2.5.1 直线与圆的位置关系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系及判定方法，通过基础、中档、拔高三级难度训练，结合思维导图、例题解析与对点练习，帮助学生衔接圆的方程等前置知识，构建完整知识体系。 其亮点在于对接高考模式，融入数学建模（如隧道设计、机器人追踪）与实际应用案例，运用数形结合和“设而不求”思想，培养学生数学思维与直观想象能力。学生通过分层练习提升运算与推理能力，教师可借助一体化资源高效开展教学。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 本节掌握直线与圆三种位置关系，会用圆心到直线距离与半径的大小关系、联立方程判别式两种方法判断位置关系，提升数形结合能力，能解决简单实际问题。 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括170张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离. 判断方法用表格表示如下： 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 2 1 0 判定方法 代数法 几何法 4 说明 为将直线和圆的方程联立消去或得到的一元二次方程的判别式， 为圆心到直线的距离， 为圆的半径. 特别提醒 （1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解， 只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于或 的一元 二次方程，由 与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系. （2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的 半径及圆心到直线的距离. （3）判断直线与圆的位置关系时，若圆心到直线的距离易表示，则用几何法 （通常优先选用几何法）;若圆心到直线的距离不易表示，则用代数法. . . 5 学思用·典例详解 例1-1 [多选题](2026·河南省郑州市期中)已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是( ) BCD A.若直线与圆相切，则 B.若，则直线与圆 相离 C.若，则直线与圆相交 D.若点在直线上，则直线与圆 相切 【解析】圆心到直线的距离.若直线与圆相切，则 ， 解得，故A错误；若，则，所以 ，则直线 与圆相离，故B正确；若，则，所以，则直线 与 圆相交，故C正确；若点在直线上，则，则 ， ，直线与圆 相切，故D正确． 6 释疑惑 重难拓展 知识点2 直线与圆相交 图2.5.1-1 计算直线被圆截得的弦长 的常用方法： （1）几何法 如图2.5.1-1，直线与圆交于, 两点，设弦心距 （即圆心到直线的距离）为,圆的半径为,弦长为 ,则 （弦长的一半，弦心距与半径为边构成直角三角 形）,即 . . . . . 7 （2）代数法 若直线与圆的两个交点分别为,，直线的斜率为 若斜率存在，设直线方程为 , ①当不存在时， ; ②当时， ； ③当存在且 时， （当时，即情况） 同理 . . . 8 学思用·典例详解 例2-2 (2026·山东省青岛市期中)过圆内的点作直线交圆于， 两点，若直线的倾斜角为，则弦 的长为_____. 【解析】 由题意知直线的斜率,方程为 ，即 .圆心到直线的距离,则有 . 9 设,.由题意知直线的方程为 ，即 . 由消去，得,所以,,所以为直线的斜率 . 10 知识点3 直线与圆相切 1 过圆上一点的切线 过圆上一点 的切线只有一条，如图2.5.1-2，切线有斜率存在和不存在两 种情况. 图2.5.1-2 11 若切线的斜率存在，设为 . 当时，先求切点与圆心的连线所在直线的斜率 ，再由垂直关系知切线的 斜率，由点斜式可得切线方程;当时，可直接得切线方程为 （如图2.5.1-2（2））. 若切线的斜率不存在，可直接得切线方程为 （如图2.5.1-2（3））. 12 知识延伸 过圆上一点<m></m>的切线方程 圆的方程 切线方程 规律总结：把圆的方程中的用代换，用代换，若圆的方程中含有或 的 一次项，把用代换，用 代换. 13 2 过圆外一点的切线 图2.5.1-3 过圆外一点 引圆的切线必有两条， 如图2.5.1-3，求其切线方程常用以下方法： （1）几何法 设切线方程为 ，由圆心到 切线的距离等于半径，可求得 ，则可得切线方程. 14 （2）代数法 设切线方程为，与圆的方程联立，消去或后得到关于 或的一元二次方程，由方程根的判别式求出 ，可得切线方程. 警示 若求得两个斜率，代入切线方程，则两条切线方程即为所求；若求得一 个斜率，则说明另一条切线的斜率不存在，进而求得两条切线方程. 15 3 切线长 （求切线长一定要用直角三角形中的勾股定理） 点 与切点之间的距离称为切线长.切线长可由勾股定理来计算，如图 2.5.1-3, . 知识延伸 过圆外一点 引圆的切线所得切线长公式 圆的方程 切线长 . . 16 4 切点弦 过圆外一点引圆的两条切线,切点分别为，（如图2.5.1-3）,弦 称 为该圆的切点弦. 说明因为,，所以点,在以为直径的圆上，所以 即两 圆的相交弦，因此求切点弦问题可转化为下一节所学的求两圆相交弦问题. 知识延伸 过圆外一点 引圆的切线所得切点弦方程 圆的方程 切点弦所在直线方程 （切点弦所在直线方程与经过圆上一点的切线方程形式相同） 17 学思用·典例详解 例3-3 [教材改编P93 T2]以点为圆心，且与直线 相切的圆的标准 方程是______________________. 【解析】设圆的半径为,则由题知 , 故圆的标准方程为 18 例3-4 (2026·河南省郑州外国语学校月考)已知过点 有且仅有一条直线与圆： 相切，则 ( ) A A. B. C.1或2 D.或 【解析】由题知点在圆上，则 ，解得 或 ， 又 为圆的方程，则 ， 解得，所以 . . . 19 例3-5 过点作圆的切线, ，则切线长为 ___，过切点, 的直线方程为________________. 5 【解析】（1） 圆的方程可化为，则圆心为 ， 半径 . 所以 . 由切线长公式 ，可得 . 20 （2） （运用圆的切线方程公式及直线方程的意义求解） 设切点,的坐标分别为,，根据过圆上一点的切线方程，得切线 的 方程为，将点 的坐标代入并整理， 可得 ， 同理可得 ②. 由等式①②可知，直线经过,两点，所以直线 的 方程为 . 21 （直接运用圆的切点弦方程求解） 因为是圆 外一点，根据切点弦所在直线的方程 ， 得，整理得直线的方程为 . 点评 在学习完下一节知识后，本题第二空还可以采用如下方法求解：因为 ,，所以,在以为直径的圆上.因为,，则以 为 直径的圆的方程为,即 ， 与圆的方程相减，即得直线的方程为 . 22 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系的判定 例6 直线与圆 的位置关系是 ( ) C A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 23 【解析】 （几何法） 圆的圆心的坐标为 ,半径 . 圆心到直线的距离 . 而,由 与 知 , 即 ，故直线与圆相交. 24 （代数法） 联立直线与圆的方程，消去 并整理得 , 则 . 由于,则,即 ,故直线与圆相交. 25 （转化法） 将直线方程化为 , 由得 即直线过定点 . 又 , 所以定点在圆 的内部（当直线经过圆内一点时，直线与圆 必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），故直线 与圆相交. . . 26 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题](新高考全国Ⅱ卷)已知直线与圆 , 点 ,则下列说法正确的是( ) ABD A.若点在圆上，则直线与圆相切 B.若点在圆内，则直线与圆 相离 C.若点在圆外，则直线与圆相离 D.若点在直线上,则直线与圆 相切 27 【解析】对于A，若点在圆上，则，所以圆心到直线 的 距离，所以直线与圆相切，故A正确；对于B，若点在圆 内， 则，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆 相 离，故B正确；对于C，若点在圆外，则，所以圆心 到直 线的距离，所以直线与圆相交，故C不正确；对于D，因为点 在 直线上，所以,圆心到直线的距离,所以直线与圆 相切， D正确.故选 . 28 2 由直线与圆的位置关系确定参数 例7 若直线与圆 有如下关系：①相交；②相切；③相 离.试分别求实数 的取值范围. 29 【解析】 （几何法） 圆的圆心为，半径 ， 则圆心到直线的距离 . ①当直线和圆相交时， ， 即， . ②当直线和圆相切时， ， 即，或 . ③当直线和圆相离时， , 即，或 . 30 （代数法） 由消去，得 ， . ①当直线和圆相交时，，即，解得 . ②当直线和圆相切时，，即或 . ③当直线和圆相离时，，即或 . 31 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·重庆市九校联盟期中)设点，，若直线关于直线 对 称的直线与圆有公共点，则 的取值范围是_ ________. 【解析】点关于直线的对称点为，点在直线 上， 直线的斜率，所以直线的方程为 ，即 . 由题意知，直线与圆 有公共点， 32 圆的圆心为，半径为 ， 所以圆心到直线的距离为 ， 整理得，解得 ， 即实数的取值范围是 . 33 3 由直线与圆的位置关系求圆的方程 例8（1）(2026·天津市期中)已知圆与直线及 都相切，圆心 在直线上，则圆 的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】设圆心坐标为 ， 由圆与直线及 都相切（两平行直线间的距离即直径长）可 得 ， 解得，所以半径 ， 故该圆的方程为 . . . 34 （2）(2026·安徽省合肥市期中)已知圆的圆心与点关于直线 对称， 直线与圆相交于,两点，且，则圆 的方程为________ ______________. 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为 ， 则解得即圆心 . 又圆心到直线的距离为 ， 从而圆的半径为 . 故圆的方程为 . 35 已知直线与圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心 和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求解出圆的方程. 基本步骤为：设所求圆的方程 根据已知位置关系或数量关系建立方程 解出参数 并检验 确定圆的方程. 36 题型2 直线与圆的相切问题 1 已知切线斜率求切线方程 例9 求与直线平行且与圆 相切的直线的方程. 【解析】 设直线的方程为 （平行直线的斜率相等）,即 . 圆的圆心坐标为,半径为，由 ,解得 或 . 故所求直线的方程为或 ， 即或 . . . 37 设直线的方程为,与圆的方程联立,得 消去，得 , 则 , 即,解得或 , 故所求直线的方程为或 ， 即或 . 38 求斜率为 且与圆相切的切线方程（切线方程一般有两个）的方法 （1）先设切线的方程为，然后化为一般式 ,利用圆心到直 线的距离等于半径，列出方程求得 . （2）设切线的方程为,与圆的方程联立，化为关于或 的一元二次方 程，再利用判别式等于0，求出 . . . 39 2 已知圆上一点求切线方程 例10 经过点，且与圆 相切的直线的方程为___________________. 【解析】 因为 ， 所以点在圆 上，（优先判断点与圆的位置关系） 由题意可知圆心的坐标为 ， 则直线的斜率 . 40 因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率 故经过点的切线方程为,整理得 （过圆上一点的切线方程只有1个）. 显然点在圆 上， 因为过圆上一点的切线方程为 , 故所求切线方程为,即 . . . 41 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·河北省石家庄精英中学调研)圆在点 处的切线方程为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以点在圆 上. 直线的斜率，设切线的斜率为，由切线与直线 垂直，得 ，则 . 又切线经过 ， 所以切线的方程为，即 . 42 3 已知圆外一点求切线方程 例11 经过点，且与圆 相切的直线的方程为_______________ _____________. 或 43 【解析】因为,所以点在圆 外. 若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为 , 即 . 又圆心为,半径 ,且圆心到切线的距离等于半径, 所以,解得 （过圆外一点有两条直线与圆相切，因此若解得只有 一个 值时，另一直线的斜率一定不存在）， 所以直线的方程为 . （【另解】此处也可以通过联立方程，然后由求得 的值，进而求得直线方程， 但运算量较大） 若直线的斜率不存在，则直线的方程为 ，显然满足题意. 综上可知，满足题意的直线的方程为或 . . . 44 （公式法） 设所求切线方程为，其中 是 圆上的切点， 将代入后，得 . 由 解得或 故所求切线方程为或 . 45 求过圆外一点 的圆的切线方程的方法 （1）几何法.设切线方程为，即 ，由圆心到 直线的距离等于半径，可求得 ，切线方程即可求出. （2）代数法.设切线方程为，即 ，代入圆的方 程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得 ，切线方程即可求出. 注意：解题时勿忘考虑斜率不存在的情形. 46 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·河南省平顶山市月考)一条光线从点射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) D A.或 B.或 C.或 D.或 47 【解析】圆的圆心为 ，半径为1， 根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于 轴的对称点 ， 易知反射光线所在直线的斜率存在，设为 ，则反射光线所在直线的方程为 ，即 ， 由反射光线与圆 相切， 可得，整理得 ， 解得或 ． 48 4 求切线长 例12 若圆关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小值是( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 思路点拨 可以用两种方法求最小值：（1）（代数法）直接利用勾股定理求出切 线长，把切线长中的变量统一成一个，利用函数求最值；（2）（几何法）把切线长 最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 49 【解析】 由，得 ，依题 意得圆心在直线上，所以 ,即 ①. 易知由点 向圆所作的切线长 ②, 将①代入②，得 . 又，所以当时, . 50 因为过圆外一点的圆的切线长、半径和该点到圆心的距离 满足勾股定 理，即 ，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求 该点与圆心的距离的最小值问题. 由题意知圆心，半径，点在直线上，所以点 与圆 心的距离的最小值即圆心到直线的距离 , 易求得 ， 所以切线长的最小值为 . 51 题型3 直线与圆的相交问题 1 弦长问题 例13 [教材改编P91 例1]已知直线与圆 交于 ,两点，则线段 的长为_____. 【解析】 （代数法） 由 解得或 不妨设, , 所以 . 52 （弦长公式法） 设,，将 代入 得 ， 于是得, . 又直线的斜率 ,所以 .（设而不求思想 的应用） （几何法） 因为的圆心为，半径 ,所以 圆心到直线的距离 , 所以 . 名师点评 比较三种方法可知，求圆的弦长时，利用方法3较简单，即求出弦心距 （圆心到弦的距离），再由勾股定理求解. 53 直线与圆相交时，弦长的求法 设弦长为 . ①代数法:联立直线与圆的方程，求出, 两点坐标，再由两点间的距离公式求弦长 ; ②弦长公式法：利用根与系数的关系及公式 或 求解. （称这两个公式为弦长公式） ③几何法:利用半弦长，弦心距（圆心到弦的距离）,半径 为边组成的直角三角形求 解，则 （常用方法）. 54 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·天津市南开中学质量监测)已知直线 与圆 的交点为，，则线段 的长为___. 4 【解析】将圆的方程化为标准方程，得 ， 所以圆心坐标为，半径 ， 所以圆心到直线的距离 ， 根据勾股定理得，所以 . 55 2 已知弦长求参数 例14（1）过点引一条直线交圆于， 两点，若 ，则直线 的方程为_______________________. 或 【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为 （此处易因对直线点斜式方程或 斜截式方程存在的条件理解不透彻导致遗漏）， 可求出它与圆的两交点坐标分别为, ， 所以弦长 ，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 . . . 56 图2.5.1-4 如图2.5.1-4，设圆心为，点是弦的中点，连接, , 则 . 在 中， ,， ，故 ，即 ，解得 ， 这时直线的方程为 . 故所求直线方程为或 . 57 （2）若直线被圆截得的弦长为，则 _ _____. 1或 【解析】类似（1），在中， ,， ， 故 ， 即，解得或 . 58 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·河北省保定市期中)已知圆的圆心是坐标原点，且直线 被圆截得的弦长为6，则圆 的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为圆心是坐标原点，所以圆心到直线 的距离为 ，又圆截直线所得弦长为6，所以圆 的半径 ， 则圆的方程为 ． 59 3 直线与圆相交时，求过交点的圆的方程问题 例15 求经过直线与圆 的交点，且经过点 的圆的方程. 【解析】 解方程组 得或 直线与圆交于点和点 . 设所求圆的方程为 ， 60 将，， 的坐标代入，得 解得 满足 ， 故所求圆的方程为 . 61 （圆系方程） 设所求圆的方程为 . 又点在圆上，将 代入圆的方程得 ,解得 , 故所求圆的方程为 ， 即 . 名师点评 通过以上两种解法的比较可以发现，对于求过直线与圆的两交点的圆的方 程问题，采用设圆系方程的方法简单易解，是解此类题的常用方法. 62 “两法”解决过直线与圆交点的圆的方程问题 解决此类问题有以下两种方法： （1）联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求圆的方程； （2）设圆系方程确定参数，一般地，过直线 与圆 的交点的圆系方程可设为 ，但注意系数 一定要写在直线方程 之前. 63 4 直线与半圆的相交问题 例16 (2026·天津市华辰学校月考)若曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C., D., 【解析】将方程 变形为 ，它表示以 为圆心，2为半径的上半圆（此处易误 认为方程表示的是整个圆而致错）， 表示过定点，斜率为 的直线， . . 64 图2.5.1-5 如图2.5.1-5所示. 直线的斜率 . 直线方程变形为 ， 由（圆心到切线的距离为2）得切线 的斜 率 . 由图知，当直线在直线和切线 之间变化时，直线与半圆有两 个交点，故 （注意验证区间端点是否可以取得）. . . . . 65 【学会了吗丨变式题】 7.[多选题](2026·福建省华安县第一中学月考)过点,且斜率为的直线 与曲线 交于不同的两点，， 为坐标原点，则( ) BC A. B. C.面积的最大值为2 D.当面积取最大值时， 【解析】由，得，，即 ，所以曲线 是以原点为圆心，2为半径的半圆， 66 图D 2.5.1-1 直线的方程为，即 ， 直线与曲线相交于, 两点，如图D 2.5.1-1所示. 选项A，由圆心到直线距离，得 ，即 .又由图可知过点的直线 要和半圆有两个交 点，则，所以 ，故选项A错误. 选项B，显然当直线过圆心时， 最大，为直径4， 所以 ，故选项B正确. 67 选项C，由，得当面积取最大值时， ， 即 ，故选项C正确. 选项D，当面积取最大值时，，如图D 2.5.1-1，取线段的中点 ， 连接,则，为等腰直角三角形，又,所以 ,所以圆 心到直线的距离，所以，因为，所以 ，选项D 错误.故选 . 68 5 中点弦问题 例17 (2025·重庆市名校联盟月考)已知圆 内一点 ，求以 为中点的弦所在的直线方程. 图2.5.1-6 【解析】 （几何性质法） 将圆的方程化为标准形式 为，由圆的几何性质知，圆心与点 的连线与弦所在直线垂直，如图2.5.1-6.设圆心为,则 , 又， , 以为中点的弦所在直线的斜率 . 所求直线的方程是 , 即 . 69 （代数法） 当斜率存在时，设直线的斜率为，过点 的直线为 ，即 . 代入圆的方程得 . 可设两个交点坐标为， ， 则,解得 . 所求直线的方程是 . 当斜率不存在时，直线 不能满足题设要求. 故所求直线的方程是 . 70 解决与中点弦有关的问题的常见思路 （1）利用根与系数的关系，求出中点坐标； （2）利用圆本身的几何性质（圆心与弦中点的连线与弦垂直），可直接求斜率. 71 【学会了吗丨变式题】 8.(2026·福建省龙岩市期中)若点是圆的弦 的 中点，则弦 所在的直线方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为圆心，所以,因为是圆的弦 的中点， 所以，所以，则直线的方程为 ，即 ． 72 题型4 与圆有关的最值问题 1 圆上的点到直线的距离的最值 母题 致经典·结构化试题 母题探源 教材第95页【练习】第3题，实质上就是圆上的点到直线的距离的最大 值与最小值的求解.教材第99页【习题2.5】第13题也是对圆上的点到直线的距离的考 查，不过是逆向考查.我们给出例题强化一下解决圆上的点到直线的距离问题的能力. 73 例18 (2026·山西省大同市期中)已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到直线 距离的最小值为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由于半径为1的圆（设为圆经过点，所以圆的圆心轨迹是以 为 圆心，半径为1的圆，到直线的距离为,所以圆 的圆 心到直线距离的最小值为 ． 74 子题 情境转化 子题1 圆上的点到直线 的距离的最大值为_____. 【解析】由圆可得圆心为，半径 .圆心 到直线的距离 , （由此处可知直线 与圆相切，因此圆上的点到该直线的距离的最大值 为直径长，最小值为0） 所以圆上的点到直线 的最大距离为 . . . . . 75 子题2 [多选题]已知圆上有四个点到直线 的距离等于1， 则实数 的值可能为( ) BCD A.1 B.0 C. D. 【解析】由圆的方程，可得圆心为 ，半径为2，若圆上有4个 点到直线的距离等于1，则圆心到直线 的距离小于1，又直线 的一般方程为，所以 , 所以，所以 ，故只有A选项不满足该取值范围． 名师点评 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题可转化为圆心到直线的距离 与圆的半径及 的关系问题. 76 子题3 (2026·河北省石家庄市外国语学校月考)若圆 上有且 只有两个点到直线的距离等于1，则半径 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】圆心坐标为，它到直线的距离 ， 因为圆上有且只有两个点到直线 的距离等于1，所以 ,即半径，即 . 77 圆上的点到直线的最大距离、最小距离 设为圆的半径， 为圆心到直线的距离.当直线与圆相交时，最小距离为0，最大距 离为；当直线与圆相切时，最小距离为0，最大距离为 ；当直线与圆相离时， 最小距离为，最大距离为 . 78 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,圆上的点到直线的距离为定值 . 当或 时，点的个数为0. 当或 时，点的个数为1. 当 时，点的个数为2. 当 时，点的个数为3. 当 时，点的个数为4. 79 【学会了吗丨变式题】 9.(2026·广东省广州奥林匹克中学期中)已知直线,若圆 上恰有2个点到直线的距离等于1，则 的取值范围为( ) C A., B.（0, C. D., 【解析】由圆的方程,可得圆心为坐标原点 ，半径为2.若圆上恰有2 个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足,则 , 又,解得 .故选C. 80 2 过圆内一点的最长弦、最短弦 例19 (2026·江苏省常州市田家炳高级中学期中)已知在圆 内，过点的最长弦和最短弦分别是和 ， 则四边形 的面积为( ) D A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】由可得 ，所以圆心坐标 为 ，半径为3． 81 图2.5.1-7 如图2.5.1-7所示，由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直 径，所以 的长为6． 因为点，所以 ． 弦最短时，弦和垂直，且经过点 ，此时 ． 故四边形的面积为 . 82 最长弦和最短弦问题的解法 判断点是在圆内还是圆外，（过圆外一点无最短弦，最长弦仍为圆的直径）过圆内 一点的最长弦为圆的直径，此时直线过圆心；最短弦与圆心和该点的连线垂直，可 利用垂径定理和勾股定理求得. . . 83 3 利用几何意义求最值 例20 已知点在圆 上. （1）求 的最大值与最小值; 图2.5.1-8 【解析】 设，则 表示动直线 在 轴上的截距， 如图2.5.1-8（1），显然当动直线 与圆 相切时， 取得最大值或最小值. 84 此时圆心到切线的距离等于圆的半径2,则 , 即,解得 , 所以的最大值为,最小值为 . 设 ,（圆的参数方程） 则.当 时， 取得最大值 ; 当时,取得最小值 . 85 （2）求 的最大值与最小值； 【解析】,它表示圆上的点到 的距离 的平方再加2， 所以当点与点 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值. 如图2.5.1-8（2），显然点在圆 的外部， 所以点与点距离的最大值为 ， 点与点距离的最小值为 . 又 , 所以的最大值为,最小值为 . 86 （3）求 的最大值与最小值； 【解析】表示圆上的点到直线的距离的 倍，如图 2.5.1-8（3）所示. 圆心到直线的距离为 ， 则点到直线的距离的最大值为，最小值为，所以 的最大 值为,最小值为 . 87 （4）求 的最大值和最小值. 【解析】表示圆上的点 与原点连线所在直线的斜率，如图2.5.1-8（4），显然 为坐标原点）与圆相切时，斜率最大或最小. 设切线方程为（由题意知，斜率一定存在）,即,由圆心 到切 线的距离等于半径2，可得,解得 ， 所以的最大值为,最小值为 . 【解析】方程可化为 ，则圆心 ，半径 . 88 利用几何意义求最值 （1）截距型 形如 ，可转化为动直线截距的最值问题. （2）距离型 ①形如，可转化为圆上的点与定点 的距离平方的最值问题. ②形如，可转化为圆上的点与直线的距离的 倍 的最值问题. （3）斜率型 形如，可转化为过定点 与圆上的一点的动直线斜率的最值问题. 89 【学会了吗丨变式题】 10.新考法 数学文化 (2026·河北省石家庄市第二十四中学期中)数学美的表现形式不 同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、 思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 就是一条形状优美的曲线，若是曲线 上任意一点， 则 的最小值为__________. 【解析】当，时，曲线的方程可化为 ； 当，时，曲线的方程可化为；当， 时， 曲线的方程可化为 ； 当，时，曲线的方程可化为 . 90 图D 2.5.1-2 作出曲线如图D 2.5.1-2. 到直线的距离 ， 则即为 . 要求 的最小值，结合曲线与直线的位置，只需 考虑， 时的情况. 当，时，曲线的方程为 ， 曲线为圆心为，半径为 的圆的一部分， 而到直线的距离为 ， 由圆的性质得曲线上一点到直线 的距离的 最小值为 ， 故的最小值为 . 91 题型5 坐标法解决实际问题 例21 (2026·江西省赣州市三县联考)一座圆弧形拱桥，当水面在如图2.5.1-9所示的位 置时，拱顶离水面2米，水面宽12米,当水面下降1米后，水面宽度为( ) D 图2.5.1-9 A.14米 B.15米 C. 米 D. 米 【解析】以圆弧形拱桥的顶点为原点，过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为 轴，过圆 弧形拱桥的顶点的竖直直线为 轴，建立平面直角坐标系, 92 图2.5.1-10 如图2.5.1-10所示. 设圆心为，离拱顶2米的水面所在弦的端点为， , 则由已知可得 . 设圆的半径为,则 , 即圆的方程为 . 将点的坐标代入上述方程，可得 , 所以圆的方程为 . 当水面下降1米后，设水面所在弦的端点为，，可设 的坐 标为 , 代入,解得 ， 故水面宽度为 米. 93 例22 新考法 数学建模 如图2.5.1-11（1），某十字路口的花圃中央有一个底面半径 为的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为 的正方形．因工程需 要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器的移动速度为 , 仪器的移动速度为.若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡，则称仪器 在仪 器 的“盲区”中． 图2.5.1-11 94 （1）如图2.5.1-11（2），斑马线的内侧连线构成正方形，仪器在点 处，仪 器在上距离点处，试判断仪器是否在仪器 的“盲区”中，并说明理由. 图2.5.1-12 【解析】建立如图2.5.1-12（1）所示的平面直角坐标系，则 ， . 连接，所以直线的方程为 ，即 ， 故圆心到直线的距离 ， 所以圆与直线相交，故仪器在仪器 的“盲区”中． 95 （2）如图2.5.1-11（3），斑马线的内侧连线构成正方形，仪器从点 出发向 点移动，同时仪器从点出发向点移动，在这个移动过程中，仪器在仪器 的 “盲区”中的时长为多少？ 【解析】建立如图2.5.1-12（2）所示的平面直角坐标系，则 ，，， ， 由题意可知，起始时刻仪器在仪器的“盲区”中，假设仪器在仪器 的“盲区”中的时长为 , 则， ， 96 所以直线的斜率为 ， 则直线的方程为，即 ， 从而点到直线的距离，解得，又，所以 ， 故在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为 . 思路点拨仪器在仪器的“盲区”中要满足, 的连线与圆有公共点，即直线与圆相 交或相切. 97 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 98 【学会了吗丨变式题】 11.新情境 机器人追踪与拦截 (2026·江苏省扬州市高邮市调研)如图2.5.1-13，在人工 智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点 处 正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均沿直 线以最大速度移动. 图2.5.1-13 99 （1）若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点 的轨迹方程. 【答案】设追踪机器人在点 处成功拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为 ， 所以相遇时 ， 所以 ， 化简得 ， 即点的轨迹方程为 . 100 （2）问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区 的区域 内成功拦截?并说明理由. 【答案】点的轨迹圆的圆心为，半径 ， 因为圆心到直线的距离 ， 所以点的轨迹圆与直线 相交，即相遇点会出现在安全区外，故追踪机器人 不是总能在安全区内成功拦截. 101 题型6 直线与圆的综合问题 例23 (2026·江苏省泰州中学期中)在平面直角坐标系中，圆 的圆心在直线 上，圆经过点，且与直线 相切. （1）求圆 的方程； 【解析】因为圆心在直线上，所以可设 .（设参数时，应尽 量减少参数个数） 因为圆经过点 ， 所以圆的半径 . 又圆和直线 相切， 102 所以圆的半径 ， 所以 ， 化简得，解得 . 所以，半径 . 所以圆的方程为 . 103 （2）设直线交圆于，两点，若直线,的斜率之积为3，求证：直线 过一个 定点，并求出该定点坐标. 【解析】若直线 的斜率不存在， 则可设,, ， 所以 , ， 消去得，再代入,不存在，所以直线 的斜率存在. 设直线，（直线不经过点 ） , ， 所以 ， . . 104 整理得 ①， 直线方程与圆方程联立得 消去得 ， 所以, ，代入①得 ， 由于，两边同除以化简得，即 ， 所以直线的方程为，即 ， 令解得 所以直线过一个定点，该定点坐标为 . 105 解决直线与圆相交的交点问题的技巧——设而不求 涉及直线与圆相交的交点问题，可以联立直线与圆的方程，通过解方程组求出两交 点的坐标，但当相应方程组不易求解时，常常用“设而不求”的思想整体转化，即先 设出两交点坐标，但不求出，而是联立直线与圆的方程，通过消元得到一个关于 或 的一元二次方程，再运用根与系数的关系整体代换求解. 106 利用“设而不求”解决直线与圆相交问题的一般步骤 第一步:设出两交点坐标, ; 第二步:利用已知条件得出关于,,, 的关系式; 第三步:联立直线与圆的方程,消去（或）得到一个关于（或 ）的一元二次方程, 计算出 ; 第四步:由根与系数的关系表示出,（或, ）; 第五步:代入由第二步确定的关系式中并化简; 第六步:验证 . 107 【学会了吗丨变式题】 12.(2026·陕西省山阳中学期中)已知,,,直线 的方程为 ，圆过,, 三个点. （1）求圆 的方程； 【答案】因为圆过，， 三点， 所以圆心为线段的垂直平分线和线段 的垂直平分线的交点， 线段的垂直平分线的方程为 . 因为直线的斜率，线段的中点为 ， 108 所以线段的垂直平分线的方程为 ， 即 ， 联立方程解得 所以圆心为，则半径 ， 所以圆的方程为 . 109 （2）设点是直线上的任意一点，,是圆的两条切线，, 是切点，若 四边形的最小面积是4，求 的值； 图D 2.5.1-3 【答案】如图D 2.5.1-3（1），因为，所以 ， 当且仅当时，取到最小值 ， 即圆心到直线的距离 ， 解得或，所以的值为 或6. 110 （3）设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线， 斜率分别为 ，，若，求 的值. 【答案】若，则直线 ，如图D 2.5.1-3（2）. 111 联立方程消去可得， . 则 ， 设，，则， ， 可得 ， 所以 . 112 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 直线与圆的位置关系是高考的热点问题，主要有判断直线与圆的位置关系、由直线与 圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题、弦长问题及与圆相关的求最值问题等， 考查数形结合思想、转化与化归思想等.考查题型为选择题、填空题，难度为中等. 核心素养：数学运算（弦长的求解），直观想象（数形结合的应用），逻辑推理 （直线与圆的位置关系的推断）. 113 考向1 由直线与圆的位置关系求参 例24 (新高考全国Ⅱ卷)设点,,若直线关于 对称的直线与圆 有公共点，则 的取值范围是_ ____. , 114 【解析】 由题意知点关于直线的对称点为 ，所 以，所以直线的方程为，即 .如图 2.5.1-14，直线与圆有公共点，易知圆心为 ，半 径为1，所以，整理得，解得 ， 所以实数的取值范围是 ． 图2.5.1-14 图2.5.1-15 115 易知关于 轴对称的圆的方程为 ，如图2.5.1-15,该对称圆与直线有公共点．直线 的方程 为，即 , 又对称圆的圆心为 ，半径为1， 所以，整理得，解得 ， 所以实数的取值范围是 ． 116 考向2 直线与圆相切的问题 例25 (2023· 新课标Ⅰ卷)过点与圆 相切的两条直线的夹角 为 ，则 ( ) B A.1 B. C. D. 117 【解析】由题意得图2.5.1-16.由得 ， 图2.5.1-16 所以圆心坐标为，半径，所以圆心到点 的距离为 ，由于圆心与点的连线平分角 ，所以 ，所以, ， 所以 . 118 命题探源 本题表面考查直线与圆的相切问题，但求解的过程中还考查了同角三角 函数的基本关系与二倍角的正弦公式. 提分探源 破解此类题思维瓶颈的方法：一是作草图，即能作出符合题意的圆与切 线；二是会用性质，即会利用圆外一点与圆心的连线平分过该点的两切 线夹角（或夹角的补角）；三是活用公式，即会利用同角三角函数的基 本关系与二倍角的正弦公式，求出两切线夹角的正弦值. 119 考向3 弦长问题 例26 (2025·天津)与轴交于点,与轴交于点 ,与圆 交于,两点，,则 ___. 2 【解析】对于直线，令，得，令，得 ，所 以,，所以.因为,所以 . 圆的圆心为，圆心到直线的距离 ， 所以 . 120 例27 (2024·全国甲卷改编)已知直线，其中 ，与圆 交于，两点，则 的最小值为( ) C A.2 B.3 C.4 D. 121 图2.5.1-17 【解析】因为，即 ， 代入直线方程得 ， 即，令得 故直线恒过点 . 设，圆 化为标准方程得 ，圆心坐标为，半径为 . 当时，最小，， ，此时 . 设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图2.5.1-17可知， 122 例28 [开放题](2023· 新课标Ⅱ卷)已知直线与 交于,两点，写出满足“面积为”的 的一个值__________________________ _______________. 2（答案不唯一，可以是, 中任意一个） 【解析】 设直线为直线，由条件知的圆心 ，半 径 , 到直线的距离 , . 由，得 ， 整理得，解得或 ，故答案可以为2. 123 给什么得什么 由直线知直线过定点 ，由 知圆的圆心为 ，半径为2，且圆经过定 点 . 124 求什么想什么 __________________________________ 如图2.5.1-18，要使面积为，设 ，则 ,则，所以 ，于 是 ， 解得或 . 图2.5.1-18 续表 125 差什么找什么 设圆心到直线的距离为 ，由图2.5.1-18可知， 或 ， 又，即或 ， 解得或 . 续表 126 考向4 与圆有关的最值问题 例29 (2025· 全国一卷)已知圆上到直线 的距 离为1的点有且仅有两个，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线 的距离 . 127 图2.5.1-19 如图2.5.1-19，当 时，圆（实线圆）上到直线的 距离为1的点有且仅有一个，当 时，圆（虚线圆） 上到直线的距离为1的点有且仅有三个，故当 时， 圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个. 128 例30 (2023·全国乙卷)已知实数，满足,则 的最大 值是( ) C A. B.4 C. D.7 【解析】 （几何意义） 将方程 化为 ，其表示圆心为，半径为3的圆.设 ，数形结合 知，只有当直线与圆相切时,才能取到最大值，此时 ，解得 ，故的最大值为 . 129 （参数方程） 将方程 化为 ， 设即 所以，所以 的最大值为 . 130 例31 (2023·全国乙卷)已知的半径为1，直线与相切于点，直线 与 交于,两点，为的中点，若，则 的最大值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 给什么得什么 由的半径为1知为单位圆，由知，点在以 为圆 心，为半径的圆上.由直线是的割线知到直线的距离 在变化，且 . 131 差什么找什么 有两个量在变化，分别是点和，因此不妨将 点固定下来，不妨 设点在轴正半轴上，点在轴上方，要使 最大， ___________________________ 则,在 轴上方，如图2.5.1-20所示， 图2.5.1-20 续表 132 差什么找什么 ，因为，所以由勾股定理可得 ， ，设 ,, . 于是 ，故选A. 续表 133 第1步：建系，写出圆的方程和点， 的坐标 以圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆，点 ， 因为，且 ， 所以，不妨设 . 第2步：设直线的方程，与圆的方程联立，表示出中点 的坐标 设直线的方程为，，，由 得 ，由 ， 解得，则， ，所以 ， 134 第3步：求数量积，利用基本不等式求分式的最值 于是，，所以.设 ，则 ，，当且仅当 时等号成立，故选A. 135 如图2.5.1-21，不妨设点在轴正半轴上，由为 的中点可知， ，即点在以为直径的圆周上（事实上点的轨迹为该圆周在 内部的 部分）.连接，，取的中点，过点作于点 . 图2.5.1-21 设在上的投影向量为 ，则 ，当点运动到点 时，即 时， 达到最大值. 在中，由方法1知，，所以 ， 因为,, , 所以四边形为矩形，所以 . 所以 ，所以 . 136 高考新题型专练 1.[多选题](新高考全国Ⅰ卷)已知点在圆上,点, , 则( ) ACD A.点到直线的距离小于10 B.点到直线 的距离大于2 C.当最小时, D.当最大时, 【解析】设圆的圆心为，由题易知直线 的方程为 ,即，则圆心到直线的距离 ，所以 直线与圆相离，所以点到直线的距离的最大值为 ， ，故A正确. 137 易知点到直线的距离的最小值为， ，故B不 正确. 图D 2.5.1-4 过点作圆的两条切线，切点分别为, ，如图D 2.5.1-4所 示，连接,,,则当最小时，点与 重合， ，当 最大时，点与重合， ，故C,D都正确.综上， 选 . 138 2.新考法 结构不良 ①圆与直线相切；②圆 截直线 所得的弦长为 .在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并进行求解． 已知圆经过点，圆心在直线 上，且________． （1）求圆 的标准方程； 【答案】选①圆与直线 相切. 设圆心，则半径 ， 圆心到的距离 , ，解得 ， 圆心的坐标为 ， 圆的标准方程为 . 139 选②圆截直线所得的弦长为 . 设圆心，圆心到的距离 ， 圆截直线所得的弦长为 ， 半径 ， 又圆经过点 ， ，解得 ， 圆心的坐标为 ， 圆的标准方程为 . 140 （2）已知圆与圆关于直线对称，过原点的直线交圆于， 两点，求弦 中点 的轨迹方程． 【答案】设圆心关于的对称点为 ， 则解得 的坐标为 ， 此时圆 ， 过原点的直线交圆于，两点，弦中点为 ， ，即 , 设，则，即 . 故弦中点的轨迹方程为 . 141 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·山东省淄博中学期中)直线和圆 的位置 关系为( ) A A.相交 B.相切或相交 C.相离 D.相切 142 【解析】 由，得，所以圆心为 ，半 径为1.因为圆心到直线的距离 ，所 以直线和圆 相交. 直线过定点,因为，所以点 在圆上 （过圆上一点的直线可能和圆相交或相切），过点与圆相切的直线方程为 ， 斜率不存在，不符合题意，应该舍去，故直线与圆的位置关系为相交，故选A. . . 143 2.直线与圆 相交所得弦长为( ) A A. B. C. D. 【解析】圆的圆心坐标为，半径 ,圆心到直线 的距离,故弦长为 ,故选A. 144 3.(2026·江苏省马坝高级中学调研)若点为圆的弦 的中点， 则弦 所在直线的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】，即，即圆心 ，由题意可知， ，，则，所以弦 所在的直线的方程为 ，即 ． 145 4.(2026·天津市复兴中学质检)已知圆内一点，则过 点的 最短弦所在的直线方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得圆心，当所求弦与垂直时，弦长最短，因为 所在直线 的斜率为 ，此时弦长最短的弦所在的直线斜率为1，此时直线方程为 ，即 ． 146 5.新定义 平行相交 [多选题](2026·陕西省渭南市质检)对于两条平行直线和圆的位置 关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若 两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线 ,与圆 的 位置关系是“平行相交”，则实数 的取值可以是( ) BCD A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由已知得直线与 平行， ，解得或 . 当 时，两直线方程相同，两直线重合，不符合题意， 147 当时，经检验符合题意，.此时两直线方程分别为 , . 将配方整理得, 圆心坐标为 ， 半径为 . 当两条平行直线与圆“平行相切”时，或 ，当两条 平行直线与圆“平行相离”时，且,即, 当两条平行直线与圆“平 行相交”时，且.故选 . 148 6.与直线平行，且与圆 相切的直线方程是______________ _________________. 或 【解析】圆的圆心为，半径 ，由题意可设所求切线的方程为 ，故,解得 ，故所求切线方程为 或 ． 149 7.(2026·浙江省宁波市期中)已知圆外有一点 ，过 点作直线 ． 【答案】由题意得，圆心，半径 . （1）当直线与圆相切时，求直线 的方程； 【答案】当直线斜率不存在时，直线的方程为 ，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为 ，整理得 ，则由圆心到直线的距离为2得，解得 ， 直线的方程为 . 综上，直线的方程为或 . 150 （2）当直线的倾斜角为 时，求直线被圆 所截得的弦长． 【答案】当直线的倾斜角为 时，直线的方程为 ，整理得 ，圆心到直线的距离. 所求弦长为 . 151 图2.5.1-1 8.新考法 数学建模 (2026·山西省晋城市期中)如图2.5.1-1， 这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面 的长为16 米，最大高度的长为4米，以为坐标原点， 所在 的直线为 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程； 【答案】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在 轴上， 由图形可得，， ， 设该圆的半径为米，则，解得，所以圆心为 ，故 该圆弧所在圆的方程为 ． 152 （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于 0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆 该种汽车？（将汽车看作长方体，参考数据： ） 【答案】设与该种汽车等高且能通过该隧道的长方体的最大宽度为 米， 则 ,解得d=242.24. 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5<242.24，所以隧道 能并排通过4辆该种汽车； 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5>242.24，故该隧 道不能并排通过5辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 153 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.经过直线与圆 的两个交点，且面积最小 的圆的方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】根据题意可设所求圆的方程为： ，即为 ，要使该圆面积最小，则其圆心 在直线上，,解得, 所 求圆的方程为,即 . 154 10.(2026·安徽省合肥市期中)设点是函数 图象上任意一点，点 的坐标为，当 取得最小值时圆 上恰有2个点到直线 的距离为1， 则实数 的取值范围为( ) C A., B., C. D. 图D 2.5.1-1 【解析】由题得图D 2.5.1-1点 的坐标为 ，可得点在直线 上．由 ，两边平方可得： ，可得轨迹为半圆，且圆心为 . 155 经过圆心且与直线垂直的直线的方程为，由 解 得 当取得最小值时，点的坐标为，，解得 ． 圆的方程为 ， 圆心到直线的距离 ， 又圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数 的取值范围为 ，即 ． 156 11.[多选题](2026·河北省石家庄市期中)已知直线 ，圆 ，则( ) BC A.圆心到的距离的最大值为 B.圆上至少有3个点到的距离为 C.圆上到的距离为 的点有且只有2个 D.若，与相交于，两点，过，两点作 的切线，则两切线的交点坐标 为 157 【解析】直线，整理得 ，可知直 线恒过定点，又，所以点在圆 内， 易知圆的圆心为，半径 ， 所以当时，圆心到的距离取得最大值，为 ，故A错误； 由A知，当时，半径，所以圆上恰好有3个点到的距离为 ，当 与不垂直时，圆心到的距离小于，那么圆上会有4个点到的距离为 ，所 以圆上至少有3个点到的距离为 ，故B正确； 158 由圆的对称性可知，无论为何值，圆上到的距离为 的点有且只有2个，故C正确； 若，与相交于，两点，过，两点作 的切线，则两切线的交点必在圆 外，又，即点在圆上，所以点 不是 两切线的交点，故D错误.故选 . 159 图2.5.1-2 12.新情境太极图 (2026·江苏省无锡市第一中学期中)“太极图” 因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼 太极图”.如图2.5.1-2是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图 中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的 动点，则 的最小值为____. 【解析】记，则为直线的斜率，故当直线 与半圆,相切时，斜率 最小. 设，则，解得或 （舍去），即的最小值为 . 160 13.新情境 传统文化 (2026·黑龙江省新时代高中教育联合体期中)古代人最早从太阳、 阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千多年前，我国的墨子才给圆下了一个定义： 圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现在从以点 为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若 的值与 ,无关，则实数 的取值范围是___________. 【解析】由已知可得点所在圆的方程为 . 设,故可看作点 到直线 与直线 距离之和的5倍. 因为的值与,无关，所以这个距离之和与点 在圆上 的位置无关. 161 图D 2.5.1-2 圆心到直线的距离为,所以圆与直线 相离，如图D 2.5.1-2所示，只有当圆在两直线之间，即直线 与圆相切或相离时，无论点 在圆上哪 个位置，点与直线,的距离之和均为直线, 之间的距离， 所以,解得（舍去）时， 在圆的 下方，不满足圆在两直线之间 或，所以实数的取值范围为 . . . 162 14.(2026·四川省绵阳中学测试)已知圆经过点， ，并且直线 平分圆 . （1）求圆 的方程. 【答案】设圆的标准方程为 ， 因为直线平分圆，所以直线过圆心 ， 即，则解得 即圆的方程为 . 163 （2）过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点， ，使 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 【答案】由题意直线的方程为 ， 由消去得 ，则 ，得 ， 设，，则， ， 而 ， 所以 ， 解得或，不满足，所以不存在这样的直线 . 164 C 培优练丨能力提升 15.(2026·江苏省扬州市期中)已知直线，半径为2的圆与 相切，圆 心在轴上且在直线 的右上方. （1）求圆 的方程； 【答案】设圆心，因为圆在直线的右上方，令，得 ，故 ， 由，解得或 （舍去）， 故圆的方程为 . 165 （2）若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为, ，若 ，求实数 的取值范围； 【答案】如图D 2.5.1-3，连接，因为,与圆相切，且 ， 图D 2.5.1-3 166 所以在中，， ， 所以，所以问题转化为点到直线 的距离不大于 . 由，得，即 . 所以的取值范围为 . 167 （3）过点的直线与圆交于,两点在轴上方，问在 轴正半轴上是否存 在定点，使得轴平分 ？ 【答案】如图D 2.5.1-4，若直线斜率存在，设直线 ， 图D 2.5.1-4 将直线方程与圆方程联立，得 168 消去，整理得 . , 设，，则， . 假设存在点使得轴平分，则对 恒成立， （求解本题的关键转化） 所以，则 ， 即 ， 所以 ， 整理得对恒成立，则，故 . 若直线斜率不存在，则,均在轴上，也可以认为轴平分 . 综上，在轴正半轴上存在定点，使得轴平分 . . . 170 $