2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的五种位置关系，涵盖判定方法、公共弦、公切线及圆系方程等核心内容，通过关联直线与圆位置关系导入，结合思维导图梳理知识脉络，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用基础、中档、拔高分层训练，融入高考真题与新考法题型，通过几何法与代数法判定位置关系培养逻辑推理，公共弦长求解强化直观想象，助力学生提升数学思维，教师可实现一体化教学。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 本节理解圆与圆的五种位置关系，掌握利用两圆圆心距和两圆半径的数量关系判定位置关系的方法，会求解两圆公共弦问题，发展数形结合与逻辑推理素养 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括106张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 圆与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 外切 内切 外离 内含 图示 交点个数 2 1 1 0 0 判定方法 几何 法 代数 法 4 说明为两圆的圆心距,,分别为两圆半径, 为联立两圆方程消去一个未知 数后的一元二次方程的根的判别式. 特别提醒 （1）当时，两圆不会出现内切或内含的情况.若两圆的圆心距 且 ，则两圆重合. （2）利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或只有一解时往往还得重新用 几何法来进一步确定，不如直接运用几何法简便，并且用几何法判断的结果是唯一 的，因此实际解题时要优先选用几何法. 说明 用代数法得到方程组无解或只有一组解时，也可以将其中一个圆的圆心 坐标代入另一个圆的方程中，通过判断此圆心在另一圆的圆内还是圆外，从而得到 两圆确切的位置关系. 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P98练习T1](2026·天津市西青区期中)已知圆 与圆 ，则圆与 的位置关系是( ) B A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 图2.5.2-1 【解析】 （几何直观） 画出两圆，如图2.5.2-1所示，由 图可直观得出两圆外离. （几何法） 圆的半径，圆的半径 ，且 两圆的圆心距，即 ， 故两圆外离. 6 （代数法） 将两圆的方程联立， 得到方程组 消去,，得，将其代入圆的方程中，消去得 ， 所以 ，所以方程无实数解. 因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离. 7 释疑惑 重难拓展 知识点2 两圆的公共弦 当两个圆相交时，两个交点的连线的线段叫公共弦. 1 两圆公共弦所在直线的方程 设圆 ①， 圆 ②， 若两圆相交，则它们有一条公共弦，由 ，得 ③，此即为公共弦所在的直线方程. （只有当两圆方程中二次项系数相同时，才可以直接用两圆方程相减求公共弦 所在直线方程） 8 2 两圆公共弦长的求法 （1）代数法 求出公共弦所在直线方程，将公共弦所在直线方程与其中一圆的方程联立消元， 解出两交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出公共弦长. （2）几何法 将两圆的方程作差，消去二次项得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的 圆心和半径，求得该圆心到公共弦所在直线的距离，即弦心距，在弦心距、弦长的 一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦长的一半，进而得到公 共弦长. 9 学思用·典例详解 例2-2 ［教材改编P98 T9]求圆 与圆 的公共弦长. 【解析】将两圆方程相减并化简得 ，此即两圆公共弦所在直线的方程. （代数法） 设两圆相交于， 两点， 解 得或 所以，即公共弦长为 . 10 （几何法） 由圆的方程可得圆的圆心坐标为，半径 ， 圆心到公共弦的距离 .则公共弦长为 . 11 知识点3 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 1 两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公切线条数 4 3 2 1 0 图示 12 2 两圆公切线方程的确定 ①当公切线的斜率存在时，可设公切线的方程为 ，由公切线的意义 （两圆公共的切线）可知，两圆心到直线 的距离分别等于两圆的半径， 这样得到关于和的方程组,解这个方程组得到, 的值，即可写出公切线的方程. ②当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线 的方程. ③两圆外（内）切时，两圆方程相减消去二次项得到的直线方程，是两圆的内 （外）公切线方程. 13 学思用·典例详解 例3-3 (2026·河南省南阳市期末)已知圆 和圆 ，两圆的公切线有( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【解析】圆的圆心为，半径 ； 圆的圆心为，半径 . 圆心距 , 两圆外切， （求公切线条数一定要先判断两圆位置关系） 两圆有3条公切线. 14 知识点4 圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程.常见的圆系 方程有以下几种. （1）同心圆系方程：,为定值，为参数 . （2）半径相等的圆系方程:,为参数，为定值 . （3）过直线与圆 的交点的圆系方 程: .#1.3 . . . . . . . . . . . . 15 （4）过两圆 与 的交点的圆系方程： .（其中不含 有圆 ） 当时，方程变为 ，表示过两圆的 交点的直线.（当两圆是同心圆时，此直线不存在;当两圆相交时，此直线为公共弦所 在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆外离或内含时，该直线满 足从直线上的任意点引两圆的切线所得切线长相等）#1.4.1 16 学思用·典例详解 例4-4 [教材改编P98 T8](2026·江苏省南京市期中)过两圆 与 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程为 ________________________. 【解析】设所求圆的方程为 ， 则 ， 把圆心坐标代入直线的方程:，可得 ， 故所求圆的方程为 . 17 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 圆与圆的位置关系 1 圆与圆的位置关系的判断 例5 (教材改编P96例5)已知两圆 ， ，判断圆与圆 的位置关系. 思路一 思路二 18 【解析】 （几何法） 把圆 的方程化为标准方程，得 ，则圆的圆心坐标为，半径 . 把圆的方程化为标准方程，得，则圆 的圆心坐标为 ，半径 . 圆与圆的圆心距 ， 又圆与圆的半径之和是，半径之差是 , 而，即 , 所以圆与圆 的位置关系是相交. 19 （代数法） 将两圆的方程联立得到方程组 由得 ③，由③得 ，把此式代入①，并整理得 ④， 方程④根的判别式 ， 所以方程④有两个不相等的实数根， 所以圆与圆 的位置关系是相交. 名师点评 方法2中由③可得，将此式代入①，并整理得 ， 同样也可以通过方程根的判别式来判断圆与圆 的位置关系. 20 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 （1）将两圆的方程化为标准方程（若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要）； （2）分别求出两圆的圆心坐标和半径, ; （3）求两圆的圆心距 ; （4）比较与, 的大小； （5）根据大小关系确定圆与圆的位置关系. 21 【学会了吗丨变式题】 1.(2026·河北省石家庄外国语学校月考)已知圆 截直线 所得线段的长度是.则圆与圆 的位置关系 是( ) B A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【解析】由题知圆 ， 圆心到直线的距离 ， 所以 ， 解得 . 圆,圆的圆心距，圆的半径,圆的半径 ,由 得两圆相交. 22 2 由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值 范围 例6 已知圆 ,圆 .问: 为何值时， （1）圆和圆 外切？ 【解析】若圆与圆 外切， 则 , 即,解得或 . 23 （2）圆与圆 内含? 【解析】若圆与圆 内含， 则 , 即,解得 . 【解析】把圆,圆的方程化为标准方程，得圆 ,圆 . 两圆圆心的坐标分别为, ,半径分别为3，2. 24 求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的 大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况. 25 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·福建省厦门实验中学期中)若圆 与圆 相切，则 等于( ) C A.16 B.7 C. 或16 D.7或16 【解析】圆的圆心的坐标为 ，半径为1；将圆 化为，则圆 是以 为圆心， 为半径的圆. 由题意，两个圆内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得 ，解得 ．两个圆外切时，两圆的圆心距等于半径之和，可 得，解得 . 综上，的值为或 26 3 由圆与圆的位置关系求圆的方程 例7 求与圆外切且与直线相切于点的圆 的 方程. 【解析】设所求圆的方程为，则圆 的圆心为 ，易知圆的圆心坐标为 ，半径为1，依题意，得 , , （直线与已知切线垂直，斜率之积为 ） , . . 27 解得或 所以所求圆的方程为或 . 28 1.在求圆的方程时，应当注意以下几点： （1）明确圆的方程是标准方程还是一般方程； （2）根据几何关系建立方程（组）求得,,或，， ； （3）在应用待定系数法时要尽量减少未知量的个数. 2.处理两圆相切问题时，首先,必须准确把握是内切还是外切，若题中只是告诉两圆 相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两 圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 29 【学会了吗丨变式题】 3.新考法 开放探究(2026·重庆市复旦中学期中)已知圆 ，试 写出一个半径为1，且与轴和圆 都相切的圆的标准方程： ______________________________________. （答案不唯一） 图D 2.5.2-1 【解析】如图D 2.5.2-1所示，圆的圆心为 ，半径为2. 所求圆半径为1且与 轴相切，故所求圆圆心的横坐标为1或 ，满足题意的圆共有四个. 设与圆内切的圆的圆心 ,则 ,解得 , 故圆的标准方程为 . 设与圆外切的圆的圆心 ,则 30 ,解得 , 故圆的标准方程为 . 现计算圆心横坐标为1且与圆 外切的两个圆的方程. 设圆心，则 , 整理得,解得 . 由对称性可知，的两解即, 的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个， , , , ,选择其中一个即可. 题型2 两圆的公共弦问题 例8 (2026·江苏省连云港市新海高级中学检测)若圆 和圆 的交点为， ，则下列结论正确的是( ) D A.公共弦所在直线的方程为 B.线段的垂直平分线的方程为 C.公共弦的长为 D.为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 32 【解析】对于A，由题意知，两圆相交于， 两点，故两圆方程作差可得 ，即，即为两圆公共弦 所在直线方程，故A错误； 对于B，圆，则其圆心为，又，则线段 的垂直 平分线的斜率为，故线段的垂直平分线的方程为 ，即 ，故B错误； 对于C，圆心到直线的距离,圆半径 ， 所以 ，故C错误； 对于D，点到直线的距离的最大值为 ，故D正确. 33 名师点评 两圆相交，过两圆圆心的直线垂直平分两圆的公共弦，并且该直线是两圆 的公共对称轴.对于本题B选项，也可以求出两圆圆心，利用两点式求出 的垂直平 分线方程. 34 例9 若圆与圆的公共弦长为，则 的值 为___. 1 【解析】由题意知，圆与圆 的公共弦所在的直线 的方程为 , 而的圆心到的距离为 ,所以 , 结合得 . 35 求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆公 共弦所在直线的方程，再利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”求解. 36 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·湖南省长沙市期中)相交的两圆 和 的公共弦所在的直线方程为___________,以公共弦为 直径的圆的方程为 _ ____________________. 【解析】 圆的方程为 ①. 圆的方程为 ②. 得两圆公共弦所在直线的方程为 . 由解得 37 令, ， 设的中点为，则 ， 又,所以以公共弦 为直径的圆的方程为 . 38 题型3 两圆的公切线问题 1 两圆公切线的条数问题 例10 (2026·辽宁省沈阳市期中)若圆 与圆 恰有2条公切线，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】圆 , 圆 , 则，， ， 两圆恰有2条公切线， 圆与圆 相交， ， 解得，的取值范围为 . 39 例11 在平面直角坐标系中,点和点到直线 的距离分别为1和2,则符合条 件的直线 的条数为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 图2.5.2-2 【解析】到点距离为1的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆， 到点距离为2的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，因此将 点到直线的距离问题转化为圆的切线问题,如图2.5.2-2， ,两圆外离,满足要求的公切线有4 条. 40 判断两圆公切线的条数的基本思路 先判断两圆的位置关系，再由位置关系确定公切线的条数：（1）两圆内切时，有1 条公切线；（2）两圆外切时，有3条公切线；（3）两圆相交时，有2条公切线；（4） 两圆内含时，无公切线；（5）两圆外离时，有4条公切线. 41 2 求两圆公切线的方程 例12 求圆与 的公切线的方程． 【解析】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为 ，半径 ， 所以 ， 所以圆与圆 相离，所以有4条公切线， 42 图2.5.2-3 如图2.5.2-3所示. 当公切线的斜率不存在时，直线 是两圆的一条公 切线. 当公切线的斜率存在时，设公切线方程为 ， 到直线的距离为 ， 到直线的距离为 ， 所以 ， 所以或，整理得 或 . 43 当时， ，解得 ，公切线方程为 ； 当时， ， 所以 ， 所以，所以或 ， 当时,，公切线方程为 ， 当时,，公切线方程为 . 综上，公切线的方程为或或或 . 在求两圆的公切线时,首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止 漏解；其次，要判断公切线的斜率不存在时是否符合题意;然后设公切线的斜率存在 时公切线方程为 ,利用两个圆的圆心到公切线的距离等于相应的半径,得到 关于,的方程组，求出, 的值,即可得到公切线的方程. 45 【学会了吗丨变式题】 5.[多选题](2026·河北省承德市高新区一中月考)已知圆 ， 圆，则下列是， 两圆公切线的方程的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】已知圆，圆 ，则圆 的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 ． 易得圆心距 ， 46 图D 2.5.2-2 则两圆相离，即两圆有四条公切线，如图D 2.5.2-2, 又两圆关于原点对称，则有两条公切线过原点 . 设公切线方程为,则圆心到直线 的距离为 ，解得或 ， 即对应的两条公切线方程分别为 ， ． 另两条公切线与直线平行，又直线 的方程为 ， 所以可设另两条公切线的方程为 ， 47 则，解得 ， 即另两条公切线方程为， . 故选 ． 3 求两圆“公切线长” 例13 已知与，若直线与， 分 别切于相异的，两点，则 ___. 4 【解析】的圆心，半径 ， 的圆心，半径 ， 因为，所以与外切，当直线的斜率不存在时，直线 与 ， 切于相同的点，不符合要求， 显然直线 的斜率存在且不为0，根据对称性， 49 图2.5.2-4 不妨设直线的斜率为 ，如图2.5.2-4所示， 连接，，过作，垂足为 ， 可知四边形为矩形，且 ， ， 在中，,可得 , 所以 . 50 求两圆的“公切线长（两个切点间的距离）”的步骤 （1）判断两圆的位置关系，进而画出图形； （2）作出公切线,连接切点与圆心,出现垂直关系； （3）构造直角三角形，利用勾股定理求公切线长. . . 51 题型4 与两圆位置关系有关的最值问题 例14 已知点在圆上，点 在圆 上，则 的最大值是____. 10 【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径， 圆上，其圆心为，半径 ，则 ， 则的最大值为 . 52 例15 (2026·河北省石家庄市期中)已知点是圆上任意一点，点 ， 点，点满足，则 的最小值为___. 2 【解析】设，由 可得， ， 化简得，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为 ，半径为2. 又点在圆上，两圆的圆心距为 ，所以两圆外离， 故的最小值为 . 名师点评 动点到两定点的距离的平方和为定值，则动点的轨迹是圆.针对这类问题， 在本章末专题中有对“隐圆问题”的系统性复习总结. 53 两圆相离时的最值结论 两圆相离分为外离和内含，要先判断出两圆的位置关系.设圆,圆 的半径分别为 ,不妨设,,分别是圆,圆 上两个动点， 则当两圆外离时，的最大值为，的最小值为 . 当两圆内含时，的最大值为,的最小值为 . 54 【学会了吗丨变式题】 6.新考法 数学文化(2026·广东省茂名市期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿 基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠.他研究发现：如果一个动点 到 两个定点的距离之比为常数，且，那么点 的轨迹为圆，这就是著名 的阿波罗尼斯圆.若点到,的距离比为，则点 到圆 上的点的距离最大值是__________. 55 【解析】设点， ， ， 整理得 ， 点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆. 圆的标准方程为 ， 圆的圆心为，半径为 ， ， 点到圆的距离的最大值为 . 56 新考法 思维创新 例16 新定义 对称距离已知点，，定义 为 ，的“对称距离”．若点，在圆上，则， 的“对称距离” 的最小值为( ) D A.2 B. C. D. 图2.5.2-5 【解析】点， 的“对称距离” ，相当于点关于直线 的对称点与点 的距离,如图2.5.2-5所示， 设圆关于直线的对称圆为圆 , 所以当点，在圆上时，点在圆 上. 57 又圆心到直线的距离 ，所以圆与直线相离，从而圆与圆 外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为圆上的点与圆上的点 的距离的最小值， 也即点到直线 的距离的最小值的两倍. 因为点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即 ， 所以所求最小值为 ． 素养提升 本题将新定义“对称距离”转化为两圆上的点的距离，较好地考查了转化思 想和数形结合思想方法的运用,考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等学科 核心素养. 58 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及两圆的公共弦长、公切线等问题,有时会结 合其中的几何关系或其他知识综合考查.若单独考查，以选择、填空为主，难度中等， 若结合其他知识考查，则题型为解答题，难度为中等偏难. 核心素养：数学运算（公共弦长的求解），直观想象（由圆的方程作图），逻辑推 理（圆与圆位置关系的推断）. 59 考向1 两圆的公共弦问题 例17 (全国Ⅰ卷)已知,直线,为 上 的动点.过点作的切线，，切点为,,当最小时，直线 的方 程为( ) D A. B. C. D. 【解析】由 ①， 得，所以圆心 ． 60 图2.5.2-6 如图2.5.2-6，连接,,易知四边形 的面积为 ， 欲使最小，只需四边形 的面积最小，即只需 的面积最小. 因为，所以只需 最小． 又 ， 所以只需直线上的动点到 的距离最小，其最小 值为，此时 , 61 易求出此时直线的方程为 . 由得 所以 . 易知，，， 四点共圆， 所以以为直径的圆的方程为，即 ②， 得，直线的方程为 ． 62 考向2 两圆的公切线问题 例18 (2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆和 都相切 的一条直线的方程________________________________________________. （或或） 图2.5.2-7 【解析】 （通性通法） 如图2.5.2-7，因为圆 的圆心为，半径 ，圆 的圆心为，半径 ， 63 所以,，所以 ， 所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线的方程为 . ②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称.易知过两圆圆心的直线 的 方程为，由得由对称性可知公切线过点 ，设公切 线的方程为，则点到 的距离为1， 所以，解得 ， 所以公切线的方程为，即 . 64 ③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为 ， 易知，则点到 的距离为1， 所以 ， 解得或 （舍去）， 所以公切线的方程为，即 . 综上，所求直线方程为或或 . （几何直观） 根据几何直观求解.由圆心和半径的关系可知， 既是 圆的切线，也是圆的切线，故 为所求. （画出比较规范的草图也可从图形中直观得出结论） 65 高考新题型专练 1.[多选题](2026·山东省菏泽市期中)已知两圆方程为 与 ，则下列说法正确的是( ) AB A.若两圆外切，则 B.若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C.若两圆的公共弦长为，则 D.若两圆在交点处的切线互相垂直，则 66 【解析】根据题意，圆的圆心为 ，半径为2，圆 的圆心为，半径为 ,两圆的圆心距 . 对于A，若两圆外切，则，则 ，A正确. 对于B，两式相减可得 ，若两圆公共 弦所在的直线方程为，即，则有 ，则 ，B正确. 67 对于C，若两圆的公共弦长为，则圆的圆心 到 的距离为1，可得，可得或 ， 易知两圆相交,，则或 都满足题意，故C 错误. 对于D，若两圆在交点处的切线互相垂直，则有，则 ，D不正确. 故选 ． 68 2.新考法 结构不良已知圆满足____，圆 ． ①圆心在直线上,且过点, ; ②圆心在轴上，半径为，且圆关于直线 对称. 在①②这两个条件中任选一个，填在横线上，并解答下列问题： 69 （1）求圆 的标准方程； 【答案】选①. 设圆心 ， 则，解得 ， 此时圆的半径为 ， 所以圆的方程为 . 选②. 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，又圆心在 轴上，所 以圆心为，又半径为 ， 所以圆的方程为 . 70 （2）求圆与圆 的公共弦长； 【答案】由（1）知圆 ，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ,化简得 ， 圆的圆心到直线的距离 ， 所以所求公共弦长为 ． 71 （3）求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程． 【答案】设过两圆的交点的圆的方程为 ， ， 即， . 由圆心在直线 上， 得，解得 ， 所以所求圆的方程为 ． 72 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.若圆与圆相交，则 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】分别将两圆的方程化为标准方程，得 ， ，两圆圆心距 .由两圆相交，得 ，解得 . 73 2.(2026·安徽省合肥市期中)圆与圆 的公共弦所在直 线的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】两圆方程相减，消去二次项得 ,此即两圆公共弦所在直线的方程. 74 3.已知半径为6的圆与轴相切，且与圆 内切，则此圆的方程是 ( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】由题意，可设圆的方程为 ，由两圆内切，得 ，所以，所以 ，故所求圆的方程是 或 . 75 4.(2026·山西省大同市期中)已知圆的标准方程是 ，圆 关于直线对称，则圆与圆 的 公切线的条数为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 76 【解析】圆的圆心为 ， 圆关于直线 对称， （圆心在直线上），解得 ， 圆 . 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 ， ， 圆与圆 的位置关系为外离， 圆与圆 的公切线的条数为4． . . 77 5.[多选题](2026·吉林省长春市第二中学期中)已知圆 和圆 相交于， 两点，则下列说法正确的是( ) ABD A.两圆有两条公切线 B.直线的方程为 C.线段的长为 D.若圆上有一点，圆上有一点，的最大值为 78 【解析】根据题意，圆，其圆心为 ，半径为2， 圆，即，其圆心为 ，半 径为1， 因为圆和圆相交于， 两点，所以有 两条公切线，故A正确. 联立圆和圆的方程，消去二次项，可得直线的方程为 ，即 ，故B正确. 圆心到直线的距离为，则线段的长为 ，所 以C不正确. 的最大值为圆心距加上两圆半径，即 ， 所以D正确.故选 . 79 6.圆与圆 的公切线长 为_____. 图D 2.5.2-1 【解析】由圆 ，可得圆 心，半径 ，由圆 ，可得圆心 ，半 径，圆心距 . 由 ，可得两圆相交，如图D 2.5.2-1. 设其中一条公切线切圆、圆的切点分别为， ， 则四边形是矩形，可得公切线长 . 80 7.(2026·安徽省安庆市第一中学期中)圆心在直线 上，且经过圆 与圆 的交点的圆的方程为 _________________________________________________________. （或） 【解析】设所求圆的方程为,其中 , 化简可得,圆心坐标为 . 又圆心在直线 上, 所以，解得 , 所以所求圆的方程为 . 81 8.(2026·江苏省无锡市湖滨中学期中)已知圆 和 ． （1）取何值时与 内切？ 【答案】圆,即 ，可得圆心 为，半径 ． 圆，即 ,可得圆心 为，半径 ． 若两圆与内切，因为圆的半径 小于两圆圆心距 ，故 ，解得 ． 82 （2）求 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】圆与圆 的方程相减可得 ， 所以时两圆的公共弦所在直线的方程为 ，即 ， 圆心到直线的距离 ，则公共弦的长 ． 83 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.已知两点,以及圆，若圆 上存在 点,满足，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】圆的圆心坐标为,半径为,由知点在以线段 为直径的 圆上，其圆心为,半径为1,该圆与已知圆 的圆心距 .由条件知两圆有公共点，则 ,解得 ,故选D. 84 10.(2026·重庆市第一中学校月考)已知圆 ，圆 ．若圆上存在点，过点作圆 的两条切线，切点 为，，使得 ，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 85 【解析】如图D 2.5.2-2，圆的半径为1，圆上存在点 ， 图D 2.5.2-2 若过点作圆的两条切线，切点为,，使得 ，则 . 在中， ， 86 又圆的半径等于1，圆心坐标 ， ， 所以由 （【释疑惑】利用了两边之差小 于第三边，两边之和大于第三边，当且仅当,, 三点共线时，等号成立）， 解得，则的取值范围为 . . . 87 11.[多选题](2026·江苏省启东中学月考)曲线 是一条形状 优美的曲线，则( ) ABC A.曲线上两点间距离的最大值为 B.若点在曲线内部（不含边界），则 C.若曲线与直线有公共点，则 D.若曲线与圆有公共点，则 88 【解析】当,时,均含绝对值，因此要分情况去掉绝对值符号 ， ， 曲线是圆心为，半径 的圆的一部分， 当,时，，曲线是圆心为 ，半径 的圆的一部分， 当,时，，曲线是圆心为 ，半径 的圆的一部分， 当,时，，曲线是圆心为 ，半径 的圆的一部分， . . 89 图D 2.5.2-3 作出曲线 如图D 2.5.2-3所示. 对于A，连接，曲线在第一象限内的点到原点 的距离的最 大值为，根据对称性，可得曲线 上两点间距离 的最大值为 ，故A正确； 对于B，因为点在曲线内部，所以点 在圆 的内部，因此 ， 解得，即 ，故B正确； 90 对于C，由曲线的图形知,若曲线与直线有公共点，则点 到直线 的距离或点到直线的距离，因此 或，解得或，所以 ，故C正确； 对于D，由曲线与坐标轴的交点为 ， ，当圆过点，时， 最小，最小值为，由曲线的图形及选项A知,若曲线 与圆 有公共点，则，故D错误.故选 . 91 图2.5.2-1 12.(2026·广东省广州外国语学校期中)如图2.5.2-1所示的图案是 借两个圆设计而成，阴影部分如同月亮.已知圆 ， ，其中 ,为圆与圆的交点，若弦将圆 分为长度 之比为 的两段弧，则组成“月亮”的两段弧长之比为_ ___． （请写出长度较短的弧与长度较长的弧的长度之比） 92 【解析】两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程为 . 又易知圆的圆心为，半径 ； 圆的圆心为，半径 . 由弦将圆分为长度之比为的两段弧可知 ， 因此圆心到直线的距离为 ，即 ，解得或，又，即 . 93 此时在弦所在直线上，所以线段为圆 的直径. 易知， ， 所以截得的圆的弧长为 ，截得的圆 的弧长（此处为较长的弧的长 度）为 ， 组成“月亮”的两段弧长之比为 . . . 94 13.新考法 结构不良 (2026·广西师范大学附属中学质检)已知圆的圆心为 ， 且圆 ____．在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并解答下列问题. ①与直线 相切； ②与圆 外切； ③经过直线与直线 的交点． （1）求圆 的方程. 【答案】设圆的半径为 , 若选条件①，圆与直线 相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径，即 ， 所以圆的方程为 ； 95 若选条件②，圆与圆外切，圆的圆心为 ，半径 为2， 所以，所以 ， 所以圆的方程为 ； 若选条件③，圆经过直线与直线 的交点， 由得所以 ， 所以圆的方程为 . 96 （2）若圆，是否存在实数,使得圆与圆 公共弦 的长度为2？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】圆的圆心为，半径为 ,两个圆有 公共弦，则 ， 即，解得 ， 由 得两圆公共弦所在直线方程为 ， 又两圆的公共弦长为2，设圆心到公共弦所在直线的距离为，则 ,即 . 97 圆心到公共弦所在直线的距离为，即 . 解得，又，所以 ,经检验符合题意， 故存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2． 14.(2026·河北省邯郸市五校期中)已知圆，半径为1的圆 的圆心在第二象限，且圆 与两条坐标轴均相切. （1）求圆 的标准方程； 【答案】由圆与两条坐标轴均相切，且圆 的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为 ， 故圆的标准方程为 . 99 （2）求圆和圆 的公切线的方程； 【答案】圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为 ，半径为1， 则 ， 因为，所以圆和圆外离,则圆和圆 共有4条公切线. 图D 2.5.2-4 在平面直角坐标系中画出圆和圆 ，如图D 2.5.2-4所示， 可知轴和轴与圆和圆 均相切， 直线的方程为 ，即 ， 可得直线与轴的交点为 . 设直线的倾斜角为 ， 100 则，所以 ， 因为直线为过圆外一点的圆的两条切线的夹角的角平分线，所以圆和圆 的 另一条公切线的斜率为 ， 则另一条公切线的方程为，即 . 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆 的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，即 ， 则（点到直线 的距离为1），解得 . . . 所以另一条公切线方程为，即 ， 故圆和圆的公切线的方程为或或或 . （3）过点的直线与圆交于，两点，与圆交于， 两点，证明： . 图D 2.5.2-5 【答案】如图D 2.5.2-5,设过点的直线 的方程为 ，即 ， 点到直线的距离为 ， 点到直线的距离为 ， 则 . 因为 ， ，所以 . 103 C 培优练丨能力提升 15.(2026·江苏省无锡市怀仁中学月考) 与 相交于点，线段是圆 的一条动 弦，且，则 的最大值为( ) B A. B. C. D. 104 【解析】依题意得圆的圆心为，半径 ， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即 ， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点坐标为 ， ， 故点的轨迹为圆，但是不包括点（因为直线 斜率 一定存在且直线斜率不为0，所以交点的坐标不可能为 ）. . . 105 图D 2.5.2-6 如图D 2.5.2-6，设弦的中点为，则 ， 连接，,由 ，易知 ， 故点在以 为圆心，半径为1的圆上， ， 当最大时，,,, 四点共线， 即 , 所以 . 106 $