第十六章《整式的乘法》（知识点+例题+练习） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了整式的乘法知识体系，将幂的运算、整式乘除、乘法公式三大模块按“定义-公式-推广-逆用”的逻辑呈现，突出公式间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如逆用幂的乘方比较大小（题型四）、结合图形面积验证乘法公式（题型十三），培养运算能力与几何直观素养。基础题夯实公式应用，拔高题提升推理意识，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第十六章 整式的乘法 【人教版】 一、幂的运算 1．同底数幂相乘 都是正整数) ，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【知识点理解】 （1） 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2．幂的乘方 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【知识点理解】 （1） 公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 3．积的乘方 都是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【知识点理解】 （1） 公式的推广： (为正整数). （2） 逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 二、整式乘法 1.整式的乘法 （1）单项式×单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 （2）单项式×多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加 （2）多项式×多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 【知识点理解】 （1） 单项式×多项式问题就是转化为单项式×单项式 （2） 多项式×多项式问题就是转化为单项式×多项式 （3） 与数的混合运算一样，整式的混合运算也要注意运算顺序 2．同底数幂相除 都是正整数，并且)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定，即任何不等于的数的次幂都等于. 【知识点理解】 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 3．整式除法 (1)单项式÷单项式：把系数和同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它指数一起作为商的因式。 （2）多项式÷单项式：把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 三、乘法公式 1．乘法公式 （1）平方差公式：两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即： （a+b）（a-b）=a2-b2 (2) 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这个两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍。即： ①（a+b)2=a2+2ab+b2 ②（a-b)2=a2-2ab+b2 （3）添括号法则：若括号前面是正号，则括号里面的每一项符号不变；若括号前面是负号，则括号里面每一项都要改变符号 2 / 45 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 题型一、同底数幂相乘 【例题 1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【练习 1.1】若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【练习 1.2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【练习 1.3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、同底数幂乘法的逆用 【例题 2】（25-26八年级上·广东揭阳·开学考试）若，则=________ 【练习 2.1】若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 【练习 2.2】如果，则_______． 【练习 2.3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 题型三、幂的乘方运算 【例题 3】计算： (1)； (2)； 【练习 3.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 3.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列计算是否正确，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【练习 3.3】已知，则的值为________． 题型四、幂的乘方的逆用 【例题 4】已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【练习 4.1】若，，则，的大小关系是______________． 【练习 4.2】我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【练习 4.3】已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型五、积的乘方运算 【例题 5】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 5.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【练习 5.2】现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________． 【练习 5.3】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）已知：，，则的值为______． 题型六、积的乘方的逆用 【例题 6】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【练习 6.1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【练习 6.2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【练习 6.3】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 题型七、幂的混合运算 【例题 7】计算：． 【练习 7.1】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 7.2】（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【练习 7.3】按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 题型八、单项式乘单项式 【例题 8】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 8.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 8.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【练习 8.3】（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) 题型九、单项式乘多项式 【例题 9】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【练习 9.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【练习 9.2】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【练习 9.3】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）化简求值：，其中，． 题型十、多项式乘多项式 【例题 10】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【练习 10.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【练习 10.2】若，则____________． 【练习 10.3】（25-26九年级下·山东·自主招生）已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 题型十一、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【例题 11】已知，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【练习 11.1】若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 【练习 11.2】若，则的值是_______． 【练习 11.3】小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 题型十二、乘积不含某项求参数的值 【例题 12】若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 【练习 12.1】一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【练习 12.2】已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【练习 12.3】若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 题型十三、多项式乘积与图形面积 【例题 13】图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【练习 13.1】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【练习 13.2】如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【练习 13.3】如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 题型十四、同底数幂的除法 【例题 14】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【练习 14.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 14.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【练习 14.3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五、同底数幂除法的逆用 【例题 15】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【练习 15.1】已知，则等于（     ） A． B． C． D．3 【练习 15.2】若，，则（     ） A．34 B．32 C．18 D．9 【练习 15.3】已知，，求①；②的值． 题型十六、0指数幂及应用 【例题 16】的相反数为（     ） A． B． C．1 D． 【练习 16.1】若，则______． 【练习 16.2】下列命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C． D．如果，则 【练习 16.3】已知，，．若的值与的取值无关，则________． 题型十七、多项式除以单项式 【例题 17】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 17.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练习 17.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【练习 17.3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十八、整式的混合运算 【例题 18】（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【练习 18.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【练习 18.2】已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 【练习 18.3】对于一个各位数字均不相同的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“双合数”．最小的“双合数”是_________；一个“双合数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，记，若是一个整数，则满足条件的M的最大值是_________． 题型十九、平方差公式 【例题 19】已知，，则________． 【练习 19.1】化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【练习 19.2】如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在对角两块长为米，宽为米的长方形区域修建两座雕塑，剩余地方进行绿化． (1)求绿化区域的面积（用含，的式子表示，结果化到最简）； (2)当，时，求绿化区域的面积． 【练习 19.3】学习了平方差公式：，小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以出现平方差公式的结构，从而解决问题． 例如：计算． 解：原式， ， ， ． 根据上面的方法，解决以下的问题： (1)__________． (2)计算的值． (3)计算的值（，为正整数）． 题型二十、完全平方公式 【例题 20】（26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【练习 20.1】有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 【练习 20.2】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 【练习 20.3】按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． $第十六章 整式的乘法 【人教版】 一、幂的运算 1．同底数幂相乘 都是正整数) ，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【知识点理解】 （1） 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2．幂的乘方 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【知识点理解】 （1） 公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 3．积的乘方 都是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【知识点理解】 （1） 公式的推广： (为正整数). （2） 逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 二、整式乘法 1.整式的乘法 （1）单项式×单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 （2）单项式×多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加 （2）多项式×多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 【知识点理解】 （1） 单项式×多项式问题就是转化为单项式×单项式 （2） 多项式×多项式问题就是转化为单项式×多项式 （3） 与数的混合运算一样，整式的混合运算也要注意运算顺序 2．同底数幂相除 都是正整数，并且)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定，即任何不等于的数的次幂都等于. 【知识点理解】 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 3．整式除法 (1)单项式÷单项式：把系数和同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它指数一起作为商的因式。 （2）多项式÷单项式：把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 三、乘法公式 1．乘法公式 （1）平方差公式：两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即： （a+b）（a-b）=a2-b2 (2) 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这个两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍。即： ①（a+b)2=a2+2ab+b2 ②（a-b)2=a2-2ab+b2 （3）添括号法则：若括号前面是正号，则括号里面的每一项符号不变；若括号前面是负号，则括号里面每一项都要改变符号 2 / 45 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 题型一、同底数幂相乘 【例题 1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加分别对（1）、（2）、（3）小题进行计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【练习 1.1】若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、合并同类项 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 【练习 1.2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】各小题根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【练习 1.3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 题型二、同底数幂乘法的逆用 【例题 2】（25-26八年级上·广东揭阳·开学考试）若，则=________ 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件计算． 【详解】解：， 将，代入上式，得． 【练习 2.1】若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】逆用同底数幂的乘法的性质即可求出结果. 【详解】解：∵根据同底数幂的乘法法则，逆用可得 ， 又∵，， ∴. 【练习 2.2】如果，则_______． 【答案】2 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂乘法运算法则与指数方程求解． 借助幂的运算法则提取公因式化简式子，依据底数相等的幂指数相等求． 【详解】解： 【练习 2.3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 题型三、幂的乘方运算 【例题 3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算 【分析】幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：== （2）解：== 【练习 3.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，利用幂的乘方法则计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【练习 3.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列计算是否正确，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)错误，理由：； (2)错误，理由：； (3)错误，理由：． 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【练习 3.3】已知，则的值为________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 题型四、幂的乘方的逆用 【例题 4】已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 【练习 4.1】若，，则，的大小关系是______________． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】将两个幂变形为指数相同的形式，再根据指数相同，正整数指数幂中底数越大，幂越大即可得． 【详解】解： ，， ∵， ∴． 【练习 4.2】我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】利用的数值关系，结合幂的运算规则推导指数间的等式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴． 【练习 4.3】已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、有理数的乘方运算 【分析】本题先计算各数的最高次指数，化简各数后，利用幂的性质比较大小：同底数且底数大于1时，指数越大幂越大；同正指数时，底数越大幂越大． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 题型五、积的乘方运算 【例题 5】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【练习 5.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、幂的乘方运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【练习 5.2】现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】先根据新运算定义展开等式左边，利用幂的运算法则化简后，对比等式两边同类项的指数得到n的值，再求出系数k，最后计算即可． 【详解】解：根据新运算定义，可得， 根据积的乘方法则展开，得 原式， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 【练习 5.3】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）已知：，，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则，对已知等式变形，推导得到与的数量关系，再将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， 即，， ， 整理得， ， ， 将 代入得， ． 题型六、积的乘方的逆用 【例题 6】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 【练习 6.1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用、含乘方的有理数混合运算 【分析】两个幂的指数相同，可逆用积的乘方运算简化计算． 【详解】解： ． 【练习 6.2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算 【分析】本题利用积的乘方的逆运算简化计算，将不同指数的幂拆出同指数部分后合并计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝． 【练习 6.3】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 题型七、幂的混合运算 【例题 7】计算：． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】先根据同底数幂除法、幂的乘方、同底数幂乘法依次计算，再按照整式加减合并同类项即可求出答案． 【详解】解： ． 【练习 7.1】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【练习 7.2】（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】幂的混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 【练习 7.3】按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 题型八、单项式乘单项式 【例题 8】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【练习 8.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算单项式乘单项式 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【练习 8.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、幂的乘方运算、计算单项式乘单项式 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【练习 8.3】（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方运算、积的乘方的逆用、计算单项式乘单项式 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九、单项式乘多项式 【例题 9】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【练习 9.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算单项式乘单项式 【分析】单项式乘以多项式，需要将单项式与多项式的每一项相乘，再相加，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 【练习 9.2】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】先根据整式的运算法则进行化简，再代入求解即可得出答案． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 【练习 9.3】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）化简求值：，其中，． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、积的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解： 原式 ， 将，代入得， 原式 ． 题型十、多项式乘多项式 【例题 10】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式 【详解】（1）解： （2）解： 【练习 10.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【详解】（1）解： （2）解： 【练习 10.2】若，则____________． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】将等式左边展开后，利用多项式相等则同类项系数相等，先求出和的值，再计算． 【详解】解：， ，，， ，， 则． 【练习 10.3】（25-26九年级下·山东·自主招生）已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 【答案】5或 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解： ， ∵多项式， ∴，，，，，， ∵，，，，，均为整数， ∴或， 当时，则，结合可得，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 当时，则，结合可得，，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 综上所述，或． 题型十一、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【例题 11】已知，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则计算，然后对比对应项系数，即可获得答案． 【详解】解：， ∵， ∴对比对应项系数，得，． 【练习 11.1】若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】展开等式左侧的多项式乘法，通过对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：． ∵， ∴，， ∴． 【练习 11.2】若，则的值是_______． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先把右侧因式展开，再根据多项式相等时对应项系数相等，先通过常数项等式求出的值，再将代入一次项系数关系式算出，最后代入乘方式子计算出结果． 【详解】解：∵， ∴常数项：，解得 一次项系数：，代入，得 ∴． 【练习 11.3】小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，对比对应项系数得到的值； （2）先展开等式左侧得到与的值，再展开所求式子，整体代入计算得到结果． 【详解】（1）解：展开等式左侧得：， ∵，对应项系数相等， ∴； （2）展开等式左侧，得， ∵，对应项系数相等， ∴， ∴ ． 题型十二、乘积不含某项求参数的值 【例题 12】若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【详解】解：． ∵计算结果不含的一次项， ∴， 解得． 【练习 12.1】一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即，解得：． 【练习 12.2】已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】将展开，再根据题意可得，即可解答． 【详解】解： 的乘积不含二次项， ，解得． 【练习 12.3】若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 【答案】2 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先化简代数式，根据的系数求出的值，再计算所求绝对值式子的值，得到最终的值． 【详解】解：设，则原代数式化为， 将代回，展开得， ∵展开式中的系数为， ∴，解得， 将代入，得， ∴所求的值为． 题型十三、多项式乘积与图形面积 【例题 13】图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、列代数式 【分析】因为原长方形长为、宽为，沿对称轴剪开后得到的小长方形长为，宽为．因为中间空的部分是边长为的正方形，面积等于边长的平方，即．（方法不唯一） 【详解】解：∵中间空的部分是边长为的正方形， ∴面积为． 【练习 13.1】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 【练习 13.2】如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】36 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 【练习 13.3】如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减的应用、列代数式 【分析】先设长方形纸片长为，宽为，再结合正方形纸片周长分别求出和，进而得到，再根据长方形纸片周长与和的关系得出． 【详解】解：∵正方形纸片周长为， ∴正方形纸片边长为， 设长方形纸片长为，宽为， ∴，， 即，， ∵， ∴，即， ∵长方形纸片周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十四、同底数幂的除法 【例题 14】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，据此计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【练习 14.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【练习 14.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】幂的混合运算、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式除以单项式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 【练习 14.3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型十五、同底数幂除法的逆用 【例题 15】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂除法的逆用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】逆用同底数幂的除法法则，将变形为，代入已知值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 【练习 15.1】已知，则等于（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】根据幂的乘方的逆运算法则求出的值，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【练习 15.2】若，，则（     ） A．34 B．32 C．18 D．9 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用、有理数的乘方运算 【分析】先由同底数幂的除法运算的逆运算、幂的乘方运算的逆运算恒等变形，再将已知条件整体代入后计算即可得到答案． 【详解】解：． 【练习 15.3】已知，，求①；②的值． 【答案】①；② 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用 【分析】①根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案； ②根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案； 【详解】解：①∵，∴． 由同底数幂的乘法，得， 即； ②∵，∴， 由同底数幂的除法，得． 题型十六、0指数幂及应用 【例题 16】的相反数为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质、绝对值的化简和相反数的定义，按照运算顺序逐步计算出原式的值，再求出它的相反数即可． 【详解】解：∵ 任何不等于零的数的零次幂为 ，， ∴ ， ∴ 原式， ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数为． 【练习 16.1】若，则______． 【答案】0或7 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】根据“任何非零实数的0指数幂等于1、1的任意次幂等于1以及的偶次幂等于1”分情况讨论即可； 【详解】解：分三种情况讨论： 1、非零数的0次幂为1：若指数，底数，此时，满足等式，是有效解； 2、1的任意次幂为1：若底数，解得，此时，满足等式，是有效解； 3、的偶次幂为1：若底数，解得，此时指数是奇数，，不满足，舍去； 综上，的值为或． 【练习 16.2】下列命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C． D．如果，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质、两直线平行内错角相等、判断命题真假、对顶角相等、零指数幂 【详解】解：选项A，根据对顶角的性质，对顶角一定相等，无附加条件，∴A是真命题； 选项B，只有两直线平行时，内错角才相等，命题未给出两直线平行的前提，∴B是假命题； 选项C，成立的条件是，当时，无意义，命题未加限制条件，∴C是假命题； 选项D，当时，若，可得，不满足，∴D是假命题． 【练习 16.3】已知，，．若的值与的取值无关，则________． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用、整式加减中的无关型问题、零指数幂 【分析】先计算的结果，再根据多项式的值与的取值无关，可知所有含项的系数均为，求出，的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 题型十七、多项式除以单项式 【例题 17】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【练习 17.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【分析】多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【练习 17.2】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【练习 17.3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十八、整式的混合运算 【例题 18】（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）先通过整式的乘除运算去掉括号，再合并同类项化简，然后代入计算得出结果； （2）先用整式的乘法去掉小括号，合并同类项后，进行整式的除法运算，再代入的值计算得出结果． 【详解】（1）解： ． 将代入得： 原式． （2） ． 将代入得： 原式． 【练习 18.1】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【详解】（1）解： ； （2） ． 【练习 18.2】已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2)当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除 (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、整式四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）根据整式的乘法运算，展开后，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，根据整除的意义，解答即可； （3）根据题意，得，对进行化简求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 故当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除； （3）解： ， 且， ， 整理，得， ； 【练习 18.3】对于一个各位数字均不相同的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“双合数”．最小的“双合数”是_________；一个“双合数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，记，若是一个整数，则满足条件的M的最大值是_________． 【答案】 1098 6903 【知识点】新定义下的实数运算、整式四则混合运算 【分析】（1）由题意得，千位最小取1，由得；百位最小取0，由得，即可得最小的“双合数”； （2）先将与求和，代入、化简，得；再表示，代入化简得．因是13的倍数，故只需能被13整除．求最大值时，从大到小列举得，再取最大，得． 【详解】解：∵要使四位正整数最小， ∴千位取1， ∵， ∴， 则百位最小取， ∵， ∴， ∴最小的“双合数”是； 由题意得，，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴能被13整除， ∵， ∴必须能被13整除， ∵要使最大， ∴千位尽可能大， 当时，，，不能整除； 当时，，，不能整除； 当时，，，不能整除； 当时，，，能被13整除，符合条件． ∴满足条件的最大为． ∴， 则， ∴， ∴满足条件的的最大值为． 题型十九、平方差公式 【例题 19】已知，，则________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【详解】解： ，， ∴， ∴． 【练习 19.1】化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 【练习 19.2】如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在对角两块长为米，宽为米的长方形区域修建两座雕塑，剩余地方进行绿化． (1)求绿化区域的面积（用含，的式子表示，结果化到最简）； (2)当，时，求绿化区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)136平方米 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】（1）解：绿化区域的面积 平方米； （2）解：当，时， 绿化区域的面积平方米． 【练习 19.3】学习了平方差公式：，小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以出现平方差公式的结构，从而解决问题． 例如：计算． 解：原式， ， ， ． 根据上面的方法，解决以下的问题： (1)__________． (2)计算的值． (3)计算的值（，为正整数）． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，结果为；当时，结果为． 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】（1）仿照题干方法，通过构造平方差公式求解； （2）仿照题干方法，通过构造平方差公式求解； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：分两种情况讨论： 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 题型二十、完全平方公式 【例题 20】（26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式. 【详解】【小题1】解：, 故①填9，②填3. 【小题2】解： 故③填，④填5. 【小题3】解：, 故⑤填. 【小题4】解：, , 故⑥填使等式成立. 【练习 20.1】有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）由图1和图2得到两个关于的代数式，通过化简计算可得结果； （2）利用长方形的面积公式得长方形的面积为： ，计算得到二次三项式，根据得到的结果观察可得结论； （3）由图3可得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去三个正方形卡片A和两个正方形卡片B的面积，得到关于的代数式，再根据小问1的结果，即可求出图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， ， 由图2得：， ， ， 得：． （2）解：， 一个A类卡片面积为；一个B类卡片面积为；一个C类卡片面积为， 所以需要C类卡片张． （3）解：由小问1可得：；；， ， ， 由题意得：都是正数，， ， ，， ， 得：， ， ． 由图3可得： ． 【练习 20.2】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【练习 20.3】按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用、利用平方根解方程、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）结合图形面积关系，直接找，，三者之间的等量关系式； （2）利用完全平方公式对两边平方，再根据（1）中的等量关系，整体代入、，求出，进而求出的值； （3）换元法设，，先求出与，再利用完全平方变形求； （4）设，用含的代数式表示线段，根据重叠部分面积列方程，求出的值，再代入计算长方形的周长． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：把两边平方得：， 由（1）得：， 将、代入得：， 展开得，，即， 整理得：； （3）解：设，，则有，， 把两边平方得：，即， 把代入得：，即， 则； （4）解：设，则， 正方形，长方形， ，， 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即长方形面积为， ，即， 整理得：， 开方得：（负值舍去）， ，， 则长方形周长为． $