期中)下列双曲线中，以直线 为渐近线的 是( ) AD A. B. C. D. 【解析】由得 ， 因此以为渐近线的双曲线方程为 ， 即 . 结合选项，当时，方程为 ； 当时，方程为 . . . 12 例2-4 (2026·华中师范大学第一附属中学月考)若双曲线 的 两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为( ) C A. B.2 C.2或 D.或 【解析】因为双曲线的两条渐近线夹角为 ，则渐近线的倾斜角为 , 或 , ， 所以渐近线的斜率为或 . 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为 ， 13 所以或 . 当时, ， 当时, . 所以该双曲线离心率为 或2. （【另解】渐近线与实轴的夹角为 或 ，当夹角为 时, ,当 夹角为 时， ） 14 知识点3 直线与双曲线的位置关系 1 直线与双曲线的位置关系 位置 关系 相交 图示 与一支相交于一点 与两支都相交 与一支相交于两点 15 位置 关系 相切 相离 图示 续表 16 2 直线与双曲线的位置关系的判断 （1）代数法 一般地，设直线方程为 ,双曲线方程为 ,将代入,消去 并化简，得 . ①当，即 时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线相交， 只有一个公共点.（【注意】直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线相交或 相切） . . . . 17 ②当，即 时， 判别式 直线与双曲线相交，有两个公共点； 交点位置 直线与双曲线右 支有两个交点 直线与双曲线左支有两个交点 直线与双曲线左、右 两支各有一个交点 条件 （其中，, 为直线与双曲线交点的横坐标） 判别式 直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； 判别式 直线与双曲线相离，没有公共点. 18 （2）几何法 通过直线与渐近线的位置关系进行判断，设一条渐近线的倾斜角为 ，斜率为 ，直线的倾斜角为 ，斜率为 . 图3.2.2-2 当 ，即 时，直线与双曲线相交或相 离，相交时交于一支，即有一个交点，如图3.2.2-2，相 离时（相离时直线与渐近线重合）无交点； . . . . 19 图3.2.2-3 当 ，即时（或 ， 即 ），直线与双曲线相切或相交或相离，相 切时有一个交点（如直线 ），相交时与一支有两个交 点（如直线），相离时无交点（如直线 ），如图 3.2.2-3； 20 图3.2.2-4 当，即时（或 ，即 ），直线与双曲线交于两支，即有两个交点， 如图3.2.2-4. 21 3 弦长问题 设直线与双曲线 相交于两个不同 的点，，则弦 的长为 或 . . . . . 22 4 中点弦问题 设直线与双曲线交于两点,，则与椭圆的处理方法相同，将两交点, 的坐标 代入双曲线方程，再将所得两个等式相减，运用点差法即可建立直线 的斜率与弦 的中点 的坐标之间的关系. 归纳总结 双曲线的垂径定理 设直线与双曲线交于,两点，弦中点为， 为坐标原点，则当双曲线方 程为时， ； 当双曲线方程为时， . 23 学思用·典例详解 例3-5 直线与双曲线 的交点个数是( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 联立直线与双曲线 的方程，得 方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 观察可知直线是双曲线 的一条渐近线，因此交点个数 为0. 24 例3-6 (2026·广东省深圳市期中)过点作直线与双曲线交于点， ， 若恰为的中点，则直线 的条数为( ) A A.0 B.1 C.2 D.不能确定 【解析】易知直线 斜率存在，（当斜率不存在时，直线与双曲线无交点） 故设直线，由 得 ， 设， ， . . 25 则 ， 则，即，得 ， 此时式为 ， 由于，所以直线 与双曲线无公共点，这样的直线不存在． 26 例3-7 (2026·江苏省常州市田家炳高级中学期中)记双曲线 的离心率为，则满足条件“直线与无公共点”的 的一个值为_________________. 2（答案不唯一） 【解析】双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线 无公共点，则 ,（直线为渐近线的情况切勿遗漏） ， ， 又, ， 填写（1, 内的任意值均可. . . 27 例3-8 已知点，在双曲线上，线段的中点为，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 设， ， 则可得方程组 两式相减得，即 ， 因为线段的中点为 ， 所以，所以，即直线 的斜率为3， 28 故直线的方程为 ， 即 . 由得，所以 , ，，则 . 由双曲线的垂径定理得为坐标原点 ， 因为,所以 ， 则直线的方程为 . 以下同方法1. 29 释疑惑 重难拓展 知识点4 共轭双曲线和等轴双曲线 1 共渐近线的双曲线系方程 与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 . 当时，其焦点在轴上，当时，其焦点在 轴上. 30 2 共轭双曲线 （1）当时，双曲线与 共渐近线，我们称这两个双曲线互为共轭双曲线. （2）共轭双曲线的性质：①有相同的渐近线；②有相同的焦距； .（, 为共轭双曲线的离心率，共轭双曲线的离心率倒数的 平方和等于常数1） 3 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程形式为 ， 即 .等轴双曲线的渐近线方程为 ,（渐近线互相垂直）实轴长和虚 轴长相等，离心率 . 31 学思用·典例详解 例4-9 下列有关双曲线与 的说法正确的是( ) B A.有公共顶点 B.有公共渐近线 C.有公共焦点 D.离心率相等 【解析】因为两个双曲线互为共轭双曲线，所以它们有公共的渐近线，B正确； 前者的顶点和焦点在轴上，后者的顶点和焦点在 轴上，故A，C不正确； 前者离心率为，后者离心率为 ，故D不正确. 32 例4-10 (2026·江苏省扬州市期中)已知等轴双曲线过点 ，则该双曲线方程为 ______________. 【解析】设双曲线方程为，（等轴双曲线）将 代入方程，可 得，所以双曲线方程为，即 . . . 33 知识点5 双曲线与椭圆的统一性 1 定义的统一性 椭圆 双曲线 第二定义 平面内与定点的距离和到定直线不在上的距离之比是常数 的点 的轨迹. 当 时轨迹为椭圆. 当 时轨迹为双曲线. 第三定义 平面内与两定点的斜率乘积等于定值的点的轨迹. 当定值小于0且不为 时轨迹为椭圆. 当定值大于0时轨迹为双曲线. 34 特别提醒 （1）在第二定义中，为离心率，当 时，轨迹是一个抛物线 （下一节学习）. （2）对于第二定义，定点为曲线的焦点，称直线 为对应的准线. 左焦点 右焦点 下焦点 上焦点 左准线 右准线 下准线 上准线 两准线间的距离为,焦点到同侧准线的距离为焦准距，记为 ,则 . （3）第三定义中的轨迹不包含两个定点，当定值为 时，轨迹为圆. （4）对于第三定义，当定点为,时，曲线的焦点在 轴，且斜率 乘积等于为曲线的离心率；当定点为,时，曲线的焦点在 轴， 且斜率乘积等于 . 35 以图助解 双曲线的第二定义与第三定义#3.1 双曲线的第二定义 双曲线的第三定义 ____________________________ ________________ 36 2 标准方程的统一性 在椭圆的标准方程中，，在双曲线的标准方程中， ， 因此椭圆与双曲线的方程具有相同的形式：（焦点在 轴上）或 （焦点在 轴上）. 37 3 几何性质的统一性 椭圆 双曲线 特征三角形（含有圆锥曲线 几何量的三角形） ________________________________ _______________________________ 焦点三角形 38 椭圆 双曲线 焦半径 , 当点 在双曲线右支上时, , ; 当点 在双曲线左支上时， , 的值 焦点三角形的面积 离心率 续表 39 知识延伸 双曲线与椭圆的共焦点三角形性质（不要求记忆，但要会推导） 已知椭圆的方程为 ,与椭圆共焦点的双曲线的方程为 ,其中为椭圆的离心率， 为双曲线的离心率.#1.1.2 图3.2.2-5 如图3.2.2-5， 是它们的共焦点三角形，若 ,则 . 40 证明：由定义可知 所以, ， 在 中，由余弦定理得 ，所以 ， 即 ， 所以，则 . 41 学思用·典例详解 例5-11 已知为双曲线上任意一点，, 分别为双 曲线的左、右焦点，试用第二定义证明双曲线的焦半径公式. （1）当点在双曲线的右支上时，, . 【解析】双曲线上的左、右焦点为， ，相 应的准线方程分别是和 . 双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于双曲线的离心率，若 点 在右半支上， 则， . 化简得， . 42 （2）当点在双曲线的左支上时，, . 【解析】同（1）可证若点在左半支上，则， . 点评 若为双曲线上任意一点，， 分别为双 曲线的上、下焦点，则 ①当点在双曲线的下支上时，, ； ②当点在双曲线的上支上时，, . 43 图3.2.2-8 例5-12 如图3.2.2-8，已知, 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是双曲线 上异于,的一点，且,存在，证明 . 【解析】设,，则，（与 关于原 点对称） 由,在双曲线上，得 两式相减得 ， 所以 ， 则 . . . 44 例5-13 (2026·四川省成都市玉林中学期中)已知双曲线的右焦点为 ，点 ，是双曲线上一动点，当的值最小时，点 的坐标为________. 图3.2.2-9 【解析】如图3.2.2-9所示，过点作垂直于双曲线的右准线 于点,由第二定义可知 . 又,,, ， , , 45 显然，当且仅当，，三点共线时， 取得最小值， 即 取得最小值， 此时可设，因为 是双曲线上的一点，代入双曲线方程可得 ， ， 点的坐标为 . 46 例5-14 (2026·四川省绵阳市期末)已知椭圆 和双曲线 有共同的焦点，为左焦点，为右焦点， 是它们在第一象限的交点，当 时，与 的离心率互为倒数，则双曲 线 的离心率是( ) B A. B. C.2 D. 47 【解析】 设,的离心率为,，焦距为，因为 , ， 所以, ， 由余弦定理，得 , 即 ， 化简得 ， 两边同除以，得 ， 又，所以，解得或，又，所以 . 设,的离心率为,，由左栏的离心率结论可知 , 即 ,后同方法1. 48 知识点6 双曲线的焦点弦 过焦点的直线 与双曲线相交形成的弦叫做焦点弦（如图3.2.2-6（1）（2）中的 弦 ）. 图3.2.2-6 49 1 双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径. 对于双曲线,将 代入双曲线的方程可得 ，所以直线与双曲线的两个交点为 ， ，计算得通径长或（为双曲线的离心率， 为双曲线的焦准 距） 同理，可求得双曲线的通径长也是 . . . 50 2 用倾斜角表示焦半径 如图3.2.2-6（1），当直线与双曲线的两个交点， 在同一支上时（同支弦）， 连接，，设，，直线与焦点所在轴的夹角为 ， . 由双曲线定义可得， ， 在中，由余弦定理可得 ，整理 可得，同理 ， 所以， .#1.3 图3.2.2-6 51 同理，当直线与双曲线的两支分别交于两个点， 时（异支弦），如图3.2.2-6 （2），， . 因此，焦点在轴的焦半径公式可统一为 . 注意 当焦点弦与同支相交时，焦半径满足如下关系式： . 当焦点弦与异支相交时,焦半径满足如下关系式： .#3.2 图3.2.2-6 52 3 用倾斜角表示焦点弦长公式 求同支弦时，如图3.2.2-6（1），可求得弦长 ． 求异支弦时，如图3.2.2-6（2），可求得弦长 ， 当弦 过右焦点时,其结论与过左焦点是相同的. 因此焦点在 轴上的焦点弦长公式可统一为 . 图3.2.2-6 53 特别提醒 双曲线的焦点弦的最小值 若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长 ；若焦点弦与双 曲线的交点在两支上，则最短弦长是实轴长 . 54 4 焦点弦被焦点分成定比问题 设焦点弦满足， 为直线的倾斜角，则离心率 ， ， 间的关系如下： 当焦点内分弦时， ； 当焦点外分弦时， . 55 学思用·典例详解 例6-15 [教材改编P126例6]过双曲线的左焦点作倾斜角为 的直线 ， 直线与双曲线交于不同的两点，，则 _ ___． 【解析】 双曲线的左焦点为 ， 所以直线的方程为 ． 由得 ． 设， ， 56 则， ， 所以 ． 双曲线中，，，所以 ， 依题意直线的倾斜角 ， 利用公式 ， 代入得 ． 点评 一般弦长公式对双曲线的焦点弦长仍然适用，但是计算烦琐，直接利用双曲 线的焦点弦长公式更为简捷． 57 例6-16 已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为 的直线分别交的两支于,两点．若，则 _ __． 【解析】 因为,所以，所以 ，则双曲线 的方程为 . 设过左焦点且斜率为的直线为，即 ，由 得 ， 58 设,，则, ， 因为，所以 ， 所以 , ， 消去得，化简得，即，因为 ， 所以 . 由题意知焦点外分弦，且，设直线 的倾斜角为 ，由公式得，，, ,所以 . 59 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求双曲线的标准方程 1 由双曲线的几何性质求标准方程 例17 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： （1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； 【解析】由两顶点间的距离是6，得,即 . 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分，可得,即 ，于是有 . 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或 . 60 （2）过点，离心率 . 【解析】若双曲线的实轴在 轴上（当题目条件没有明确双曲线的焦点所在位置时， 应分两种情况进行讨论）， 则设 为所求双曲线的标准方程. 由得 ①. 由点在双曲线上得 ②. 又 ③，结合①②③得, . . . 61 若双曲线的实轴在轴上,则设 为所求双曲线的标准方程. 同理有,, , 解得 （不合题意）. 故所求双曲线的标准方程为 . . . 62 由双曲线几何性质求双曲线标准方程的基本思路 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法. 在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置； 在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程. 63 【学会了吗丨变式题】 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）顶点在轴上，焦距为10，离心率是 ； 【答案】设双曲线的标准方程为 ， 则解得 则双曲线的标准方程为 . 64 （2）一条渐近线的倾斜角为，焦距为 . 【答案】当焦点在轴上时，由一条渐近线的倾斜角为，可知 ， 故，由， ， 解得,, ， 故双曲线标准方程为 . 当焦点在轴上时，由一条渐近线的倾斜角为 ， 可知，故 , 由,,解得,, , 故双曲线的标准方程为 . 综上，双曲线的标准方程为或 . 65 2 巧设双曲线方程进行求解 例18 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）以直线为渐近线，过点 ； 【解析】 （通性通法） 由题意可设所求双曲线方程为 . 由题意，得解得 故所求双曲线的标准方程为 . 66 （优解） 由题意可设所求双曲线方程为 , 将点的坐标代入方程解得 . 故所求双曲线的标准方程为 . . . 67 （2）与椭圆 有公共焦点，离心率为 . 【解析】 （通性通法） 由椭圆方程可得焦点坐标为,，即 且焦点在 轴上. 设双曲线的标准方程为 . 因为,所以,则 . 故所求双曲线的标准方程为 . 68 （优解） 因为椭圆焦点在 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 . 因为,所以,解得 . 故所求双曲线的标准方程为 . 69 巧设双曲线方程的方法 1.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避 免讨论，也可设双曲线的方程为 . 2.常见双曲线方程的设法如下. （1）渐近线为的双曲线方程可设为 ;如果 两条渐近线的方程为 ,那么双曲线的方程可设为 .#2.1.2.1 70 （2）与双曲线或 共渐近线的双曲线方程可设为 或 . （3）与双曲线 离心率相等的双曲线方程可设为 或 ,这是因为由离心率不能确定焦点位置. （4）与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 .#2.1.2.4 71 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·黑龙江省哈尔滨市期中)与曲线共焦点，且与双曲线 共 渐近线的双曲线的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且 ，所求双 曲线与双曲线 共渐近线， 所以设所求双曲线的方程为 ， 即，（注意焦点在 轴上） 则，解得 ， 所以所求双曲线的方程为 ． 72 题型2 求双曲线的离心率 1 由, 的值求离心率 例19 已知某双曲线的上焦点到下顶点的距离为18， 到该双曲线渐近线的距离为6， 则该双曲线的离心率为( ) B A. B. C. D. 【解析】由上焦点到下顶点的距离为18，得 ①， 点到渐近线，即的距离 （双曲线的焦 点到渐近线的距离为 ）②. 又 ③，联立①②③解得，，，所以 ． . . 73 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·福建省南安市成功中学检测)双曲线 的实轴长是虚轴长的2倍， 则( ) C A. B. C. D. 【解析】将双曲线化为标准形式，可得 ， 则,，即,，且其实轴长是虚轴长的2倍，即 ，即 ，解得 ， 即,,所以,，所以离心率 . 74 2 由渐近线求离心率 例20 若双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为_____. 或 【解析】当焦点在轴上时，其渐近线方程为，依题意得， ， ， 故离心率 ； 当焦点在 轴上时，（注意分类讨论） 其渐近线方程为，依题意得 ， ， ， 故离心率 . 综上，双曲线的离心率为或 . . . . . 75 例21 反比例函数 的图象是双曲线，则其离心率为____. 【解析】 双曲线是对称图形，两条渐近线关于实轴对称， 的图象的两 条渐近线分别为轴，轴，所以两条渐近线的夹角为 ，所以渐近线与实轴的夹 角为 ，则 . 双曲线的渐近线分别是轴和 轴,渐近线互相垂直，因此双曲线是等 轴双曲线，离心率为 . 名师点评 反比例函数的图象都是等轴双曲线，绕原点旋转 均可得到 双曲线的方程 . 76 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·福建省福州高级中学段考)双曲线 的一条渐近线与直 线 垂直，则双曲线的离心率为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为 ， 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直（通过分析可知渐近线 符 合）， 所以，所以 ， 所以双曲线的离心率为 . . . 77 3 寻找齐次方程求离心率 例22 (2026·河南师范大学附属中学月考)双曲线 的左焦 点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若为等腰三角形，则双曲线 的离 心率是( ) D A. B. C.或 D. 78 【解析】由题意易知,,设 , 则,, . 由为等腰三角形，分析可得 , 即,变形可得 , 又,则有,解得 , 又双曲线中,所以 . . . 79 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·福建省莆田第一中学月考)已知，分别是双曲线 的左、右焦点，以线段为边作正三角形，若边 的中点在双曲线上，则 双曲线的离心率是( ) D A. B. C. D. 【解析】不难得到点在轴上（为边的中垂线，为坐标原点），设其在 轴正半轴上，则 . 由题知边的中点坐标为，，代入双曲线方程得 ，结合 可得,解得,即 ，即 . . . . . 80 4 以焦点三角形为指向求离心率 例23 设双曲线的左、右焦点分别为，，过 的直线分 别交双曲线左、右两支于，两点，是以 为斜边的等腰直角三角形，则 双曲线的离心率为____. 81 图3.2.2-10 【解析】设,如图3.2.2-10，是以 为斜边 的等腰直角三角形，,，， 两点在 双曲线上，， 为双曲线的左、右焦点， ,, , ,,则 ,由 （勾股定理），得 ，解得 ，， ，在 中，由余弦定理得 ，化简整理得 ，即，则离心率 ． . . 82 求双曲线离心率的两种常用方法 （1）由条件寻找，所满足的等式，常用的公式变形为． （2）依据条件列出含，的齐次方程，利用转化为含或 的方程，解方程即 可，注意依据 对所得解进行取舍. 83 【学会了吗丨变式题】 6.(2023· 新课标Ⅰ卷)已知双曲线的左、右焦点分别为 , .点在上，点在轴上，，,则 的离心率为_ ___. 【解析】 由题意可知,,,设, ,所以 , , 因为 , 所以即所以 . , ， 84 因为，所以 ， 即，解得 . 因为点在双曲线 上， 所以，又，所以 ， 即，化简得 ， 所以，所以 . 85 图D 3.2.2-1 如图D 3.2.2-1，设 ，则 , . 在中， ， 即 ， 则 ， 故或 （舍去）. 所以,， ， 则，故 . 在中，由余弦定理得 ， 整理得，故 . 86 5 求离心率的取值范围 例24 已知双曲线的左、右焦点分别为, .若 双曲线上存在点使 ,则该双曲线的离心率的取值范围是___________． 87 图3.2.2-11 【解析】在中,由正弦定理可得 ,所以 , 即 , 所以,则点在双曲线的右支上，且点不在直线 上， 画出示意图如图 3.2.2-11所示. 由双曲线的定义知,则,即 . 又由双曲线的性质知（双曲线上的点到焦点的最短距离为 ）, 则,即 ， 所以,解得 . 又,所以 . . . 88 求双曲线离心率的取值范围的思路 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于 ,,的不等关系，结合和得到关于 的不等式，然后求解.在建立不 等式求 时，双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化. 89 【学会了吗丨变式题】 7.设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点且所成角为 的直线 和，满足,其中,和,分别是这对直线与双曲线 的交点， 则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A A. B., C. D., 90 图D 3.2.2-2 【解析】不妨设双曲线的方程为 ， 由及双曲线的对称性知与，与 关 于轴对称（点所处象限不同，对称轴也可为 轴），如图 D 3.2.2-2. 满足条件的直线只有一对， ,（直线与轴夹角为 时，与双 曲线有交点；与轴夹角为 时，与双曲线无交点） 即. . 又，，即 , ,即 . . . . . . . 91 题型3 求双曲线的渐近线 母题 致经典·结构化试题 例25 已知，为双曲线的焦点，过作垂直于 轴的直 线交双曲线于点，且 ，则双曲线的渐近线方程为( ) C A. B. C. D. 92 【解析】设， ， 则，解得, . 在中， ,则 ①. 由双曲线的定义，得 ②. 由①②得 . ,，即， . 双曲线的渐近线方程为 . 93 母题探源 双曲线的渐近线方程的求解 渐近线是双曲线的重要几何性质，求双曲线的渐近线方程的关键是建立一个关于 ， ，的方程，通过这个方程和，，的关系式消掉后，建立一个关于， 的方程， 只要能通过这个方程求出即可，不一定要分别求出， 的具体数值.下面认真体会 本例的“子题链接”. 94 子题 情境转化 子题1 (2026·江苏省扬州中学期中)已知双曲线 的离心率 ，则双曲线 的渐近线方程为__________. 【解析】，得，所以双曲线 的渐近线方程为 . 95 子题2 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过 的 直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为 的中点， 若的周长为,则双曲线 的渐近线方程为( ) B A. B. C. D. 96 图3.2.2-12 【解析】如图3.2.2-12所示，由对称性可知 ，因 为的周长为,所以 ,又 ,所以,.因为为 的 中点，所以且,则 且 为等边三角形，所以 . 在 中，（注意特殊三角形的应用） ，则 ， 即双曲线的渐近线方程为 ． . . 97 （ 【另解】由为等边三角形和为双曲线通径长的一半可得， , 即,所以渐近线方程为 ） 求双曲线的渐近线方程的基本步骤 1.利用条件求出与的值或建立与 的等量关系; 2.确定双曲线焦点的位置； 3.写出双曲线的渐近线方程：当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为 ； 当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为 . 99 【学会了吗丨变式题】 8.(2026·陕西省西安交通大学附属中学期中)已知双曲线 的 左，右焦点分别为，，点是上一点，且，，则 的 渐近线方程为( ) C A. B. C. D. 100 【解析】如图D 3.2.2-3，由双曲线定义知 ， 图D 3.2.2-3 又，则， ， 101 在中，，，则 ， 所以，可得 ， 则，即 ， 所以的渐近线方程为 . 102 题型4 直线与双曲线的综合问题 1 直线与双曲线的位置关系 例26（1）(2026·上海市复旦大学附属中学期中)过点且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条?分别求出它们的方程. 【解析】若直线的斜率不存在（此处易忽略斜率不存在的情况致错）， 则直线方程为，此时仅有一个交点 ，满足条件. 若直线的斜率存在，设直线的方程为,则 ，代入 到双曲线方程，得,所以 ,化简 得 . . . 103 当 时（解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线 的方程消元后得到的方程是否为一元二次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与 双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况），方程无解，不满足 条件. 当时，方程 有一解，满足条件. 当时,令 ,化 简后知方程无解，所以不满足条件. 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和 . . . . . 104 （2）直线与双曲线相交于，两点，当为何值时，， 在双曲线的同一支上?当为何值时，， 分别在双曲线的两支上? 【解析】把代入，整理得 . 因为有两个交点，所以， . 由得且 . 设,,若，在双曲线的同一支上，需 ，所以 或 . 故当或时，, 两点在双曲线的同一支上. 若,分别在双曲线的两支上,需,所以 ，故当 时，， 两点分别在双曲线的两支上. 105 直线与双曲线的位置关系的判断及应用的处理方法与注意点 （1）判断直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但 要注意联立直线与双曲线方程后得到的方程的二次项系数能否为零，此时要注意巧 妙利用分类讨论和数形结合的思想方法. （2）这类问题一般都是比较棘手的问题，解题时要注意思考问题的角度和方法，特 别是运算化简过程中结论与所解决问题的对应关系，同时要注意利用式子的特点灵 活化简. （3）与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于 一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线. 106 【学会了吗丨变式题】 9.(2026·福建省永春第一中学期中)已知直线，“或 ” 是“直线与双曲线 有且仅有一个公共点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 107 【解析】由消去得， . 当时，有，解得 ， 此时直线与双曲线 有且仅有一个公共点； 当时，令 ， 化简得，即 . 综上,当或时，直线与双曲线 有且仅有一个公共点，故“ 或”是“直线与双曲线 有且仅有一个公共点”的充分不必 要条件. 108 2 弦长 例27 直线与双曲线相交于, 两点. （1）求线段的长（用含 的式子表示）； 【解析】 . 109 （2）当为何值时，以 为直径的圆经过坐标原点？ 【解析】记坐标原点为，由题意知， ， 则，即 ， , 即 ， ， 解得 . 经检验,满足,且 . （注意检验 的值是否符合直线与双曲线有2个交点） 故当时，以 为直径的圆经过坐标原点. 110 【解析】由得 . 由题意可得， . 设，，则, . 111 求直线与双曲线相交弦的弦长时，一般联立直线与双曲线的方程，消元后结合根与 系数的关系，利用 或 求解.另外需注意， 当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双 曲线的通径，可以直接利用通径公式求解. 112 【学会了吗丨变式题】 10.斜率为2的直线与双曲线交于，两点，且，则直线 的方程 为_______________. 【解析】设直线的方程为 , 把代入双曲线的方程 ， 得 ， 由得或 . 113 设, ， 则①， ②. 由已知,得 ③. 把①②代入③，解得 ，满足题意. 直线的方程为 . 114 3 “中点弦”问题 例28 (2026·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学月考)过双曲线 的右焦点 且倾斜角为的直线与双曲线有两个交点, . （1）求线段 的中点坐标； 【解析】由双曲线方程知 ， 则直线方程为 ， 由得 ， 115 则 ， 直线与双曲线有两个不同的交点, . 设，，中点为 ， 由根与系数的关系得 即，所以，故 . 116 （2）求 . 【解析】由弦长公式可得 . 117 例29 已知双曲线，求过点，且被点平分的双曲线的弦 所在 直线的方程. 118 【解析】 由题意可知斜率不存在时不合题意，故直线的斜率存在，故可设 直线方程为,即 ， 由消去 ，整理得 ， 设,,所以 ， 因为为 的中点， 所以，即，解得 ， 满足 ，符合题意.（注意要检验） 所以所求直线的方程为 ， 即 . . . 119 设弦的两端点坐标为， . 则 由化简，得 , 将③④代入上式得，即直线的斜率为. 对于选择题、填空题，可利 用双曲线的垂径定理，由,为坐标原点 ,直接得出 120 所以直线的方程为 ， 即 . 经检验直线与双曲线 确实有两个交点，满足题意. 故所求直线方程为 . 121 例30 求过定点的直线被双曲线截得的弦 的中点的轨迹方程. 122 【解析】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为 ,且设该直线被双曲线截得的弦对应的中点为， , . 由得 . 则,即,且 , 所以,即,,且, ,所以 , . 123 由消去得（【详解】由得，将 两边平方得 ，将代入得，化简得 ）, ， 所以所求点的轨迹方程为（或 （注意对轨迹方程的范 围进行限定，此处的范围更易求解，所以用进行限定，由, ，得 或，所以或，根据 得 或 ））. . . . . 124 与双曲线有关的中点弦问题的解题方法 与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而 不求的思想.常见题型及解法如下. （1）直线和双曲线相交，求弦的中点坐标，其方法有两种： ①将直线方程代入双曲线方程，整理得到关于或 的一元二次方程，应用根与系数 的关系求出中点的横（纵）坐标，代回直线方程求得另一坐标; ②应用“点差法”获得中点的横（纵）坐标的关系式，和直线方程联立组成方程组求解. （2）已知弦的中点求直线方程，可利用点差法求得直线斜率，利用点斜式得直线方程. 125 （3）求平行弦或相交弦、中点轨迹.平行弦必须知道该组弦的斜率，相交弦必须知 道该组弦的交点，求中点轨迹采用“点差法”更简单. 另外，需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使该点为弦的中点，这样 的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验. 126 【学会了吗丨变式题】 11.(2026·吉林省长春市第二实验中学期中)已知双曲线 的 一条渐近线方程为，且经过点 . （1）求双曲线 的方程； 【解析】由题意，知解得 故双曲线的方程为 . 127 （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线 的方程. 【解析】设,，则 两式相减，得 ， 整理得 . 因为线段的中点坐标为 ， 所以, ， 128 所以直线的斜率为 ， 故直线的方程为，即 . 经检验，直线与双曲线 相交， 所以直线的方程为 . 129 12.已知双曲线上存在关于直线对称的两点,，求实数 的 取值范围. 【答案】当 时，显然不成立. 当时，由，可设直线的方程为,代入 中， 得 . , , 即 ①. 130 设的中点为 ，则 ,（利用根与系数的关系求得） 点在直线上， , 即 ②. 把②代入①得,解得或 . 或，即或,且 . 故的取值范围是 . 131 新考法 情境应用 图3.2.2-13 例31 新情境 双曲线新闻灯 (2026·山东省德州市期中) 双曲线的光学性质如下：如图3.2.2-13（1），从双曲线 右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反 向延长线经过左焦点 .我国首先研制成功的“双曲线新 闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线 C A. B. C. D. 新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图 3.2.2-13（2）， 其方程为，， 分别为其左、 右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，， 在同一 直线上，满足， ，则该双曲线的离心率为( ) 132 图3.2.2-14 【解析】如图3.2.2-14，连接,.设 . 由， ,得 ,即 . 又，在直角三角形中，可得 ， ， 由双曲线的定义可得 ， ， , 133 又由双曲线的定义得 , 则,解得 . 在直角三角形中， ， 则 ， 即，可得 ． 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 双曲线的几何性质是高考考查的重点内容,一是求离心率、渐近线方程，二是以双曲 线为背景，考查直线、圆与双曲线的综合问题，如定点、定值问题、面积最值、证 明等问题，要引起足够重视.各种题型都会出现，试题难度中等或困难. 核心素养：数学运算（求离心率、方程、最值等），直观想象（利用图形性质解决 问题），逻辑推理（问题转化等）. 135 考向1 求双曲线的离心率 例32 (2025· 全国一卷)已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则 的离心率为 ( ) D A. B.2 C. D. 【解析】依题意得，又,所以 ,即 ，故 . 例33 (2025·北京)双曲线 的离心率为( ) B A. B. C. D. 【解析】将双曲线方程化为标准方程，得，则 , ，所以,，得，所以双曲线的离心率 . 136 例34 (2024· 新课标Ⅰ卷)设双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过作平行于轴的直线交于， 两点, 若，，则 的离心率为__. 图3.2.2-15 【解析】 如图3.2.2-15，由 及双曲线的对 称性得，因为 ,所以 , ,所以 ，，则的离心率 . 137 因为为通径，双曲线的通径长为，所以 ， 所以，又，所以 ，得 ，所以，得，所以的离心率 . . . 138 变式探源 1.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为,，点 在该双曲线 上，则该双曲线的离心率为( ) C A.4 B.3 C.2 D. 139 【解析】 （方程组法） 根据焦点坐标可知，根据焦点在 轴上，可 设双曲线的方程为，则解得 所以离心率 . （定义法） 根据双曲线的定义，得 ，根据焦点坐 标可知，所以离心率 . 140 2.(全国Ⅰ卷)已知为双曲线的右焦点，为的右顶点， 为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则 的离心率为___. 2 【解析】设，因为为双曲线上的点，所以 ,所以 .因为的斜率为3，所以，（此处为易错点，易忽略题眼“ 的斜率为3”，由得到错解 ）， 所以，所以,所以,解得 （舍去）或 ， 所以的离心率 . . . . . . . 141 考向2 双曲线的渐近线问题 例35 [多选题](2025· 全国二卷)双曲线 的左、右焦点分 别为，，左、右顶点分别为,，以为直径的圆与 的一条渐近线交于 ，两点，且 ，则( ) ACD A. B. C.的离心率为 D.当时，四边形的面积为 【解析】对于A，根据双曲线和圆的对称性（题眼），知四边形 为平行四边 形，因为，所以 ，A正确. . . 142 图3.2.2-16 （余弦定理） 如图3.2.2-16，在 中， 在中， , （此思路是从“数”的角度分析，在两个三角形中，分别将需要求解关系的两条线段 的长度用, 表示出来） ， ，故 . . 对于B， 143 在中， ,即 ，则 ， 所以， ， 所以 ,B错误. 144 （解析几何法） 设，则 ，又 ，，联立可得,，所以，所以 轴， （此思路是找到直角三角形，减少了运算量，从“形”的角度分析了线段的比值关系） 在中，因为，所以 ,B错误. 对于C，根据，得 ,C正确. 对于D，当时，，，所以四边形 的面积为 ,D正确. 145 命题 探源 试题从双曲线的标准方程出发，综合考查双曲线的渐近线、离心率等基础知 识，以及解三角形的基本方法，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力. 素养 探源 素养 考查途径 逻辑推理 试题中涵盖了除双曲线外的多个几何 图形，如直线、圆、三角形、四边 形，需要综合运用几何图形的性质以 及代数或几何方法，结合具体图形特 征来选择解决问题的合理路径. 数学运算 直观想象 146 变式探源 (2023·全国甲卷)已知双曲线的离心率为， 的一条渐近线与圆交于，两点，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由得,所以双曲线的渐近线方程为 . （通解） 由 得 . 设,，则, . 所以 . 147 （优解） 圆心到渐近线的距离 ， 所以 . 148 考向3 直线与双曲线的位置关系 1 交点个数问题 例36 (2024·北京)若直线与双曲线只有一个公共点，则 的一 个取值为_ ________________. （答案不唯一） 【解析】由题意，知该双曲线的渐近线方程为，直线 过定点 .因为点 在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则 该直线与双曲线的渐近线平行，所以 . 149 2 弦中点问题 例37 (2023·全国乙卷)设,为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是( ) D A. B. C. D. 150 【解析】设，，的中点为，由点， 在双曲线上，得 两式作差，得，即 ， 化简得，即，因此 . 由双曲线方程得渐近线方程为 . 因为选项中的点均位于双曲线两支之间，故， 分别在双曲线的两支上且不关于原 点对称，则 ， 即 ，结合选项可知选D. 151 3 定直线问题 例38 (2023· 新课标Ⅱ卷)已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为 ,离心 率为 . （1）求 的方程; 【解析】设双曲线的方程为，为双曲线 的半焦距， 由题意可得 解得 所以双曲线的方程为 . 152 （2）记的左、右顶点分别为,,过点的直线与的左支交于， 两点， 在第二象限,直线与交于点,证明:点 在定直线上. 【解析】 （根与系数的关系） 显然直线斜率不为0，设, , 直线的方程为 ， 则, .（注：当斜率不为0时，直线方程设成此种形式可避 免对直线 的斜率是否存在进行讨论） 联立得得 . 153 因为直线与双曲线的左支交于，两点,所以,且 . 由根与系数的关系得 所以 . 因为，分别为双曲线 的左、右顶点， 所以, . 直线的方程为 , 直线的方程为 , 所以两直线方程联立，消去，得, . 154 因为 （构造的巧妙之处是可以和 联系） ， 所以，解得 ， 所以点在定直线 上. 155 （齐次化） 由题意得, . 设, , 直线的方程为 , 则,即 . 156 图3.2.2-17 如图3.2.2-17，连接 , ①. 由 ， 得，得 ， （构造是为了下一步得到关于 的齐次式） , . 157 由，得，即 ， 所以 . （构造齐次式） ， 展开得 ， 两边同时除以,得 ， . . 158 即.（这里可以理解为双曲线上的点与点 连线的斜 率） , , 由根与系数的关系得 ②. 由①②可得 . , . 由解得 所以点在定直线 上. 159 （1） 160 （2）思路一 思路二 161 4 斜率问题 例39 (2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点在双曲线上，直线 交于,两点，直线, 的斜率之和为0. （1）求 的斜率； 【解析】将点的坐标代入双曲线方程得，化简得 ， 得 ， 故双曲线的方程为 . 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，， ， 联立直线与双曲线的方程并整理得 ， 162 则， . 所以 ， 化简得 ， 故，整理得 ， 若,则直线为,即 , 又直线不过点，所以，故 . 故的斜率为 . 163 （2）若,求 的面积. 【解析】不妨设直线的倾斜角为 ， 设直线的倾斜角为 , 因为 ,所以，即 ,则 （若,在双曲线左支或,在双曲线右支且均在 的右侧的情况存在，此时可得 ，但求得，与渐近线斜率相等，故不存在此两种情况） ， 所以 ， 解得或 （舍去）， . . 164 由得 ， 所以 ， 同理得 ， 所以 . 因为，所以 ， 故 . 165 高考新题型专练 1.[多选题](2026·湖北省仙桃中学期中)已知曲线，点 ， ，则下列结论正确的是( ) BCD A.曲线关于 对称 B.曲线上存在点，使 C.直线与曲线 无公共点 D.点为曲线在第二象限内的点，过点向直线作垂线，垂足分别为 ， ，则为定值 166 图D 3.2.2-4 【解析】如图D 3.2.2-4，当, 时，曲线 ，表示焦点在 轴上的椭圆在第一象限的部分和 点， ； 当,时，曲线，表示焦点在 轴上的双 曲线在第四象限的部分，其渐近线为 ，焦点为 ， ; 当,时，曲线，表示焦点在 轴上的双 曲线在第二象限的部分，其渐近线为 ; 当,时，曲线 ，不表示任何图形. 167 对于A，若点在曲线上，其关于的对称点为 ,因为 ，所以点不在曲线 上，所以曲 线不关于 对称，故A错误；（由图形也可直接观察得出A错误） 对于B，当点在双曲线在第四象限的部分时， ，故B正确； 对于C，由图形可知直线与曲线 无公共点，故C正确； 对于D，设，则 ，则 ，故D正确.故选 . 168 2.新考法 结构不良 已知双曲线 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．以下有三个条 件：①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为 ，从中任选两个条件， 并根据所选条件求解以下问题． （1）求双曲线 的标准方程； 【答案】若选①②：由题意得,,则 , 所以双曲线的标准方程为 . 若选①③：由题意得, , 解得, , 所以双曲线的标准方程为 . 若选②③：由题意得, , 解得,,所以双曲线的标准方程为 . 169 （2）若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于， 两点，证 明： 为定值． 【答案】由（1）可知,由题可知, 的斜率存在且不为0. 设的方程为,,联立消 并整理可得 . 设,,则 170 所以 . 所以 为定值0,即得证. 171 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.已知双曲线的右焦点为 ，则该双曲线的离心率等于( ) C A. B. C. D. 【解析】根据右焦点为，知，则，所以，故 . 172 2.(2026·广东省深圳市期中)已知双曲线方程为，过的直线 与双曲 线只有一个公共点，则满足题意的直线 共有( ) B A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 【解析】点是双曲线的右顶点，故当直线斜率不存在时，直线 与双曲线 相切，只有一个公共点；当直线斜率存在，且平行于渐近线时，直线 与双曲线只 有一个公共点，这样的直线有2条.所以符合要求的直线 共有3条． 173 3.新情境 双曲面结构 体育馆等建筑物的屋顶一般采用曲面结构，某建筑物的屋顶 采用双曲面结构，该建筑物屋顶外形弧线可看作是双曲线的上支部分，其渐近线方 程为,焦点坐标为 ，那么该双曲线的标准方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】设双曲线的标准方程为 ， 由渐近线方程为,得 ①， 又焦点坐标为,所以 ， 所以 ②，由①②解得， ， 所以双曲线的标准方程为 ． 174 4.(教材改编P128 T13)直线与双曲线交于，两点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率为( ) B A.3 B.6 C.8 D.12 【解析】 设,，又线段的中点为 ，所以 ，，由 ①②相减得 ， 化简得 ． 由垂径定理可知，则 . 175 5.(2026·江苏省启东中学期中)已知椭圆与双曲线 的 离心率分别为，，若 ，则双曲线的渐近线方程为( ) D A. B. C. D. 176 【解析】椭圆的离心率 ， 双曲线的离心率 ， 因为，所以 ， 所以 ， 化简得，解得 . 所以双曲线的渐近线方程为 . 6.[多选题](2026·江苏省南京市金陵中学月考)关于双曲线 ，下列说法 正确的是( ) ACD A.该双曲线与双曲线 有相同的渐近线 B.过点作直线与双曲线交于，两点，若 ，则满足条件的直线只 有一条 C.若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D.过点能作4条直线与双曲线 仅有一个交点 178 【解析】对于A，两个双曲线的渐近线均为 ，故选项A正确. 对于B，当直线与双曲线的右支交于，两点时，的最小值为 ， 此时线段为双曲线的通径;当直线与双曲线的左、右两支分别交于点， 时， （不要误认为, 位于同一支） 的最小值为，所以存在关于 轴对称的两种情况，使其弦长为5，故满足 条件的直线共有3条，故选项B错误. 对于C，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线 的两支各有一个交 点，则直线的斜率 ，故选项C正确. 对于D，由于点在双曲线的两条渐近线的上方，过点 可作两条与渐近线 平行的直线和两条双曲线的切线，均与双曲线只有1个交点，故满足条件的直线有4 条，故选项D正确．故选 ． . . . . 179 7.新考法 数学建模 如图3.2.2-1,某农场在 处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿小道 或经过或稍作休息后再沿直线送到另一侧的大田 中去.现测得 ,, . 图3.2.2-1 180 （1）在大田中一定存在一条界线，满足界线上的点由小道或 送肥料的距离 相等，证明此界线在一条确定的曲线上.以所在直线为轴、的中点 为原点 建立平面直角坐标系，写出界线 所在曲线在第一象限的方程. 图D 3.2.2-1 【答案】建立题设的平面直角坐标系，如图D 3.2.2-1，设 为界线上任意一点,则依题意有 即 所以在双曲线 上. 即界线所在曲线在第一象限的方程为 . 181 （2）为了防涝抗旱，在大田中沿界线开一条河，为了便于耕作，要求过 在大田 中修筑一条和双曲线的渐近线平行且倾斜角为锐角的小道，设界线上任意一点 到 这条小道的距离为，求 的取值范围. 【答案】依题意知，小道所在直线的方程为 ,所以双曲线右顶 点到小道所在直线的距离为 ， 又小道所在直线与渐近线的距离为 ， 所以界线上任意一点到这条小道的距离 . 182 8.(2026·福建省厦门大学附属科技中学测试)已知双曲线 的 实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为 . （1）求 的方程； 【答案】 双曲线 的实轴长为2， ，即 ， 右焦点到渐近线的距离为 ， ，即，得 ， 双曲线的方程为 . 183 （2）若直线交双曲线于，两点，且的面积为2，求实数 的值. 【答案】设, ， 由得 ， ，, ， ， 点到直线的距离 ， 的面积为 ， 整理得，解得 . 184 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·河南省信阳市期中)设双曲线 的左、右焦点分别 为，，过坐标原点的直线与交于，两点．若 ， ，则 的离心率为( ) D A. B.2 C. D. 185 图D 3.2.2-2 【解析】因为为的中点，所以 为平行四边形， 如图D 3.2.2-2， ，又 , 所以, . 整理得,所以 ． ， 所以.在 中，由余弦定理得， ， 186 10.（2026· 重庆市西南大学附属中学校期中)已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线与 圆 有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】由，得 . 故圆的圆心为，半径为 . 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，即 .因为渐近线与圆 有公共点， 187 所以，化简得 . （将渐近线与圆 有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或 等于圆的半径） 由，得 . 解得，故,又,所以 . 双曲线的离心率的取值范围为 . 188 11.[多选题](2026·江西省南昌市期末)如图3.2.2-2，是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且，有公共焦点， ， ，的离心率为 ，则下列结论正确的是( ) ABD 图3.2.2-2 A.， B.若双曲线的方程是，则 C.若 ，则 D.的面积为 189 【解析】对于A,由椭圆可知,,，即 ， 由双曲线可知，且点在第一象限，则 解得 故A正确； 对于B,若双曲线的方程是，则，可得， ，则 ，即，所以 ，故B正确； 对于C,若 ，在 中，由余弦定理可得 ，即 ，解得 ，所以 ，故C错误； 190 对于D,在 中，由余弦定理可得 ， 结合椭圆定义可得 ，即 ，整理可得 ，结合双曲线的定义可得 ，即 ，整理可得 ，则，且为锐角，可得 ，所以 的面积为 ，故D 正确.故选 . 191 12.设双曲线的右焦点为,点，已知点在双曲线 的左 支上，若的周长的最小值是8，则双曲线的离心率是____，此时，点 的坐 标为_ ________. 图D 3.2.2-3 【解析】如图D 3.2.2-3，设为双曲线的左焦点，连接, , 则, , 故 的周长 , 因为，当且仅当,, 三点共线 时等号成立， 所以的周长 ， 192 因为 的周长的最小值是8， 所以,即 , 又,所以, , 故双曲线的离心率，双曲线的方程为，当 的周长取 最小值时，点在直线 上， 因为,,所以直线的方程为 ， 由解得或（舍去），故此时点的坐标为 . 193 13.(2026·山西省大同市期末)已知双曲线过点 ， 且焦距为10. （1）求 的方程. 【答案】由已知得，，解得， . 所以的方程为 . 194 （2）已知点，，为线段上一点，且直线交于， 两 点.证明： . 【答案】设，则，且 ， （直线 斜率不等于渐近线斜率） 设,，直线 ， 由得 , 所以, . . . 195 则 ， 所以 , 因为,,,四点共线，所以 . 196 C 培优练丨能力提升 14.新考法 结构不良(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线 的 右焦点为,渐近线方程为 . （1）求 的方程； 【答案】由题意得 ①． 因为双曲线的渐近线方程为，所以 ②． 又 ③，所以联立①②③得, ， 所以双曲线的方程为 ． 197 （2）过的直线与的两条渐近线分别交于,两点，点,在 上， 且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点 .从 下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 在上；; . 【答案】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，将直线的方程代入 的方程，整理得 ， 则,,所以 ， 所以 . 设点的坐标为,则 198 两式相减，得 , 又 ， 所以 ， 解得 ; 两式相加，得 , 又 , 所以 ， 解得 . 因此，点的轨迹为直线,其中为直线 的斜率. 199 若选择①②： 因为,所以直线的方程为 ， 设，，不妨令点在直线 上， 则由解得, ， 同理可得, , 所以, . 点的坐标满足 得， , 故为的中点，即 . 200 若选择①③: 当直线的斜率不存在时，点即为点,此时不在直线 上，矛盾. 当直线的斜率存在时，易知直线 的斜率不为0， 设直线的方程为，， ， 不妨令点在直线 上， 则由解得, , 同理可得, , 201 因为在上，且 ， 所以, , 又点在直线上，所以 , 解得,因此 . 202 若选择②③： 因为，所以直线的方程为 , 设，,不妨令点在直线 上， 则由解得, ， 同理可得, . 设的中点为 ， 则, . 203 因为，所以在的垂直平分线上，故点 在直线 ,即上,与 联立，得 , , 即点恰为的中点，故点在直线 上. $