1.3 勾股定理的应用 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“勾股定理的应用”同步练，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的进阶，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理及逆定理直接应用|单选题1-3（网格边长、台阶模型、古埃及画直角），夯实概念理解| |中档|折叠/网格/简单实际问题|单选题4-7（梯子滑落、折叠面积、笔筒铅笔问题）、填空题11-13（网格直角三角形、噪音影响），提升推理与运算能力| |提升|复杂情境综合应用|解答题17-20（台风影响、航海距离、最短路径），融合空间观念与模型意识，培养问题解决能力|

1.3 勾股定理的应用 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 3．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（    ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 4．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 5．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ） A． B． C． D． 8．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 9．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 10．如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 二、填空题 11．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____． 12．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    14．如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是________． 15．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 三、解答题 16．如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．    (1)_____ (2)求线段的长． 17．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 18．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 19．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度． 20． 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A B A D C D C 1．【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，，， ∴四边形的边长为整数的边是和． 故选B． 2．【答案】A 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵， ∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 4．【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查正确运用勾股定理．梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 故选：A． 5．【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，可知铅笔在外面部分的取值范围，再判断答案即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 此时铅笔外面得长度为． ∵斜放得铅笔底端放的位置不同， ∴， ∴铅笔在外面部分的取值范围为， ∵， ∴这支铅笔在笔筒外面的部分长度不可能是4cm． 故选：A． 7．【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．明确少走的路长为是解题的关键． 【详解】解：如图，点为长方形的顶点，点和点都在长方形的边上且，， ∴， ∴， ∴他们少走的路长为：． 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 11．【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、 ，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、 ，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、 ，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 12．【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为 s． 故答案为：． 14．【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 15．【答案】16 【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 16．【答案】(1)16 (2)． 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质可得，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，∴， 故答案为：16； （2）解：∵将沿折叠， ∴， 设， 则， 即， 解得，即． 17．【答案】(1) 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)持续小时 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 18．【答案】大卖场E应建在离A站千米处 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 因为，所以，解得， 所以大卖场E应建在离A站千米处． 19．【答案】海里/小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解；先根据勾股定理求出的长度，再根据路程时间关系求出速度即可． 【详解】解：在，，，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得， （海里/小时） 答：该船的行驶速度为海里/小时． 20．【答案】(1)，，，，； (2) ，， 画图如下，其中． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 借助网格图形与勾股定理分别计算出、、的长度，利用割补法求出的面积，再利用三角形的面积公式求出边上的高，即为点到的距离； 首先根据和的长度可知，，，借助勾股定理和网格图形画出和，连接，即可得到． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格， 可得：，，， 在的正方形中， ， 又， ， 解得：； 故答案为：，，，，； （2）解：略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $