1.1 探索勾股定理 同步培优练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过基础选择填空、中档解答题及综合探究题的三层设计，实现从概念理解到实际应用再到创新探究的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养几何直观、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理基本概念及简单计算（如选择2、3，填空11、12）|结合赵爽弦图等经典情境，强化符号意识与抽象能力| |中档层|定理变式应用及实际问题（如选择8、9，解答16、17）|融入楼梯地毯、旗杆折断等生活场景，发展应用意识与空间观念| |提升层|综合探究及跨情境迁移（如解答19、20）|通过“双求法”证明及四边形面积计算，培养推理能力与创新意识|

1.1 探索勾股定理同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.图是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 2.如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.在中，，且，则两直角边，的关系是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为  (    ) A. B. C. D. 5.在中，，，则下列式子成立的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，且，，则  (    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 8.如图为某楼梯，测得楼梯的长为，高为，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为(    ) A. B. C. D. 9.如果一直角三角形的三边长分别为，，，那么以为边长的正方形的面积为  (    ) A. B. C. D. 或 10.如图，在中，，，以和为底边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，若的面积为，的面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，则旗杆折断之前有          高． 12.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为，则斜边长为          ． 13.如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度为           14.如图所示，在中，，若，，则          ． 15.如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了到，底端滑动到，那么的长是           三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理． 请用含，，的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积，并利用“等面积法”推导，，之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 17.如图，在中，，为边上一点，且，的面积为，求的长． 18.学习了勾股定理的证明方法后，小明用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示的正方形．若大正方形的面积为，小正方形的面积为，求每个小长方形纸片的对角线长． 19.如图，在四边形草坪中，若，，，求这块草坪的面积． 20.综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力如图，这是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图放置，，交于点，其三边长分别为，，，，显然． 请用，，分别表示出图中四边形、梯形和的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图，小方格都是边长为的正方形，则中边上的高是           如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16. 解：由题图得梯形面积为  此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，因此可得，即．  17. 解：，． 在中，，．  18. 解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，，，，，每个小长方形纸片的对角线长．  19. 解：连接． 在中，由勾股定理，得． ． 在中，由勾股定理，得， ． ． ． 这块草坪的面积为．  20. 【小题】 ，，，，． 【小题】 【小题】 在中，由勾股定理，得．，在中，由勾股定理，得，，解得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $