1.3 勾股定理的应用 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，分层设计从基础计算到综合建模，通过生活情境题培养几何直观与空间观念，落实数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一情境勾股定理计算（如云梯靠墙、护城河高度）|直接应用公式，巩固概念理解| |中档|空间转化与方程应用（如长方体侧面缠绕、芦苇问题）|渗透数形结合，提升空间想象| |提高|动态与跨情境综合（如吊车噪声影响、晨跑路线比较）|发展推理能力，强化模型意识|

1.3勾股定理的应用 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一、选择题 1.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米，如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向滑动了． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.将一根长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 3.如图，一个三级台阶每一级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的顶点，点的蚂蚁想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为(    ) A. B. C. D. 4.九章算术中的“勾股”章有一题，大致意思是：现有一个长方形的门，已知该门的高比宽多尺，门的对角线长尺，则门的高和宽各是多少若设门的宽为尺，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 5.如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(    ) A. B. C. D. 6.如图，长方体的底面边长为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要  (    ) A. B. C. D. 7.如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为若的长为，则鱼竿的长为(    ) A. B. C. D. 8.勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是    ． A. B. C. D. 二、填空题 9.如图，一座城墙高，墙外有一条宽为的护城河，那么一架长为的云梯          到达城墙的顶端。填“能”“不能” 10.如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面尺若把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为          尺 11.如图，小明用的木棒加固小树，已知，，，则木棒底端距树根的距离           12.如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，若设学校旗杆的高度是，则可列方程为          ． 13.如图，两个正方形的面积分别是和，则的长为          ． 14.如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处已知点，，在同一条直线上，，经过测量，，则           ． 15.如图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图现测得，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接即根据安全标准需满足，则该婴儿车          填“符合”或“不符合”安全标准． 三、解答题 16.如图，小明欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达地点米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多米，求该河的宽度． 17.如图，两艘轮船和分别从港口同时出发，轮船以海里时的速度向东北方向航行，轮船以海里时的速度向东南方向航行，行驶个小时后，，两船的距离是多少海里 18.如图，在一棵树的高处有只猴子，一只猴子爬到树下走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跳跃到处，且两只猴子经过的路程相等。 设的长为，用含的式子表示的长 求这棵树的高度。 19.吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． 求的度数． 学校会受噪声影响吗？为什么？ 若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 20.年是“全运年”，第十五届全运会于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和D.已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． 试判断与的位置关系，并说明理由 如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  【解析】设．，． 解得． ．故选B． 8.【答案】  【解析】由题意可知，，，，设，则，由勾股定理，得，，解得，即绳索的长是故选A． 9.【答案】不能  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  【解析】解：两个正方形的面积分别是和， ，， 根据勾股定理得：． ． 14.【答案】  15.【答案】符合  16.【答案】解：设该河的宽度为米，则米． 由勾股定理，得，即，解得． 答：该河的宽度为米．   17.【答案】解：由题意，得， 海里， 海里， 根据勾股定理，得 ， 所以海里。 答：两船的距离是海里。   18.【答案】【小题】 解：由题意，得 ， ， 所以 【小题】 ， 在中，由勾股定理，得 ， ， 解得，。 答：这棵树高米。 19.【答案】【小题】 解：依题意，得，，， ． 是直角三角形，． 【小题】 学校会受噪声影响．理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 吊车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响． 【小题】 如图，在上取一点，使，连接． ． 当吊车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ． 在中，， ． ． ． 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为． 20.【答案】【小题】 ． 理由如下： 由题意可知，， 点在点的正东方处， 即． 因为， 所以是直角三角形，， 所以． 【小题】 由题意可知，． 在中， 由勾股定理，得， 故BD． 因为， ，， 所以， 所以小亮跑的路线更短． 学科网（北京）股份有限公司 $