2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第三章 3.2 3.2.2　双曲线的简单几何性质

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心知识点，通过课标要求明确学习目标，以新知梳理表格对比焦点在x轴和y轴的性质建立基础，结合小试身手巩固应用，形成“目标-基础-巩固”的学习支架。 其亮点在于结构化呈现知识（表格清晰对比性质）、探究式问题设计（如例1化非标准方程为标准方程培养数学抽象，例3结合焦点与双曲线上点求离心率体现逻辑推理），方法总结系统（如求方程步骤、离心率求法），助力学生提升数学运算能力，为教师提供层次分明的教学资源。

3.2.2　双曲线的简单几何性质 [目标导航] 课标要求 1.了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.双曲线的几何性质 F1(-c,0),F2(c,0) 性 质 焦点 焦距 范围 或 ,y∈ 或 ,x∈ 对称性 对称轴: ;对称中心: 顶点 轴 实轴:线段 ,长: ;虚轴:线段 ,长: ;半实轴长: ,半虚轴长: 渐近线 离心率 F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2|=2c x≤-a x≥a R y≤-a y≥a R 坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1,+∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是 ,离心率为 e= . 等长 y=±x 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置. (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越大,反之亦然. 小试身手 3.实轴长为12,离心率为2,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为　　　　　 . 课堂探究·素养培育 双曲线的简单几何性质 [例1] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 变式训练1-1:若把方程改为“9y2-4x2=-36”,试求之. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键; (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; (3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质. 由双曲线性质求其标准方程 (2)分别求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线的标准方程: ③与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点 M(2,-2). 由几何性质求双曲线方程的方法 双曲线的离心率 C 考查角度一　求离心率 D (3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 求双曲线离心率的方法 C 考查角度二　求离心率的取值范围 A 求双曲线离心率范围的方法 (1)由题目所给条件充分利用平面几何关系,建立关于a,c的不等关系求解; (2)考虑平面几何图形的临界位置,建立关于a,c的不等关系求解. 直线与双曲线的位置关系 [例5] 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1, (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; 即时训练5-1:已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. 当堂即练·素养达成 1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是(　 　) 当堂即练 C A y=±x (2,+∞) 1.通过双曲线的标准方程可以讨论双曲线的几何性质,通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线的标准方程.通过对双曲线性质的学习,达成了培养直观想象、数学抽象核心素养的目的. 2.渐近线是双曲线特有的性质,渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小.通过对双曲线渐近线和离心率的学习,达成了培养数学运算、逻辑推理核心素养的目的. 课堂小结 感谢观看 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 y=±x y=±x e=∈ (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性,由双曲线的方程-= 1(a>0,b>0),得=1+≥1,所以x2≥a2,所以|x|≥a,即x≤-a或x≥a. (4)对称性:由双曲线的方程-=1(a>0,b>0),若P(x,y)是双曲线上任意一点,则P1(-x,y),P2(x,-y)均在双曲线上,因P与P1,P2分别关于y轴,x轴对称,因此双曲线分别关于y轴,x轴对称.只不过双曲线的顶点只有两个,而椭圆有四个. 1.双曲线-=1的焦点坐标为　　　　　,渐近线方程是　　　　　　　　.  (±,0) y=±x 解析:双曲线-=1的虚轴长为2, 可得b=1,a=,所以c=2, 所以双曲线-=1的离心率为 e===. 2.已知双曲线-=1的虚轴长为2,其离心率为　　　　.  -=1 解析:根据题意,a=6,e==2,则有c=12, 则b==, 又由双曲线的焦点在x轴上, 则其标准方程为-=1. 解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+1=0平行,所以=2,由双曲线e==得离心率为. 4.双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+1=0平行,则它的离心率为　　　　.  解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),化为标准方程-=1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长a=,虚半轴长b=,c=,焦点坐标(,0), (-,0),离心率e===. 顶点坐标为(-,0),(,0). 所以渐近线的方程为y=± x=±x. 解:双曲线的方程化为标准形式是-=1,所以a2=9,b2=4,所以a=3,b=2,c=. 又双曲线的焦点在x轴上,所以顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(-,0),(,0), 实半轴长a=3,虚半轴长b=2,离心率e==, 渐近线方程为y=±x. [例2] (1)求与双曲线-=1具有相同的渐近线,且过点M(3,-2)的双曲线的标准方程; 解:(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0). 由点M(3,-2)在双曲线上得-=λ,得λ=-2. 故所求双曲线的标准方程为-=1. 解: (2)显然双曲线的焦点在x轴上,又易知直线l与x轴交于点(-5,0), 所以c=5. 又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有=2, 结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为-=1. (2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,求双曲线的标准方程. y2-=1 即时训练2-1:(1)若双曲线过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是　　　　　　　　.  (1)解析:根据题意,设双曲线标准方程为-y2=λ(λ≠0). 因为双曲线过(3,), 代入方程得λ=-1, 所以双曲线方程为y2-=1. ①双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0); (2)解:①设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0). 由已知得a=,c=2, 再由a2+b2=c2,得b2=1. 故双曲线C的标准方程为-y2=1. 解:②由e2=,得=,设a2=9k(k>0),则c2=10k,b2=c2-a2=k. 于是,设所求双曲线方程为-=1,(ⅰ) 或-=1,(ⅱ) 把(3,9)代入(ⅰ),得k=-161与k>0 矛盾; 把(3,9)代入(ⅱ),得k=9, 故所求双曲线的标准方程为-=1. ②双曲线过点(3,9),离心率e=; 解:③设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0), 将点(2,-2)代入,得k=-(-2)2=-2, 所以双曲线的标准方程为-=1. 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,常用待定系数法.首先,根据所给的性质,判断焦点的位置,设出双曲线的标准方程,再利用已知构造关于参数的方程(组)求得.当双曲线的焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论.若已知双曲线的渐近线方程为±=0,求双曲线方程时,为避免讨论,减少运算量,可设双曲线方程为-=λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值. [例3] (2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 解析:设F1(0,-4),F2(0,4),P(-6,4), 则|F1F2|=2c=8,|PF1|==10, |PF2|==6, 则2a=|PF1|-|PF2|=10-6=4, 则e===2. 故选C. 即时训练3-1:设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线交于A,B两点,若△ABF2的面积为2,则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析:设F1(-c,0),A(-c,y0),则-=1, 又c2-a2=2,则=,即|y0|=.所以|AB|=. 又△ABF2的面积为2, 所以=|AB|·|F1F2|=×2c×=2,即e==, 故双曲线C的离心率为. 故选D. (1)若可求得a,c,则直接利用e=得解; (2)若已知a,b,可直接利用e=得解; [例4] 已知F1(-c,0),F2(c,0)分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上的一点且满足 ·=-c2,则此双曲线离心率的取值范围为(　　) A.[2,+∞) B.[,+∞) C.[,+∞) D.[,+∞) 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,因为·=-c2,即|PF1||PF2|cos<,>=-c2, 所以|PF1||PF2|=-c2,可得|PF1|2+|PF2|2-4c2=-c2, 即m2+n2-4c2=-c2,即m2+n2=3c2, 又||PF1|-|PF2||=2a,即m2+n2-2mn=4a2, 又|PF1|+|PF2|=m+n≥2c,即m2+n2+2mn≥4c2,所以2(m2+n2)≥4c2+4a2, 即6c2≥4c2+4a2,即c2≥2a2,可得e2≥2,所以e≥,即e∈[,+∞). 故选C. 即时训练4-1:已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且右顶点到渐近线的距离与到直线 x=距离的比值大于2,则双曲线的离心率的取值范围为(　　) A. (1,) B.(1,) C.(1,2) D. (1,) 解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且右顶点(a,0)到渐近线bx+ay=0的距离与到直线x=距离的比值大于2, 可得÷(a-)>2,即>2, 所以>4, 即>4, 解得e∈(1,).故选A. 解:(1)联立方程组消去y并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 因为直线与双曲线有两个不同的交点,则满足条件 解得-<k<,且k≠±1. 所以若l与C有两个不同交点,实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). 解: (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 对于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0, 由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-, 所以|AB|=|x1-x2|=·=. (2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值. 又因为点O(0,0)到直线y=kx-1的距离d=, 所以S△AOB=·|AB|·d==, 即2k4-3k2=0. 解得k=0或k=±. 所以实数k的值为±或0. 解:由消去y得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程化为2x=5, 故此时方程(*)只有一个实数解, 即直线l与双曲线相交,且只有一个公共点. 当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 当即-<k<,且k≠±1时, 方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个公共点. 当即k=±时, 方程(*)有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有一个公共点. 当即k<-或k>时,方程(*)无实数解,即直线l与双曲线无公共点.综上所述, (1)当-<k<-1或-1<k<1或1<k<时,直线l与双曲线有两个公共点. 解:(2)当k=±1或k=±时,直线l与双曲线有且只有一个公共点. 解:(3)当k<-或k>时,直线l与双曲线没有公共点. (1)直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决. 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程,x=-,直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线). (2)双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=|x1-x2|=·. 或|AB|=|y1-y2|=·. A.2 B.2 C.4 D.4 解析:双曲线的标准方程为-=1, 所以a2=4,所以2a=4.故选C. 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,离心率为 ,则双曲线的标准方程为(　 　) A.-=1 B.x2-=1 C.-=1 D.x2-=1 解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,所以a=2, 由离心率为,可得=,c=2, 所以b===4, 则双曲线的标准方程为-=1. 故选A. 3.已知F(2,0)是双曲线-=1的右焦点,则双曲线的渐近线方程为　　　 . 解析:根据题意,双曲线-=1的右焦点为F(2,0),即c=2, 则有c2=2m+2=4,解得m=1, 则双曲线-=1, 则此双曲线的渐近线方程为y=±x. 解析:双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x有交点,可得>, 可得b2>3a2,可得c2>4a2, 所以e2>4, 因为e>1,所以e>2. 所以双曲线的离心率e的取值范围为(2,+∞). 4.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线 y=x有交点,则离心率e的取值范围为 　　　　　.  $