2.5.2　圆与圆的位置关系 课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，系统讲解几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的情况）判定方法，通过直线与圆位置关系复习导入，构建知识衔接支架，助力学生形成完整知识脉络。 其亮点在于设置AI思考辨析引导探究公切线条数等问题，结合高考真题和教材例题，以几何法与代数法对比培养数学思维，规律方法总结提升解题能力。帮助学生发展推理意识与应用意识，教师可依托分层训练高效开展教学。

第二章　直线和圆的方程 2.5.2　圆与圆的位置关系 学 习 目 标 1.能描述圆与圆的位置关系. 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　圆与圆的位置关系的判定方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           d与r1,r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 1.几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=(r2>0),两圆的圆心距d=|O1O2|=,则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 圆O1与圆O2相交时,两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 2.代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),圆O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0),两圆的方程联立得方程组,则有 AI·思考辨析 1.两圆在不同的位置关系下,公切线的条数分别是多少?可以用公切线的条数来判断两圆的位置关系吗? 提示 两圆位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 两圆公切线条数 4 3 2 1 0 因为两圆的位置关系与两圆的公切线的条数具有一一对应关系,所以可以用公切线的条数来判断两圆的位置关系. 2.当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质? 提示 当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线. 体验新知 1.(2025江苏扬州高二期末)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+6x+8y-24=0的位置关系为(　　) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 B 解析 圆C2:x2+y2+6x+8y-24=0⇒(x+3)2+(y+4)2=49, 故圆C2的圆心为C2(-3,-4),半径r2=7,圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2. 易知r2-r1=5=|C1C2|=,故两圆内切.故选B. 2.(人教B版教材例题)判断圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1的位置关系,如果相交,求出它们交点所在的直线的方程. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　判断两圆的位置关系 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系满足下列条件: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 思路分析 求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值. 解 圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含. 变式训练1 (人教B版教材习题)已知圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,求实数a的值. 能力提升点二　两圆的公共弦问题 【例2】 (2026辽宁高二期中)已知两圆x2+y2-2x-6y+6=0和x2+y2-10x-12y +m=0. (1)m取何值时两圆内切? (2)当m=36时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 (1)设圆M:x2+y2-2x-6y+6=0,可化为(x-1)2+(y-3)2=4,则圆心M(1,3),半径r1=2, 设圆N:x2+y2-10x-12y+m=0,可化为(x-5)2+(y-6)2=61-m,则圆心N(5,6),半径r2=(m<61), 由于圆心距|MN|=5,r1<5,则要使得两圆内切,需r2-r1=5,即-2=5,解得m=12. (2)当m=36时,圆N:x2+y2-10x-12y+36=0, 两圆的方程相减,可得8x+6y-30=0,即4x+3y-15=0,则两圆的公共弦方程为4x+3y-15=0. 圆心M(1,3)到公共弦的距离d=, 由弦长公式,可得弦长为2×. 变式训练2　(2026江苏高二期中)已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+4=0与圆C相切. (1)求圆C的方程; (2)若点Q的坐标为(-2,4),过点Q作圆C的两条切线,切点分别为M,N,求直线MN的方程. 解 (1)设圆心C(a,0),a>0,又直线3x-4y+4=0与圆C相切,所以=2, 整理得|3a+4|=10,解得a=2或a=-(舍去),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4. (2)因为点Q的坐标为(-2,4),圆心C(2,0),所以|CQ|==4, 又过点Q作圆C的两条切线,切点分别为M,N, 所以|QM|=|QN|==2. 以Q为圆心,|QM|为半径的圆Q的方程为(x+2)2+(y-4)2=28, 即x2+4x+y2-8y-8=0, 又圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2-4x+y2=0, 两圆方程相减得8x-8y-8=0,整理得x-y-1=0, 所以直线MN的方程为x-y-1=0. 能力提升点三　两圆位置关系的综合应用 【例3】 (2026江苏苏州期中)已知圆C1:(x-)2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=3. (1)判断并证明圆C1,圆C2的位置关系. (2)若两圆O1与O2相交于A,B两点,满足O1A⊥O2A,则称圆O1与圆O2正交.现有动圆M与圆C1,圆C2均正交,自点N(3,0)引动圆M的切线.求证:切线长是定值. (1)解 两圆内含. 证明:因为圆C1的圆心C1(,0),半径r1=1,圆C2的圆心C2(2,0),半径r2=, 圆心距|C1C2|=2--1,所以两圆内含. (2)证明 设动圆M的圆心M(x0,y0),半径为R,动圆M与圆C1交于A,B两点, 由题意有C1A⊥MA, 所以|MA|2+|C1A|2=|MC1|2,即R2+1=|MC1|2. 设动圆M与圆C2交于C,D两点, 同理可得|MD|2+|C2D|2=|MC2|2,即R2+3=|MC2|2. 故|MC2|2-|MC1|2=2, 则有(x0-2)2+-(x0-)2-=2,整理得x0=0,即圆心M(0,y0), 所以半径R=.自点N(3,0)引动圆M的切线,切线长l==2,所以切线长是定值2. 变式训练3 (多选题)圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B两点,则下列说法正确的有(　 　) A.直线AB的方程为4x-4y+5=0 C.圆C1与圆C2有两条公切线 D.线段AB的中垂线方程为x+y-2=0 ACD 解析 圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的方程相减可得直线AB的方程为4x-4y+5=0,故A正确; 圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心为C2(1,1),半径为1, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两圆的位置关系; (2)两圆的公共弦; (3)圆系方程; (4)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳:几何法、代数法. 3.常见误区:(1)容易将两圆内切和外切相混; (2)对各种圆系方程表示的含义不清晰. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.已知圆C1:x2+y2-2x+4y=4,圆C2:x2+y2+6x+8y+24=0,则圆C1,圆C2的位置关系为(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 D 解析 圆C1:x2+y2-2x+4y=4,化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为(1,-2),半径为r1=3; 圆C2:x2+y2+6x+8y+24=0,化为(x+3)2+(y+4)2=1,圆心为(-3,-4),半径为r2=1. 则圆C1与C2外离.故选D. 1 2 3 4 2.(多选题)圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值可以为(　　) A.2 B.-5 C.-2 D.5 AB 解析 圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3,圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2. 即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5. 1 2 3 4 3.已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线,则实数m的取值范围是　　 　　.  (,3) 解析 x2+y2-2x-4y-15=0,即(x-1)2+(y-2)2=20, 可知圆C2的圆心为(1,2),半径为2. 因为圆C1与圆C2恰有两条公切线,所以圆C1与圆C2相交, 则|2-m|<|C1C2|<2+m,即|2-m|<<2+m, 解得<m<3,即m的取值范围是(,3). 1 2 3 4 4.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+(y-a)2=9(a>0)外切,此时直线l:x+y-3=0被圆C2所截得的弦长为　　　　　.  2 解析 由题意可得a=2+3=5, 故圆C2:x2+(y-a)2=9(a>0)的圆心为C2(0,5),半径为3, 故圆心C2到直线l:x+y-3=0的距离为d=,故弦长为2×=2. 本 课 结 束 解 两圆的圆心距为, 又因为2-1<<2+1,所以C1与C2相交. 解方程组 可得 因此两圆的交点为(2,0),, 从而可以求得交点所在的直线方程为2x+y-4=0. ∴|C1C2|==a. 解 两圆的圆心距d=. 当两圆外切时,d==1+5=6,所以a=±2; 当两圆内切时,d==5-1=4,所以a=0. 综上,a=±2或0. B.公共弦AB的长为 则弦长|AB|=2×,故B错误; 因为两圆相交,所以圆C1与圆C2有两条公切线,故C正确; 由两圆相交可得AB的中垂线方程为C1C2:y-1=(x-1), 即x+y-2=0,故D正确.故选ACD. 两圆的圆心距为=2,r1+r2=4<2, 依题意有=3+2, $