2.5.2 圆与圆的位置关系（教学课件）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，系统讲解位置关系分类、几何法与代数法判定，通过城市双层环形立交、机械齿轮啮合等现实情境导入，关联直线与圆位置关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象、数学运算、逻辑推理为核心，设置牛刀小试、题型专练、真题感知分层训练，结合公共弦方程推导等实例，总结几何法与代数法选择策略。学生能深化知识理解，教师可依托结构化内容提升教学效率。

·选择性必修第一册· 第二章 直线与圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 学习目标 掌握圆与圆的位置关系及判定方法，培养数学抽象的核心素养． 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养． 能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养． 目录 CATALOG 01.圆与圆的位置关系 03.应用新知 02.圆与圆位置关系的判断方法 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.5.2圆与圆的位置关系 01 圆与圆的位置关系 导入新知1：城市交通——双层环形立交与圆形隧道 某城市在两条主干道交汇处修建了一座双层环形立交桥：上层圆形匝道 A 的圆心为 (−2,1)，半径 r1=3（单位：百米）；下层圆形隧道 B 的圆心为 (4,−3)，半径 r2=2。施工前需要评估两个圆形结构之间的空间关系： 问题1：上层匝道和下层隧道在垂直投影上是否重叠？（即两圆是否相交？）如果重叠，重叠部分的宽度是多少？（即公共弦长） 问题2：如果上层匝道要向外扩建，半径扩大到 r1=6，此时两圆的位置关系发生了怎样的变化？是否会出现一个完全包含另一个的情况？ 导入新知2：机械传动——齿轮咬合与轴承设计 某机械设备中有两个圆形齿轮，大齿轮中心 O1(−1,2)，半径 r1=5 cm；小齿轮中心 O2(4,−1)，半径 r2=2 cm。两个齿轮需要通过皮带进行联动： 问题1：两个齿轮外轮廓之间的最短距离是多少？是否需要加装张紧轮？（涉及两圆外离时距离计算） 问题2：如果两个齿轮需要外切传动（恰好接触），小齿轮中心 O2 应该移动到什么位置？（涉及两圆外切条件的逆向应用） 探究新知 之前根据直线与圆的公共点个数来确定不同位置关系， 类比，根据圆与圆的公共点个数来确定，有哪几种位置关系？ 两个圆之间存在以下三种位置关系： (1) 有两个公共点：两圆相交； 外切 内切 外离 内含 两圆相交 两圆相切 两圆相离 思考 (2) 只有一个公共点：两圆相切，包括外切与内切； (3) 没有公共点：两圆相离，包括外离与内含． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相交圆的公共弦方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 两圆的公共弦长 02 圆与圆位置关系的判断方法 2.5.2圆与圆的位置关系 探究新知 探究 如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？ O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 r R 一种特殊的内含 几何法 探究新知 探究 类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？ 又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 提示： 代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 圆C1方程 圆C2方程 消元 Δ < 0⇒ . Δ＝0⇒ , 相交 相切（内切或外切） 相离（外离或内含） Δ > 0⇒ , 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相交圆的公共弦方程、圆的弦长与中点弦 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 圆的公切线长 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线条数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆的位置关系确定参数或范围 03 应用新知 2.5.2圆与圆的位置关系 应用新知 分析 应用新知 法一 应用新知 作图： 当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。 思考 应用新知 思考： 应用新知 法二 应用新知 思考： 代数法的缺点 追问 几何法 应用新知 分析 我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的 轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程 的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 解析 应用新知 解析 04 题型强化训练 2.5.2圆与圆的位置关系 重要题型专练 题型一 判断两圆的位置关系 例题 解析 重要题型专练 题型一 判断两圆的位置关系 例题 解析 重要题型专练 题型二 求两圆相交时的公共弦长 例题 解析 方法总结：联立两圆方程，解方程组，得出两交点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求得公共弦长. 代数法 重要题型专练 题型二 求两圆相交时的公共弦长 例题 方法总结：先利用两圆方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后转化为求直线被圆截的弦长，经典直角三角形法. 解析 几何法 重要题型专练 题型三 公切线条数问题 例题 解析 重要题型专练 题型三 公切线条数问题 例题 解析 总结新知 方法总结 两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． (1) 两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； (2) 两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； (3) 两圆相交时，只有2条外公切线； (4) 两圆内切时，只有1条外公切线； (5) 两圆内含时，无公切线． 总结 由圆与圆的位置关系，可以确定公切线的条数， 由公切线的条数，可以判断圆与圆的位置关系。 重要题型专练 题型四 根据圆与圆的位置关系求参数范围 例题 解析 重要题型专练 题型四 根据圆与圆的位置关系求参数范围 例题 解析 重要题型专练 题型四 根据圆与圆的位置关系求参数范围 例题 解析 总结：根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距 和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求 得结果. 05 真题感知 2.5.2圆与圆的位置关系 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.5.2圆与圆的位置关系 课堂小结 作业 基础作业：教材P98 练习第1、2、3题。 提升作业：完成配套辅导资料《圆与圆的位置关系》A组题。 2.5.2圆与圆的位置关系 课后作业答案 练习（第98页） 课后作业答案 练习（第98页） 课后作业答案 练习（第98页） 课后作业答案 练习（第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） O M E C x y 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） B M C C1 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） B A C O x y 课后作业答案 习题2.5 （第98页） B A C O x y 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） C A B M O x y 课后作业答案 习题2.5 （第98页） N C F E 课后作业答案 习题2.5 （第98页） N C F E 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 11.如图，某台机器的三个轮齿，A和B啮合，C和B也啮合. 若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且∠A=45°.试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离(精确到1 cm). 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 11.如图，某台机器的三个轮齿，A和B啮合，C和B也啮合. 若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且∠A=45°.试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离(精确到1 cm). 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） 课后作业答案 习题2.5 （第98页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 1.（2026·陕西榆林·三模）已知圆 与圆 相交于 两点，则直线 的方程为___________． 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程，所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 2.（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆 和圆 ，则（    ） A．圆 与圆 相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径对于A，显然，圆与圆相交，故A错误;对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误;对于C，因为，，所以公切线段长为，故C错误;对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确;故选：D. 3.（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系 中，已知圆 ： 和圆 ： 交于 两点，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】联立方程组，可得直线的方程，原点到直线的距离为，在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点，，在中，，所以，所以.故选：C. 4.（25-26高二下·上海·期中）已知圆 与 相交于 、 两点，则公共弦 的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】由两圆方程相减即得，此为公共弦AB所在的直线方程.圆的圆心，半径.到直线AB的距离为，故公共弦长.故选：B. 5.（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的公共弦长为________. 【详解】圆 ，圆心为，半径为；圆 ，圆心为，半径为；圆心距，因为，所以两圆相交.两圆方程相减得公共弦方程为：，即，故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 6.（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆 与 ，则圆 与圆 的公共弦长为________． 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 7.（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆 ： 与圆 ： 的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【详解】如图：由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 8.（2026·河北保定·二模）已知 关于直线 对称， ，则 与 的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称，所以在上，则有，解得，则，，则，半径，，，，故与相交，则与的公切线的数量为，故选B. 9.（2026·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知圆 ： 与圆 ： ，则（    ） A．圆 的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆 与圆 相交 D．圆 与圆 的公共弦的长为 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误；由圆：得圆心，半径，所以，故B正确；又，所以，所以圆与圆相交，故C正确；由，两式相减得：，由圆心到直线的距离为：，所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 10.（25-26高二下·福建厦门·期中）（多选题）记圆 ： ，圆 ： ，则（   ） A． B．若坐标原点在圆 上，则点 在圆 上 C．若圆 与圆 内切，则 D．当 时，圆 与圆 的相交弦方程为 【详解】对A：易知，，所以，故A错误； 对B：因为坐标原点在圆上，所以，所以圆：，由，所以点在圆上，故B正确； 对C：若圆与圆内切，则，故C错误； 对D：当时，圆：，圆：，两圆相交，所以圆与圆的相交弦方程为，化简得，故D正确. （1）代数法判断圆 与圆 的位置关系 由 ,可得 ，即 ， 代入 ，解得 或 ，故得 或 , 所以两圆位置关系为相交，的交点坐标为 和 （2）几何法判断圆 的位置关系 将两圆的方程化为标准方程，分别为 ， ， 由此可知圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ， 因此两圆的圆心距 ， 又因为 ，所以 ，所以两圆内切． 1.（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，又圆的半径为1，所以切线长为，故选：C． 2.（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切.故选：D． 3.（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为，则，解得， 所以圆的方程为.故选：A 4.（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 ∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为.∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得.故选：C. $