2.5.2　圆与圆的位置关系 2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，涵盖位置种类、代数与几何判定方法，通过生活图形情境导入，引导学生从直观观察过渡到用方程研究，衔接直线与圆知识，构建学习支架。 其亮点在于“通性通法”总结与分层例题练习，结合逻辑推理（如几何法判定位置）、直观想象（情境图示）、数学运算（例1求圆心距判断相交），帮助学生提升思维与解题能力，教师可高效实施分层教学。

2.5.2　 圆与圆的位置关系 新课程标准解读 核心素养 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 逻辑推理、 直观想象 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用 代数方法处理几何问题的思想 直观想象、 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置 关系？ 【问题】　（1）圆与圆之间有几种位置关系？ 目录 数学·选择性必修第一册 （2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　圆与圆的位置关系 1. 种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 ⁠ 、 、 、 ⁠. 外离　 外 切　 相交　 内切　 内含　 目录 数学·选择性必修第一册 （1）代数法：通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行 判断. 一元二次方程 2. 判定方法 目录 数学·选择性必修第一册 （2）几何法：若两圆的半径分别为 r1， r2，圆心距为 d ，则两圆有 以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半 径的关系 图示 两圆外离 0 d ＞ ⁠ 两圆内含 d ＜ ⁠ ⁠ 两圆相交 2 ｜ r1－ r2｜＜ d ＜ r1＋ r2 r1＋ r2　 ｜ r1－ r2｜　 目录 数学·选择性必修第一册 位置关系 公共点个数 圆心距与半 径的关系 图示 两圆内切 1 d ＝ ⁠ ⁠ 两圆外切 d ＝ ⁠ ｜ r1－ r2｜　 r1＋ r2　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 　当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？ 提示：当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也 可能内含. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外 切. （　×　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交. （　×　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的 公共弦所在的直线方程. （　×　） × × × 目录 数学·选择性必修第一册 （4）过圆 O ： x2＋ y2＝ r2外一点 P （ x0， y0）作圆的两条切线，切 点为 A ， B ，则 O ， P ， A ， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 x ＋ y0 y ＝ r2. （　√　） √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 圆（ x ＋2）2＋（ y ＋2）2＝4与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝9的位置 关系为（　　） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 解析： 　两圆的圆心分别为（－2，－2），（2，1），半径分别 为 r ＝2， R ＝3，两圆的圆心距为 ＝5， 又5＝ R ＋ r ，所以两圆外切. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知两圆 x2＋ y2＝10和（ x －1）2＋（ y －3）2＝20相交于 A ， B 两 点，则直线 AB 的方程是 ⁠. 解析：圆的方程（ x －1）2＋（ y －3）2＝20可化为 x2＋ y2－2 x －6 y ＝10.又 x2＋ y2＝10，两式相减得2 x ＋6 y ＝0，即 x ＋3 y ＝0. 4. （2024·三明月考）若圆 C1： x2＋ y2＝4与圆 C2： x2＋ y2－2 ax ＋ a2 －1＝0内切，则 a ＝ ⁠. 解析：圆 C1的圆心为 C1（0，0），半径 r1＝2，圆 C2的方程可化为 （ x － a ）2＋ y2＝1，则圆 C2的圆心为 C2（ a ，0），半径 r2＝1，若 两圆内切，则｜ C1 C2｜＝ ＝2－1＝1，解得 a ＝±1. x ＋3 y ＝0　 ±1　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 角度1　两圆位置关系的判断 【例1】　（1） (2025高二上·江门期末) 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（　B　） 　题型一 圆与圆位置关系的判断 解析： 易知圆的圆心，，圆的标准方程为，圆心，半径，，，，满足，则两圆相交. A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 A 目录 数学·选择性必修第一册 （2）两圆 C1： x2＋（ y －3）2＝4与 C2：（ x －4）2＋ y2＝9的公切线 有（　C　） A. 1条 B. 2条 C C. 3条 D. 4条 解析：由圆 C1： x2＋（ y －3）2＝4，圆 C2：（ x －4）2＋ y2＝9， 可得圆心 C1（0，3）， r1＝2；圆心 C2（4，0）， r2＝3，所 以｜ C1 C2｜＝ ＝5＝ r1＋ r2，故两圆 外切，共有3条公切线，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 判断两圆位置关系的方法 （1）几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之 和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中 主要使用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程 组解的个数进而判断两圆位置关系. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　已知两圆位置关系求参数 【例2】　（2024·漳州月考）已知圆 C1： x2＋ y2－2 mx ＋4 y ＋ m2－5 ＝0，圆 C2： x2＋ y2＋2 x －2 my ＋ m2－3＝0.问： m 为何值时： （1）圆 C1与圆 C2外切？ （1）若圆 C1与圆 C2外切，则 ＝3＋ 2，即 m2＋3 m －10＝0，解得 m ＝－5或 m ＝2. 解：把圆 C1，圆 C2的方程化为标准方程，得圆 C1：（ x － m ）2 ＋（ y ＋2）2＝9，圆 C2：（ x ＋1）2＋（ y － m ）2＝4.两圆圆心 的坐标分别为（ m ，－2），（－1， m ），半径分别为3，2. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）圆 C1与圆 C2内含？ 解：若圆 C1与圆 C2内含，则 ＜3－ 2，即 m2＋3 m ＋2＜0，解得－2＜ m ＜－1. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　根据圆与圆的位置关系得出圆心距和半径的关系列出关系式，求 出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知两圆分别为圆 C1： x2＋ y2＝81和圆 C2： x2＋ y2－6 x －8 y ＋9＝ 0，这两圆的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 解析： 　圆 C1的圆心为 C1（0，0），半径长 r1＝9；圆 C2的方程 化为标准形式为（ x －3）2＋（ y －4）2＝42，圆心为 C2（3，4）， 半径长 r2＝4，所以｜ C1 C2｜＝ ＝5.因为 r1－ r2＝5，所以｜ C1 C2｜＝ r1－ r2，所以圆 C1和圆 C2内切. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·滨州月考）若圆 x2＋ y2＝ r2与 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋4＝0有公共 点，则 r 的取值范围是 　 . [ －1， ＋1] 解析：由 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋4＝0得（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝1，两 圆圆心之间的距离为 ＝ .因为两圆有公共点，所 以｜ r －1｜≤ ≤ r ＋1，所以 －1≤ r ≤ ＋1. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 两圆相切问题 【例3】　（1）以（3，－4）为圆心，且与圆 x2＋ y2＝64内切的圆的 方程为 ⁠ ⁠； 解析： 设所求圆的半径为 r ，则 ＝｜8－r ｜，∴ r ＝3或 r ＝13，故所求圆的方程为（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝9或（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝169. （2）与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切且与直线 x ＋ y ＝0相切于点 M （3， － ）的圆的方程为 　（ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2 ⁠. （ x －3）2＋（ y ＋4）2＝9或（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝ 169　 （ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2 ＝36　 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 设所求圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0），∵所求圆与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，且圆 x2＋ y2－2 x ＝0 的圆心为（1，0），半径为1，∴ ＝ r ＋1①.又 所求圆与直线 x ＋ y ＝0相切于点 M （3，－ ＝ ②，且 ＝ r ③.由①②③得 a ＝4， b ＝0， r ＝2或 a ＝0， b ＝－4 ， r ＝6.故所求圆的方程为（ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2＝36. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 处理两圆相切问题的步骤 （1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则 必须考虑两圆内切还是外切； （2）转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆 半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　求与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，圆心在 x 轴上，且过点（3，－ ）的 圆的方程. 解：因为所求圆的圆心在 x 轴上，所以可设圆心坐标为（ a ，0），半 径为 r ，则所求圆的方程为（ x － a ）2＋ y2＝ r2，又因为所求圆与圆 x2 ＋ y2－2 x ＝0外切，且过点（3，－所以所求圆的方程为（ x －4）2＋ y2＝4. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 两圆相交问题 【例4】　求圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2： x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0的公共 弦所在直线被圆 C3：（ x －1）2＋（ y －1）2＝ 所截得的弦长. 目录 数学·选择性必修第一册 解：由题意将圆 C1与圆 C2的方程相减，可得圆 C1和圆 C2公共弦所在 的直线 l 的方程为 x ＋ y －1＝0，对于圆 C3：（ x －1）2＋（ y －1）2＝ ，该圆的圆心到直线 x ＋ y －1＝0的距离为 d ＝ ＝ ，由 条件知 r2－ d2＝ － ＝ ，所以所求弦长为2× ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 1. 两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（ D1－ D2） x ＋ （ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的 距离公式求出弦长； （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦 长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　已知圆 O1： x2＋ y2＝4与圆 O2： x2＋ y2＋6 x ＝0相交于 A ， B 两点， 则四边形 AO1 BO2的面积是（　　） 解析： 　将两圆方程相减，得直线 AB 的方程为6 x ＝－4，即 x ＝－ ，所以｜ AB ｜＝2 ＝ .因为｜ O1 O2｜＝3，所以四边形 AO1 BO2的面积是 S ＝ ｜ AB ｜·｜ O1 O2｜＝4 . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知圆 C1： x2＋ y2＋2 x ＋8 y －8＝0，圆 C2：（ x －5）2＋（ y －4） 2＝25，则圆 C1与圆 C2的位置关系为（　　） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 解析： 　圆 C1： x2＋ y2＋2 x ＋8 y －8＝0化为标准方程为（ x ＋1） 2＋（ y ＋4）2＝25，∴圆 C1的圆心为（－1，－4），半径为5.又圆 C2的圆心为（5，4），半径为5，∴两圆的圆心距为 ＝10＝5＋5，∴两圆外切.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·温州月考）圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2：（ x －3）2＋（ y ＋ 4）2＝ m2（ m ＞0）内切，则实数 m 的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 　 C1： x2＋ y2＝1， C2：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝ m2（ m ＞0），所以 C1（0，0）， r1＝1， C2（3，－4）， r2＝ m .因为圆 C1 与圆 C2内切，所以｜ C1 C2｜＝｜ r1－ r2｜，即5＝｜1－ m ｜，因为 m ＞0，所以 m ＝6.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 半径为6的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋（ y －3）2＝1内切，则此圆的 方程是（　　） A. （ x －4）2＋（ y －6）2＝6 B. （ x ＋4）2＋（ y －6）2＝6或（ x －4）2＋（ y －6）2＝6 C. （ x －4）2＋（ y －6）2＝36 D. （ x ＋4）2＋（ y －6）2＝36或（ x －4）2＋（ y －6）2＝36 解析： 　由题意可设圆的方程为（ x － a ）2＋（ y －6）2＝36，由 题意，得 ＝5，所以 a2＝16，所以 a ＝±4.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知圆 M ： x2＋ y2－2 ay ＝0（ a ＞0）截直线 x ＋ y ＝0所得线 段的长度是2 ，判断圆 M 与圆 N ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝ 1的位置关系. 解：把圆 M 的方程化成标准方程为 x2＋（ y － a ）2＝ a2， 所以 M （0， a ）， r1＝ a ， 所以点 M 到直线 x ＋ y ＝0的距离 d ＝ . 由题意可得，（ ）2＋2＝ a2，又 a ＞0，所以 a ＝2， 所以 M （0，2）， r1＝2，又 N （1，1）， r2＝1， 所以｜ MN ｜＝ ，所以｜ r1－ r2｜＜｜ MN ｜＜ r1＋ r2， 所以两圆相交. 目录 数学·选择性必修第一册 　曲线系方程 　　 　　曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合， 曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分 别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆 系方程. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 直线系方程 （1）与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线系方程为 Ax ＋ By ＋λ＝ 0（λ为参数）； （2）与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线系方程为 Bx － Ay ＋λ＝ 0（λ为参数）； （3）过直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0与 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0的交点 的直线系方程为（ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝ 0（不含 l2，λ为参数）. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 圆系方程 （1）过圆 O ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0 交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ） ＝0（λ为参数）； （2）过圆 O1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 O2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2＝0交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＋λ （ x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2）＝0（不包括圆 O2，λ为参数）. 应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数 的值. 目录 数学·选择性必修第一册 一、平行或垂直的直线系方程的应用 【例1】　（1）求过点 A （1，－4）且与直线2 x ＋3 y ＋5＝0平行的直 线方程； 解： 设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋ c ＝0（ c ≠5），由题意 知，2×1＋3×（－4）＋ c ＝0，所以 c ＝10，故所求直线方程为 2 x ＋3 y ＋10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知三角形三边所在的直线方程分别为2 x － y ＋4＝0， x ＋ y －7 ＝0，2 x －7 y －14＝0，求边2 x －7 y －14＝0上的高所在的直线 方程. 解： 设过2 x － y ＋4＝0与 x ＋ y －7＝0交点的直线系方程为 2 x － y ＋4＋λ（ x ＋ y －7）＝0， 即（2＋λ） x ＋（λ－1） y ＋（4－7λ）＝0，因为和2 x －7 y －14 ＝0垂直， 可得（2＋λ）×2＋（λ－1）×（－7）＝0，解得λ＝ ， 所以所求高所在的直线方程为7 x ＋2 y －19＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 方法总结 1. 与定直线平行的直线系方程 与 Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线方程（包括原直线）为 Ax ＋ By ＋λ＝ 0（λ为待定系数），若所求的直线过点 P （ x0， y0），则其方程为 A （ x － x0）＋ B （ y － y0）＝0. 2. 与定直线垂直的直线系方程 与 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线方程为 Bx － Ay ＋λ＝0（λ为待定系 数），若所求的直线过点 P （ x0， y0），则其方程为 B （ x － x0）－ A （ y － y0）＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 二、过交点的直线系方程的应用 【例2】　（2024·台州月考）若直线 l 经过直线 l1：2 x ＋ y －8＝0和 l2： x －2 y ＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直 线 l 的方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：易知直线 x －2 y ＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积 S0＝ ×1× ≠ ，所以直线 l 的方程不可能是 x －2 y ＋1＝0.故可设直线 l 的方程为 2 x ＋ y －8＋λ（ x －2 y ＋1）＝0（λ为常数）， 即（2＋λ） x ＋（1－2λ） y ＋λ－8＝0. 由题意得（2＋λ）（1－2λ）（λ－8）≠0， 令 x ＝0，得 y ＝－ ； 令 y ＝0，得 x ＝－ . 目录 数学·选择性必修第一册 所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝ ｜－ ｜·｜－ ｜＝ ， 所以（λ－8）2＝｜（1－2λ）（2＋λ）｜，解得λ＝3或λ＝－22. 当λ＝3时，直线 l 的方程为 x － y －1＝0； 当λ＝－22时，直线 l 的方程为4 x －9 y ＋6＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 方法总结 求过交点的直线方程的两种解法 （1）通过解方程组求出交点坐标，然后根据两直线的位置关系确定 斜率； （2）选用直线系方程，设出过 l1与 l2交点的直线系方程为（ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0或（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＋λ （ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而 确定直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册 三、圆系方程的应用 【例3】　（1）求过直线2 x ＋ y ＋4＝0和圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0的 交点，且面积最小的圆的方程； 解： 过直线2 x ＋ y ＋4＝0和圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0的交 点的圆系方程可设为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＋λ（2 x ＋ y ＋4）＝0 （λ∈R）， 即[ x ＋（λ＋1）]2＋（ y ＋ ）2＝ λ2－4λ＋4， 目录 数学·选择性必修第一册 圆的半径为 ＝ ＝ ， 故当λ＝ . ∴所求圆的方程为（ x ＋ ）2＋（ y － ）2＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求过两圆 x2＋ y2＋6 x －4＝0与 x2＋ y2＋6 y －28＝0的交点的直线 方程和圆心在直线 x － y －4＝0上的圆的方程. 解： 设过两圆交点的圆系方程为 x2＋ y2＋6 x －4＋λ（ x2＋ y2＋6 y －28）＝0， ① 令λ＝－1即可得 x － y ＋4＝0，此即为公共弦所在直线的方程. 把①式整理得（1＋λ） x2＋（1＋λ） y2＋6 x ＋6λ y －4－28λ ＝0. ∴圆心的坐标为（－ ，－ ）. 而圆心在直线 x － y －4＝0上，∴－ ＋ －4＝0，∴λ ＝－7. 代入圆系方程得 x2＋ y2－ x ＋7 y －32＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 方法总结 1. 以（ a ， b ）为圆心的同心圆系方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝λ2 （λ≠0）. 2. 与圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0同心的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋λ＝0（ D2＋ E2－4λ＞0）. 3. 过同一定点（ a ， b ）的圆系方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＋λ1 （ x － a ）＋λ2（ y － b ）＝0（λ1，λ2不同时为0）. 4. 过直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0与圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的交点的圆系 方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 5. 过两圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0和 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2＝0的交点的圆系方程为（ x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1）＋λ（ x2 ＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中， ①当λ＝－1时，方程（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0为 两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方 程（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0为过两圆公共切点的 公切线所在直线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 圆 C1： x2＋ y2＋4 x ＋8 y －5＝0与圆 C2： x2＋ y2＋4 x ＋4 y －1＝0的 位置关系为（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 解析： 　由已知，得 C1（－2，－4）， r1＝5， C2（－2，－2）， r2＝3，则 d ＝｜ C1 C2｜＝2，所以 d ＝｜ r1－ r2｜，所以两圆内切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0和圆 x2＋ y2－6 x ＝0交于 A ， B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是（　　） A. x ＋ y ＋3＝0 B. 2 x － y －5＝0 C. 3 x － y －9＝0 D. 4 x －3 y ＋7＝0 解析： 　 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代 入，即可排除A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知圆 A ，圆 B 相切，圆心距为10 cm，其中圆 A 的半径为4 cm，则 圆 B 的半径为（　　） A. 6 cm或14 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 无解 解析： 　当两圆外切时， d ＝ rA ＋ rB ，即10＝4＋ rB ，所以 rB ＝6 cm；当两圆内切时， rB － rA ＝10.则 rB ＝10＋4＝14（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·舟山月考）若圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2： x2＋ y2－6 x －8 y ＋ m ＝0外切，则 m ＝（　　） A. 21 B. 19 C. 9 D. －11 解析： 　因为 x2＋ y2－6 x －8 y ＋ m ＝0⇒（ x －3）2＋（ y －4）2＝ 25－ m ，所以25－ m ＞0⇒ m ＜25，且圆 C2的圆心为（3，4），半 径为 ＝1＋ ⇒ m ＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. 我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串 圆”.在如图所示的“串圆”中，圆 C1和圆 C3的方程分别为 x2＋ y2 ＝1和（ x －4）2＋（ y －2）2＝1，若直线 ax ＋2 by －2＝0（ a ， b ＞0）始终平分圆 C2的周长，则 a ＋ b ＝（　　） B. 1 D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　若直线 ax ＋2 by －2＝0（ a ， b ＞0）始终平分圆 C2的周 长，则该直线经过圆 C2的圆心，由圆外切的关系知 C2为线段 C1 C3 的中点，圆 C1的圆心的坐标为（0，0），圆 C3的圆心的坐标为 （4，2），所以圆 C2的圆心的坐标为（2，1），可得 a ＋ b ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·开封月考）下列圆中与圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1 ＝0相切的是（　　） A. （ x ＋2）2＋（ y ＋2）2＝9 B. （ x －2）2＋（ y ＋2）2＝9 C. （ x －2）2＋（ y －2）2＝25 D. （ x －2）2＋（ y ＋2）2＝49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0，可知圆心 C 的坐标 为（－1，2），半径 r ＝2.A项，圆心 C1（－2，－2），半径 r1＝ 3.∵｜ C1 C ｜＝ ∈（ r1－ r ， r1＋ r ），∴两圆相交；B项，圆 心 C2（2，－2），半径 r2＝3，∵｜ C2 C ｜＝5＝ r ＋ r2，∴两圆外 切，满足条件；C项，圆心 C3（2，2），半径 r3＝5，∵｜ C3 C ｜＝ 3＝ r3－ r ，∴两圆内切；D项，圆心 C4（2，－2），半径 r4＝7， ∵｜ C4 C ｜＝5＝ r4－ r ，∴两圆内切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若圆 x2＋ y2＝4与圆 x2＋ y2＋2 ay －6＝0（ a ＞0）的公共弦长为2 ，则 a ＝ ⁠. 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y ＝ ，圆 心（0，0）到直线的距离为 d ＝ ＝ ＝1，所以 a ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知点 P （2，－2）和圆 C ：（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝16，则 P 在 圆 C （填“内”“外”或“上”）；以 P 为圆心且和圆 C 内 切的圆的标准方程为 ⁠. 解析：由题知 C （－1，2），圆 C 的半径为4，所以｜ PC ｜＝ ＝5＞4，所以点 P 在圆 C 外.设以 P 为圆 心且和圆 C 内切的圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝ r2， r ＞0，则｜ PC ｜＋4＝ r ，即 r ＝9，所以以 P 为圆心且和圆 C 内切的 圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝81. 外　 （ x －2）2＋（ y ＋2）2＝81　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 圆心在直线 x － y －4＝0上，且经过圆 x2＋ y2－4 x －6＝0与圆 x2＋ y2 －4 y －6＝0的交点的圆的方程为 ⁠. 解析：设所求圆的方程为 x2＋ y2－4 x －6＋λ（ x2＋ y2－4 y －6）＝0 （λ≠－1）.易求得所求圆的圆心坐标为（ ），将其代入 方程 x － y －4＝0，得λ＝－ .故所求圆的方程为 x2＋ y2－6 x ＋2 y － 6＝0，即（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝16. （ x －3）2＋（ y ＋1）2＝16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. （2024·台州月考）已知圆 C1： x2＋ y2－2 x －6 y －1＝0和 C2： x2＋ y2－10 x －12 y ＋45＝0. （1）求证：圆 C1和圆 C2相交； 解： 证明： C1的标准方程是（ x －1）2＋（ y －3）2＝11， 则 C1（1，3）， r ＝ . C2的标准方程是（ x －5）2＋（ y －6）2＝16， 则 C2（5，6）， R ＝4. ｜ C1 C2｜＝ ＝5， 显然4－ ＜5＜4＋ ，所以两圆相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解： 两圆方程相减得8 x ＋6 y －46＝0，即4 x ＋3 y －23 ＝0为公共弦所在直线方程， 点 C1到直线4 x ＋3 y －23＝0的距离 d ＝ ＝2，所以 公共弦长 l ＝2 ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 已知圆 C1： x2＋ y2－2 ax ＋ a2－1＝0和圆 C2： x2＋ y2－2 by ＋ b2－4 ＝0恰有三条公共切线，则 的最小值为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　圆 C1的圆心为 C1（ a ，0），半径为 r1＝1，圆 C2的圆心 为 C2（0， b ），半径为 r2＝2.∵两圆有三条公共切线，∴两圆外 切.∴ ＝3，∴点（ a ， b ）在圆 x2＋ y2＝9上.而 表示点（ a ， b ）到点（3，4）的距离. 故 －3＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）已知圆 O ： x2＋ y2＝4和圆 M ： x2＋ y2＋4 x －2 y ＋4＝0相 交于 A ， B 两点，则下列说法正确的是（　　） A. 两圆有两条公切线 B. 直线 AB 的方程为 y ＝2 x ＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确； 又圆 O ： x2＋ y2＝4　①，圆 M ： x2＋ y2＋4 x －2 y ＋4＝0　②，所 以由②－①得4 x －2 y ＋4＝－4，即 y ＝2 x ＋4，所以直线 AB 的方 程为 y ＝2 x ＋4，故B错误；又圆 O 的圆心为 O （0，0），半径为 2，则圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝ ＝ ，所以｜ AB ｜＝2× ＝ ，故C错误；圆 M 的圆心为 M （－2，1），半 径为1，所以｜ EF ｜max＝｜ OM ｜＋2＋1＝ ＋3，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 若☉ O ： x2＋ y2＝5与☉ O1：（ x － m ）2＋ y2＝20（ m ∈R）相交于 A ， B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度 为 ⁠. 解析：如图所示，在Rt△ OO1 A 中，｜ OA ｜ ＝ ，｜ O1 A ｜＝2 ，∴｜ OO1｜＝5， ∴｜ AC ｜＝ ＝2，∴｜ AB ｜＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·商丘月考）已知圆 C ： x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0. （1）若直线 l1过定点 A （1，1），且与圆 C 相切，求 l1的方程； 解： 圆 C ： x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0化为标准方程为 （ x －3）2＋（ y －4）2＝4， 所以圆 C 的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线 l1的斜率不存在，即直线为 x ＝1，符合题意. ②若直线 l1的斜率存在，设直线 l1的方程为 y －1＝ k （ x － 1），即 kx － y － k ＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到已知直线 l1的距离等于半径2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 所以 ＝2，即 ＝2，解得 k ＝ ，所以 直线方程为5 x －12 y ＋7＝0. 综上，所求 l1的方程为 x ＝1或5 x －12 y ＋7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若圆 D 的半径为3，圆心在直线 l ： x － y ＋2＝0上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程. 解： 依题意，设 D （ a ， a ＋2）. 又已知圆 C 的圆心为（3，4），半径为2， 由两圆外切，可知｜ CD ｜＝5， 所以 ＝5， 解得 a ＝－1或 a ＝6.所以 D （－1，1）或 D （6，8）， 所以所求圆 D 的方程为（ x ＋1）2＋（ y －1）2＝9或（ x － 6）2＋（ y －8）2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图，设两圆 O1， O2外切于点 M ，连接 OM ，作 O1 N ⊥ OO2交 OO2于点 N ，点 D 为线段 OO2与圆 O2的交点，令｜ DE ｜＝ h ＝6，所以｜ NE ｜＝10，｜ O2 M ｜＝10，｜ O2 N ｜＝10－｜DN ｜＝ h ＝6，因为∠ O1 NO2＝∠ OMO2＝90°，∠ O1 O2 N ＝∠ OO2 M ，所以△ O1 NO2∽△ OMO2，所以 ＝ ＝ ，解得 R ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知圆 A ： x2＋（ y ＋1）2＝1，圆 B ：（ x －4）2＋（ y －3）2＝1. （1）过圆心 A 的直线 l 截圆 B 所得的弦长为 ，求直线 l 的斜率； 解： 由题意知，直线 l 的斜率存在，且圆心 A （0，－ 1），设直线 l 的方程为 y ＝ kx －1，由弦长可得圆心 B （4， 3）到直线 l 的距离为 ， 即 ＝ ，化简得12 k2－25 k ＋12＝0， 解得 k ＝ 或 k ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ①求动圆圆心 P 的轨迹方程； ②问动圆 P 是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经 过，请说明理由. （2）若动圆 P 同时平分圆 A 与圆 B 的周长. 解： ①由已知可得｜ PA ｜＝｜ PB ｜，故圆心 P 在线段 AB 的中垂线上. ∵直线 AB 的斜率为1，∴圆心 P 所在直线的斜率为－1，且 该直线过点（2，1），∴圆心 P 在直线 x ＋ y －3＝0上.即动 圆圆心 P 的轨迹方程为 x ＋ y －3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ②设 P （ m ，3－ m ），则动圆 P 的半径为 ＝ ， ∴动圆 P 的方程为（ x － m ）2＋（ y ＋ m －3）2＝ m2＋（3－ m ＋1）2＋1， 即 x2＋ y2－6 y －8－2 m （ x － y －1）＝0. 由 得故动圆 P 过定点（2＋ ，1＋ ），（2－ ，1－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $