1.3勾股定理的应用同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现勾股定理从概念理解到实际问题解决的进阶，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式应用|如拉船问题、电线杆拉线，直接考查勾股定理计算，巩固运算能力| |情境应用|实际问题建模|如“折竹抵地”“芦苇摆动”，通过古算题、生活场景培养模型意识| |综合拓展|多知识点综合|如长方体表面最短路径、圆柱爬行路线比较，结合空间展开与动态问题，发展空间观念与推理能力|

1.3勾股定理的应用同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 2．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题,今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是,一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A．x2＋62＝102 B．（10－x）2＋62＝x2 C．x2＋（10－x）2＝62 D．x2＋62＝（10－x）2 3．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 4．如图，有两颗树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 5．如图，在正方形网格内，,,,四点都在小方格的格点上，则（ ） A． B． C． D． 6．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 8．如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（   ）    A． B． C． D． 9．工人师傅从一根长90 cm的钢条上截取一段钢条恰好与两根长分别为60 cm，100 cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为(　　) A．80 cm B．20 cm C．80 cm或20 cm 　　 D．60 cm 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”.弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形.已知为 较长的直角边，若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题） 11．图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 12．如图，一根电线杆在离地面12米处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是______. 13．如图，于点，于点，点是中点，若，，，则的长是  . （第4题图） 14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 ． 15．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为 cm． 16．把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点为另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另为三个锐角顶点B、C、D在同一条直线上．若， ．    三、解答题（本大题共5小题） 17．某教学楼走廊左、右两侧是竖直的墙和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内） (1)求梯子的长； (2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长． 18．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索的长度为5米，若木马从点运行到点，上升的高度为1米，且绳索保持拉直的状态，求此时木马沿水平方向向前推进的距离． 19． 如图，在中，,若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒.(1)若点在上，且满足时，求此时的值； (2)若点恰好在的平分线上，求的值. 20．先阅读下面的材料，再解决问题. 【实际问题】如图1，一圆柱的底面半径为5cm，是底面直径，高为5cm，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线，小明设计了两条路线. 【解决方案】路线 1：侧面展开图中的线段，如图所示 设路线1的长度为，则. 路线2：高线底面直径. 设路线2的长度为，则. 为比较，的大小，采用“作差法”： 因为； 所以，所以， 所以小明认为路线2较短. （1）【问题类比】小亮对 上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm，高为5 cm".请你用上述方法帮小亮比较出与的大小. （2）【问题拓展】请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为cm，高为cm，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短?请说明理由. （3）【问题解决】如图是紧密排列在一起的2个相同的圆柱，高为5cm.当蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径. 21．阅读材料：如图1，汽车M从镇匀速行驶至镇时，汽车恰好从镇匀速行驶至镇.汽车与的速度比为3：4，通过推理计算可以得出. 抽象应用：如图2，在四边形ABCD中，为垂足，.当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，当点与点重合时，恰好为AB中点. （1）求AC的长. （2）连结PQ，当点与点重合时，判断PQ与CD的位置关系，并说明理由. （3）连结DP，当是以AP为腰的等腰三角形时，求BQ的长. 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C B B B A A D 11．16 12．18米 13．12 14． 15．2 16． 17．（1）解：， ， 在中，，， ； （2）解：在中，，， ， ． 18．解：如图所示，过点C作于点F， 根据题意得：米，米， 所以（米）， 由勾股定理可得， 所以， 所以（米）， 所以木马向前推进的长度为3米． 19．(1)如图1，,在中，设,则, 在中，根据勾股定理得(8,解得, 即此时的值为. (2)分两种情况： ①如图2所示，点在上时，过点作,则, 平分,且 在与中， 在中，根据勾股定理得 即,解得 ②点又回到点时， 综上所述，点在的平分线上时，的值为.或24. 20．（1）因为圆柱的底面半径为1cm，高为5cm， 所以路线1：； 路线2：，则 因为， 所以，所以， 所以路线1较短 （2）因为圆柱的底面半径为cm，高为cm， 所以路线1：， 路线2：， 所以. 因为恒大于0，所以当，即时，， 此时路线2较短 （3）圆柱的高为5 cm. 路线1：， 路线2：， 由题意，得， 解得 即当圆柱的底面半径为时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等. 21．（1）由题意得恰好为AC中点 设 （2）① 如图，当点在AB中点时，延长QP交CD于点， ，点在AB中点 （3） 设. . 第一种：时， 第二种：时，如图 设. . . 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $