2.5.1直线与圆的位置关系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖判定方法、弦长公式、切线方程及实际应用等核心知识点。课堂导入通过复习圆的方程和点到直线距离公式，以表格对比几何法与代数法作为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合多版本教材例题，设置AI思考辨析与变式探究，如轮船触礁问题用坐标法建模，培养数学思维与模型意识。通过分层训练和实际案例，帮助学生提升运算能力与应用意识，也为教师提供丰富教学资源，提高课堂效率。

第二章　直线和圆的方程 2.5.1　直线与圆的位置关系 学 习 目 标 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系及判断 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0). 位置 关系 公共 点个 数 图示 判定方法 几何法:计算圆心到直线的距离 d=    相交 2   Δ>0 d　　r  相切 1   Δ=0 d=r 相离 0   Δ　　0  d　　r  < < > AI·思考辨析 1.利用几何法、代数法均可判断直线与圆的位置关系,你认为哪种方法更简单? 提示 几何法相对运算量要小一些. 2.如图所示,直线l与圆相交于点A,B,设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则弦长|AB|,r,d三者之间的关系是怎样的? 提示 |AB|=2. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(　　) (2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　　) × √ √ 2.(人教B版教材习题改编)已知直线2x+y-5=0和圆(x-1)2+(y+2)2=6. (1)圆心到直线的距离d=　　　　;  (2)直线与圆的位置关系为　　　　.  相交 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　直线与圆位置关系的判定 【例1】 (人教B版教材例题改编)已知直线y=x+b,圆x2+y2=2,分别求b取何值时,直线与圆相交、相切、相离. 解 (方法1)联立直线的方程与圆的方程,得方程组 从方程组中消去y,整理得2x2+2bx+b2-2=0, 这个方程的判别式Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2). 当且仅当-2<b<2时,Δ>0,方程有两个不相等的实数解,此时直线与圆有两个公共点,直线与圆相交; 当且仅当b=2或b=-2时,Δ=0,方程有两个相等的实数解,此时直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切; 当且仅当b<-2或b>2时,Δ<0,方程没有实数解,此时直线与圆没有公共点,直线与圆相离. (方法2)因为圆的半径r=,圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d=. 当且仅当d<r,即,-2<b<2时,直线与圆相交; 当且仅当d=r,即,b=2或b=-2时,直线与圆相切; 当且仅当d>r,即,b<-2或b>2时,直线与圆相离. 变式训练1　(北师大版教材例题改编)已知直线l:2x+y-3=0,圆M:(x-a)2+y2 =5.求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离. 解 根据点到直线的距离公式, 得圆心M(a,0)到直线l的距离为d=. 当d<,即-1<a<4时,直线l与圆M相交; 当d=,即a=-1或a=4时,直线l与圆M相切; 当d>,即a<-1或a>4时,直线l与圆M相离. 能力提升点二　圆的弦长问题 【例2】 (苏教版教材习题)圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求弦AB的长; (2)当弦AB被点P0平分时,求直线AB的方程. 解 (1)(方法1)当α=135°时(如图1),直线AB的斜率是k=tan 135°=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.① 把①代入圆的方程x2+y2=8,得x2+(-x+1)2=8,即2x2-2x-7=0. 图1 (方法2)当α=135°时(如图1),直线AB的斜率是k=tan 135°=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.设弦AB的中点为M,圆心为O(0,0),则OM⊥AB, 图1 (2)当弦AB被点P0平分时(如图2),OP0⊥AB. 因为直线OP0的斜率为-2,所以直线AB的斜率为. 根据点斜式方程,得直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0. 图2 AI探究1 (变条件)若|AB|=2,求直线AB的方程. 解 因为|AB|=2,所以圆心到直线AB的距离d==1. 当直线AB的斜率不存在时,d=1,符合题意. 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0, 则d==1,解得k=-,此时直线AB的方程为y-2=-(x+1),即3x+4y-5=0. 综上,直线AB的方程为3x+4y-5=0或x=-1. AI探究2 (变条件)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程. 解 当圆心到AB的距离d最大时,弦AB的长最短,此时OP0⊥AB. 因为=-2,所以kAB=,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0. 能力提升点三　求圆的切线方程 【例3】 (人教B版教材例题)已知M(1,2)是圆x2+y2=5上一点,求圆的过点M的切线方程. 解 (方法1)如果切线的斜率不存在,则切线方程为x=1,但圆心O(0,0)到x=1的距离为1,不等于圆的半径,矛盾.因此切线的斜率一定存在,设为k,从而切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知,解得k=-,所以切线的点斜式方程为y-2=-(x-1),因此所求方程为x+2y-5=0. (方法2)圆的圆心为O,而且OM是与切线垂直的,如图所示. 因为kOM==2,所以切线的斜率为-, 从而可知切线的点斜式方程为y-2=-(x-1), 因此所求方程为x+2y-5=0. 例题探究1 (一般化结论)若点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的一点,则圆的过点M的切线方程是什么? 解 设切线上任意一点P(x,y)(x≠x0),O为圆心,则,所以=0, 即(x-x0)x0+(y-y0)y0=0, 所以x0x+y0y-()=0. 又点M(x0,y0)在圆上,所以=r2. 所以圆的过点M的切线方程为x0x+y0y=r2. 例题探究2 (变条件)将例3中圆的方程改为“(x-2)2+(y-4)2=1”,其余条件不变,如何求? 解 当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1,符合题意; 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0, 由圆心到切线的距离等于圆的半径可得=1,解得k=, 所以切线的点斜式方程为y-2=(x-1),即3x-4y+5=0. 综上,所求方程为x=1或3x-4y+5=0. 能力提升点四　直线与圆位置关系的实际应用 【例4】 如图,在港口A的正南方60 km处有一座小岛,小岛的周围有很多暗礁,分布在以小岛的中心O为圆心、半径为20 km的圆形区域内.一艘轮船在小岛东偏南45°方向的B处,且与小岛的中心O相距40 km,准备沿直线返回港口A.如果这艘轮船不改变航线,那么它是否有触礁的危险? 解 以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,取10 km为单位长度. 由题意可得:点A的坐标为(0,6),点B的坐标为(4,-4),暗礁区域的边界所在圆的方程为x2+y2=4. 所以,直线BA与圆x2+y2=4相离. 因此,即使不改变航线,这艘轮船也不会有触礁的危险. 变式训练2　(2026四川高二期中)如图,已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘轮船从位于海监船正东30 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北40 km的B处岛屿,速度为28 km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时长为(　　) A.1小时 B.0.75小时 C.0.5小时 D.0.25小时 C 解析 如图,以O为原点,OA,OB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 由题意可知,A(30,0),B(0,40),圆O的方程为x2+y2=252,半径r=25, 故直线AB的方程为=1,即4x+3y-120=0. 设点O到直线AB的距离为d,则d==24<25, 故直线与圆相交,所以该轮船能被海监船监测到. 如图,设直线与圆的交点为M,N, 取MN的中点H,连接OH,则OH⊥MN, 所以|MN|=2=2=2×=14. 设监测时间为t,则t=小时, 故该轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时.故选C. AI考教衔接 [高考真题] (2025全国1)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) B 解析 由题知,该圆的圆心为C(0,-2),半径为r,圆心C到直线的距离d==2, ∴要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则d-1<r<d+1,即1<r<3.故选B. [教材溯源] (人教A版教材习题)已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1? 解 如图,由已知得圆x2+y2=4的半径长是2, 圆心O到直线l的距离为. 令=1,则b=±. 当b=时,与直线y=x+平行且距离等于1的直线是y=x和y=x+2. 直线y=x+2与圆x2+y2=4相切,切点到直线y=x+的距离是1; 直线y=x与圆x2+y2=4相交,两个交点与直线y=x+的距离是1. 因此当b=时,圆x2+y2=4上有三个点到直线l的距离都是1. 同理,当b=-时,圆x2+y2=4上也有三个点到直线l的距离都是1. 综上,当b=±时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与圆的三种位置关系及其判断; (2)弦长公式; (3)求圆的切线方程; (4)直线与圆位置关系的实际应用. 2.方法归纳:几何法、代数法、坐标法、数形结合法. 3.常见误区:(1)求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况;(2)不能正确进行数学建模. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(AI原创)已知圆的方程为x2+y2-2x=0,直线的方程为x+y-2=0,则该直线与圆的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 A 解析 由题知,圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),r=1, 则圆心到直线x+y-2=0的距离为d=<r=1, 故直线与圆相交.故选A. 1 2 3 4 5 2.[2023天津期末]直线l:x-y+2=0被圆O:x2+y2=9截得的弦长为(　　) A 1 2 3 4 5 3.(多选题)(2026安徽阜阳高二期末)已知圆的方程为x2+y2-8x-8y+3=0,过点(1,0)的直线交该圆于A,B两点,则弦长|AB|的值可能为(　　) A.6 B.3 C.9 D.11 AC 解析 由题可知,圆x2+y2-8x-8y+3=0的圆心为(4,4),半径r=. 又(1-4)2+(0-4)2=25<29,所以点(1,0)在圆内, 所以|AB|min=2×=4,|AB|max=2, 即|AB|∈[4,2]. 又=116<121,即2<11.故选AC. 1 2 3 4 5 4.(苏教版教材习题改编)过点(1, )且与圆x2+y2=4相切的直线的方程为 　 .  1 2 3 4 5 5.(北师大版教材习题)已知直线l经过点P(1,0),圆C:x2+y2+2x-6y+6=0. (1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的方程; (2)若直线l与圆C相切,求直线l的方程; 1 2 3 4 5 解 将x2+y2+2x-6y+6=0化为(x+1)2+(y-3)2=4,可得圆心C(-1,3),半径r=2. (1)直线l经过圆心C时,斜率k==-, 所以直线l的方程为y=-(x-1),即3x+2y-3=0. (2)若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则=2,解得k=-,此时,直线l的方程为-x-y+=0,即5x+12y-5=0. 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,即x-1=0,满足题意. 综上可知,直线l的方程为5x+12y-5=0或x-1=0. 1 2 3 4 5 (3)易知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则,所以k=-或k=-. 所以直线l的方程为-x-y+=0或-x-y+=0,即29x+2y-29=0或x+2y-1=0. 本 课 结 束 解 (1)已知圆的圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线的距离d=. (2)因为圆的半径为,所以直线与圆相交. 解此方程,得x=, 即A,B两点的横坐标分别为x1=,x2=. 从而A,B两点的纵坐标分别为y1=,y2=. 所以|AB|=. 所以|OM|等于圆心O到直线AB的距离,即|OM|=. 又圆的半径r=2,于是可得|AB|=2|AM|=2=2. 轮船航线所在的直线BA的方程为,即5x+2y-12=0. 由点到直线的距离公式,得圆心O(0,0)到直线BA的距离d=>2. A.2 B. C.2 D. 解析 由圆O:x2+y2=9,得圆心O(0,0),半径r=3, ∴圆心O到直线l:x-y+2=0的距离d=, ∴弦长为2=2.故选A. 解析 易知直线的斜率存在,设为k,则直线方程为y=k(x-1)+. 圆心到直线的距离d=. 又直线与圆相切,所以=2,解得k=-, 所以直线的方程为y=-(x-1)+,即x+y-4=0. x+y-4=0 (3)若直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程. $