专题17.1用提公因式法分解因式（知识点总结+9大题型+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年八年级上册（新教材人教版）

17.1用提公因式法分解因式 【题型1】因式分解概念辨析 1.核心知识点总结 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是与整式乘法方向相反的恒等变形。 判断关键：左为多项式、右为整式积、变形后值不变。 2.高频考点梳理 选择题形式考查，选项常混编整式乘法、非整式乘积（含分式）、加减运算结果。 近年真题趋势：结合简单代数式变形，如含常数项的多项式变形。 3.易错点警示 混淆整式乘法与因式分解，如把误判为因式分解。 忽略右边必须是整式，如因含分式非因式分解。 漏看“积的形式”，如仍为和差形式，非因式分解。 4.解题技巧拆解 三步判断法：①左看是否为多项式；②右看是否为整式积；③验证变形是否恒等。 【例题1】．（25-26八年级上·吉林长春·月考）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）下列从左到右的等式变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 排除法：含分式、加减运算、单项式拆分的选项直接排除。 【题型2】确定多项式的公因式 1.核心知识点总结 公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，可是单项式或多项式。 确定三步骤：定系数（各项系数最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（相同字母最低次幂）。 2.高频考点梳理 单字母多项式公因式（如与的公因式）、多字母多项式公因式。 结合系数含负数、常数项的多项式，如与的公因式。 3.易错点警示 遗漏系数的最大公约数，如只提字母不提系数2。 误取相同字母的最高次幂，如把与的公因式写成。 忽略常数项的公因式，如的公因式含3而非仅。 4.解题技巧拆解 列表法确定公因式： 步骤 示例（多项式） 定系数 2、-4、6的最大公约数为2 定字母 共同字母为、 定指数 的最低次幂1，的最低次幂1 公因式 【例题2】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 【变式题2-1】．（25-26八年级上·湖南·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·海南儋州·期中）多项式的公因式是 ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·湖南·月考）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【题型3】直接提公因式分解因式 1.核心知识点总结 提公因式法定义：提取各项公因式，将多项式化为“公因式×另一个因式”的形式。 恒等变形依据：乘法分配律逆用()。 2.高频考点梳理 填空题为主，考查一次提公因式的基本运算，如分解、。 中考基础题常考：含单个字母、系数为整数的多项式分解。 3.易错点警示 提取公因式后漏写常数项“1”，如误分解为(正确为)。 公因式提取不彻底，如只提而非(已彻底)。 4.解题技巧拆解 四步分解法：①确定最大公因式；②多项式各项除以公因式得另一个因式；③写成“公因式×另一个因式”形式；④验证(整式乘法逆推)。 示例：分解，公因式，结果为。 【例题3】．（25-26八年级上·吉林长春·月考）分解因式： ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）分解因式： ． 【变式题3-3】．（2025·江西抚州·二模）因式分解： ． 【题型4】含负号的多项式提公因式分解(提升) 1.核心知识点总结 当多项式首项系数为负时，先提取“-”号，使括号内首项系数为正。 提取负号后，括号内各项要变号(符号法则：负负得正，正负得负)。 2.高频考点梳理 解答题基础问，如分解、。 结合符号变化的变形，是后续复杂分解的基础。 3.易错点警示 提取负号后漏变括号内某项符号，如误分解为(正确为)。 只提取负号不提系数公因式，如误分解为(正确为)。 4.解题技巧拆解 两步处理法：①提取“-”号，括号内各项变号；②提取括号内各项的最大公因式。 口诀：“负号先提，括号变号，再提公因式”。 【例题4】．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【变式题4-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）对下列多项式进行因式分解： (1)． (2)． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【题型5】含相反数因式的分解(提升) 1.核心知识点总结 互为相反数的因式转化：(为偶数时相等，为奇数时互为相反数)。 常用转化：，。 2.高频考点梳理 中档题常考，如分解、。 结合指数奇偶性考查转化技巧，是提升题的核心考点。 3.易错点警示 未统一相反数因式直接分解，导致无法提取公因式。 转化时符号错误，如误转化为(正确为)。 4.解题技巧拆解 统一因式法：①观察多项式中互为相反数的因式；②按“偶次幂不变，奇次幂变号”统一为相同因式；③提取公因式。 示例：分解，先转化为，再提公因式，结果为。 【例题5】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）因式分解： 【变式题5-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【题型6】多字母多项式提公因式分解(提升) 1.核心知识点总结 多字母多项式公因式：需同时满足“系数最大公约数+所有字母最低次幂”。 分解后另一个因式仍含多字母，需保证无剩余公因式。 2.高频考点梳理 选择题、填空题均有考查，如分解、。 结合字母指数变化，考查公因式确定的全面性。 3.易错点警示 遗漏某一公共字母，如误提而非。 忽略字母的最低次幂，如与的公因式误写为(正确为)。 4.解题技巧拆解 分层确定法：①先确定系数公因式；②逐字母分析最低次幂；③组合得到整体公因式；④多项式除以公因式得另一个因式。 验证技巧：分解后另一个因式中各字母指数无公约数，系数无公因数。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）因式分解： (1) (2)； 【变式题6-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型7】利用提公因式法简化计算(提升) 1.核心知识点总结 本质：逆用乘法分配律，提取公共因数(数或代数式)，将复杂运算转化为简单乘法。 适用场景：多项乘法含相同因数、数字较大或重复出现的因数。 2.高频考点梳理 计算题为主，如、。 中考常结合实数运算，如含π、整数拆分的计算(如999×998+1998)。 3.易错点警示 未识别隐藏的公共因数，如，导致无法提取公因式。 提取公因式后计算错误，如括号内加减运算失误。 4.解题技巧拆解 三步简化法：①观察各项公共因数(数或代数式)；②提取公共因数；③计算括号内加减，再算乘法。 口诀：“先找公因子，再提出来，最后简算”。 【例题7】．（16-17七年级下·河北·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ． 【变式题7-2】．（25-26九年级上·山东·阶段练习）利用分解因式计算： ． 【变式题7-2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用因式分解计算：． 【题型8】利用因式分解求值(培优) 1.核心知识点总结 思路：先分解多项式为“公因式×另一个因式”，再代入已知条件计算。 关键：通过因式分解将代数式转化为与已知条件相关的形式(如、)。 2.高频考点梳理 解答题考查，如已知，，求的值；已知，，求的值。 近年中考趋势：结合二元一次方程、代数式整体代入(如已知，求含的多项式值)。 3.易错点警示 先代入再计算，忽略因式分解导致运算复杂出错。 分解不彻底，导致无法代入已知条件(如未分解为)。 4.解题技巧拆解 求值四步法：①分解多项式(提公因式彻底)；②整理为与已知条件匹配的形式；③代入已知值；④计算结果。 整体代换技巧：将、、等看作整体，无需单独求字母值。 【例题8】．（2025八年级上·全国·专题练习）先因式分解再求值：，其中． 【变式题8-1】．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）先因式分解，再求值：，其中，． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【题型9】因式分解与几何综合(培优) 1.核心知识点总结 几何应用：结合三角形边长、面积公式，通过因式分解判断三角形形状(如等腰三角形)、求边长或面积。 关键：将几何条件转化为多项式，分解后利用边长非负性得出结论。 2.高频考点梳理 解答题中档题，如已知三边长、、满足，判断三角形形状；已知长方形面积为，一边长为，求另一边长。 结合几何图形的数量关系，考查因式分解的实际应用。 3.易错点警示 无法将几何条件转化为代数多项式，如面积公式变形错误。 分解后未结合几何意义(边长为正)排除不合理结论。 4.解题技巧拆解 综合三步法：①根据几何性质列代数式(如面积、边长关系)；②对代数式因式分解；③结合几何意义(非负性、边长关系)得出结论。 示例：由，分解得，因，故，为等腰三角形。 【例题9】．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是某小区的一块空地，现要对该空地进行改造，在空地内的点O处安装喷泉，且点O到三边的距离相等，即．的三边，，的长分别为a，b，c． (1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为_______； (2)现测得米，米，米，米．利用因式分解求这块空地的面积． 【变式题9-1】．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ． 【变式题9-2】．（24-25七年级下·河南郑州·期中）实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 【变式题9-3】．（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 5．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）与的最大公因式是 . 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知，，则 ． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式： ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算 (1) (2) 13．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）（1）计算：； （2）分解因式：． 14．（25-26七年级上·全国·期中）因式分解 (1) (2) 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)． (2)． (3)． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：    (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1用提公因式法分解因式 【题型1】因式分解概念辨析 1.核心知识点总结 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是与整式乘法方向相反的恒等变形。 判断关键：左为多项式、右为整式积、变形后值不变。 2.高频考点梳理 选择题形式考查，选项常混编整式乘法、非整式乘积（含分式）、加减运算结果。 近年真题趋势：结合简单代数式变形，如含常数项的多项式变形。 3.易错点警示 混淆整式乘法与因式分解，如把误判为因式分解。 忽略右边必须是整式，如因含分式非因式分解。 漏看“积的形式”，如仍为和差形式，非因式分解。 4.解题技巧拆解 三步判断法：①左看是否为多项式；②右看是否为整式积；③验证变形是否恒等。 排除法：含分式、加减运算、单项式拆分的选项直接排除。 【例题1】．（25-26八年级上·吉林长春·月考）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项是否满足从左边的多项式变形为右边的积形式． 【详解】∵因式分解要求等式左边是多项式，右边是整式的积； A中，左边是多项式，右边是整式积的形式，符合定义； B中，，不是因式分解； C中，左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； D中，左边是多项式，但右边是和的形式，不是积的形式，不符合定义； 故选：A． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、仅提系数，不属于因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不符合题意； 故选：B 【变式题1-3】．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）下列从左到右的等式变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 【题型2】确定多项式的公因式 1.核心知识点总结 公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，可是单项式或多项式。 确定三步骤：定系数（各项系数最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（相同字母最低次幂）。 2.高频考点梳理 单字母多项式公因式（如与的公因式）、多字母多项式公因式。 结合系数含负数、常数项的多项式，如与的公因式。 3.易错点警示 遗漏系数的最大公约数，如只提字母不提系数2。 误取相同字母的最高次幂，如把与的公因式写成。 忽略常数项的公因式，如的公因式含3而非仅。 4.解题技巧拆解 列表法确定公因式： 步骤 示例（多项式） 定系数 2、-4、6的最大公约数为2 定字母 共同字母为、 定指数 的最低次幂1，的最低次幂1 公因式 【例题2】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 【答案】B 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 【详解】解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·湖南·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了提公因式，解题的关键在于理解公因式的概念． 确定公因式需考虑系数和字母部分：系数取最大公约数，字母取最低次数，并注意首项符号． 【详解】解：多项式的各项系数为、16、12，最大公约数为4， 首项为负，故系数取； 字母的最低次幂为， 公因式为． 故选D． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·海南儋州·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，先确定系数的最大公约数，再确定相同字母的最低指数幂，掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：各项系数的最大公约数是，各项相同字母的最低指数次幂是， ∴公因式是， 故答案为：． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·湖南·月考）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 【题型3】直接提公因式分解因式 1.核心知识点总结 提公因式法定义：提取各项公因式，将多项式化为“公因式×另一个因式”的形式。 恒等变形依据：乘法分配律逆用()。 2.高频考点梳理 填空题为主，考查一次提公因式的基本运算，如分解、。 中考基础题常考：含单个字母、系数为整数的多项式分解。 3.易错点警示 提取公因式后漏写常数项“1”，如误分解为(正确为)。 公因式提取不彻底，如只提而非(已彻底)。 4.解题技巧拆解 四步分解法：①确定最大公因式；②多项式各项除以公因式得另一个因式；③写成“公因式×另一个因式”形式；④验证(整式乘法逆推)。 示例：分解，公因式，结果为。 【例题3】．（25-26八年级上·吉林长春·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键；提公因式分解因式即可． 观察多项式，两项均含有公因式，因此直接提取公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-3】．（2025·江西抚州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【题型4】含负号的多项式提公因式分解(提升) 1.核心知识点总结 当多项式首项系数为负时，先提取“-”号，使括号内首项系数为正。 提取负号后，括号内各项要变号(符号法则：负负得正，正负得负)。 2.高频考点梳理 解答题基础问，如分解、。 结合符号变化的变形，是后续复杂分解的基础。 3.易错点警示 提取负号后漏变括号内某项符号，如误分解为(正确为)。 只提取负号不提系数公因式，如误分解为(正确为)。 4.解题技巧拆解 两步处理法：①提取“-”号，括号内各项变号；②提取括号内各项的最大公因式。 口诀：“负号先提，括号变号，再提公因式”。 【例题4】．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式题4-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）对下列多项式进行因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先观察多项式各项，找到公因式，提取公因式后再看剩余部分是否能继续分解； （2）先将式子中的变形为，然后观察式子，找到公因式，提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握先找公因式，提取公因式后再看能否继续分解是解题的关键． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）先提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式分解因式即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【题型5】含相反数因式的分解(提升) 1.核心知识点总结 互为相反数的因式转化：(为偶数时相等，为奇数时互为相反数)。 常用转化：，。 2.高频考点梳理 中档题常考，如分解、。 结合指数奇偶性考查转化技巧，是提升题的核心考点。 3.易错点警示 未统一相反数因式直接分解，导致无法提取公因式。 转化时符号错误，如误转化为(正确为)。 4.解题技巧拆解 统一因式法：①观察多项式中互为相反数的因式；②按“偶次幂不变，奇次幂变号”统一为相同因式；③提取公因式。 示例：分解，先转化为，再提公因式，结果为。 【例题5】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】题目主要考查因式分解，先将原式变形，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 【变式题5-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握将式子中的部分内容进行变形以找出公因式是解题的关键． 先将式子中的转化为，然后提取公因式来进行因式分解，解题思路是通过变形统一式子中的相同部分，再找出公因式进行提取． 【详解】解： ． 【变式题5-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，首先把整体作为公因式提出来，可得：原式，再提公因式． 【详解】解： ． 故选：B． 【题型6】多字母多项式提公因式分解(提升) 1.核心知识点总结 多字母多项式公因式：需同时满足“系数最大公约数+所有字母最低次幂”。 分解后另一个因式仍含多字母，需保证无剩余公因式。 2.高频考点梳理 选择题、填空题均有考查，如分解、。 结合字母指数变化，考查公因式确定的全面性。 3.易错点警示 遗漏某一公共字母，如误提而非。 忽略字母的最低次幂，如与的公因式误写为(正确为)。 4.解题技巧拆解 分层确定法：①先确定系数公因式；②逐字母分析最低次幂；③组合得到整体公因式；④多项式除以公因式得另一个因式。 验证技巧：分解后另一个因式中各字母指数无公约数，系数无公因数。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解； （2）利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）因式分解： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式题6-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题考查提取公因式法的因式分解，确定公因式是解题的关键． （1）先确定公因式为后，提取公因式即可； （2）先确定公因式为后，提取公因式即可； （3）先确定公因式为后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 【题型7】利用提公因式法简化计算(提升) 1.核心知识点总结 本质：逆用乘法分配律，提取公共因数(数或代数式)，将复杂运算转化为简单乘法。 适用场景：多项乘法含相同因数、数字较大或重复出现的因数。 2.高频考点梳理 计算题为主，如、。 中考常结合实数运算，如含π、整数拆分的计算(如999×998+1998)。 3.易错点警示 未识别隐藏的公共因数，如，导致无法提取公因式。 提取公因式后计算错误，如括号内加减运算失误。 4.解题技巧拆解 三步简化法：①观察各项公共因数(数或代数式)；②提取公共因数；③计算括号内加减，再算乘法。 口诀：“先找公因子，再提出来，最后简算”。 【例题7】．（16-17七年级下·河北·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及有理数的乘方运算，熟练掌握提取公因式法因式分解和乘方的符号法则是解题的关键． 先将转化为，再提取公因式进行因式分解，计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键． 利用有理数乘法的分配律计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题7-2】．（25-26九年级上·山东·阶段练习）利用分解因式计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便运算，直接提公因数即可解答． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．将原式利用提公因式法分解因式，可得，然后再次提取公因式法，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【题型8】利用因式分解求值(培优) 1.核心知识点总结 思路：先分解多项式为“公因式×另一个因式”，再代入已知条件计算。 关键：通过因式分解将代数式转化为与已知条件相关的形式(如、)。 2.高频考点梳理 解答题考查，如已知，，求的值；已知，，求的值。 近年中考趋势：结合二元一次方程、代数式整体代入(如已知，求含的多项式值)。 3.易错点警示 先代入再计算，忽略因式分解导致运算复杂出错。 分解不彻底，导致无法代入已知条件(如未分解为)。 4.解题技巧拆解 求值四步法：①分解多项式(提公因式彻底)；②整理为与已知条件匹配的形式；③代入已知值；④计算结果。 整体代换技巧：将、、等看作整体，无需单独求字母值。 【例题8】．（2025八年级上·全国·专题练习）先因式分解再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查了因式分解，求代数式的值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 先将代数式因式分解，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式题8-1】．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．首先提取公因式进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查代数式的因式分解以及代数式求值： （1）直接提取公因式，进而分解因式得出即可； （2）直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】（1）解：， 将，代入得： 原式； （2）解： ， 将代入得出：原式． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解，再代入求值； （2）利用提取公因式法分解，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解： 当时，原式 【题型9】因式分解与几何综合(培优) 1.核心知识点总结 几何应用：结合三角形边长、面积公式，通过因式分解判断三角形形状(如等腰三角形)、求边长或面积。 关键：将几何条件转化为多项式，分解后利用边长非负性得出结论。 2.高频考点梳理 解答题中档题，如已知三边长、、满足，判断三角形形状；已知长方形面积为，一边长为，求另一边长。 结合几何图形的数量关系，考查因式分解的实际应用。 3.易错点警示 无法将几何条件转化为代数多项式，如面积公式变形错误。 分解后未结合几何意义(边长为正)排除不合理结论。 4.解题技巧拆解 综合三步法：①根据几何性质列代数式(如面积、边长关系)；②对代数式因式分解；③结合几何意义(非负性、边长关系)得出结论。 示例：由，分解得，因，故，为等腰三角形。 【例题9】．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是某小区的一块空地，现要对该空地进行改造，在空地内的点O处安装喷泉，且点O到三边的距离相等，即．的三边，，的长分别为a，b，c． (1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为_______； (2)现测得米，米，米，米．利用因式分解求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)424平方米 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式、角平分线的性质等知识点，用提公因式法把所得代数式进行因式分解成为解题的关键． （1）如图：连接，再根据以及三角形面积公式列出表达式即可； （2）用提公因式法把（1）中得到的代数式进行因式分解，再把所给数值代入计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，的三边，，的长分别为a，b，c， ∴这块空地的面积为：． （2）解：， ∵米，米，米，米， ∴原式（平方米）． 答：这块空地的面积是424平方米． 【变式题9-1】．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ． 【答案】 或． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 【变式题9-2】．（24-25七年级下·河南郑州·期中）实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 【答案】(1)图1中建筑物的占地面积为，图2中建筑物的占地面积为 (2)1 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的乘法、因式分解，能根据题意用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积是解题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积即可． （2）根据（1）中所得代数式，结合即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得， 图1中建筑物的占地面积为：； 图2中建筑物的占地面积为：． （2）解：， 因为， 所以， 所以图1的面积更大． 故答案为：1． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可． 【详解】解： ， 由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，， 解得； ∴ ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查公因式的确定，确定公因式需考虑系数、字母及指数：系数取各项系数的最大公因数（带符号），字母取各项共有字母，指数取各字母的最小指数． 【详解】解：∵ 多项式各项系数为、、12，最大公因数为 ， 各项共有字母为a和b， a的最小指数为2，b的最小指数为2， ∴ 公因式为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 5．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开后与原多项式比较系数，建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 4． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）与的最大公因式是 . 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，掌握“确定公因式的方法”是解本题的关键． 先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的最大公因式是， 故答案为：. 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【详解】∵ ，， ∴ 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知，，则 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值，通过因式分解，将所求表达式提取公因式，化为，然后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键． （1）提公因式，即可求解； （2）提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算和因式分解，掌握提公因式法因式分解是解决本题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减； （2）提取公因式即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 14．（25-26七年级上·全国·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可． 【小题1】解： 【小题2】解： 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】主要运用提取公因式法，需要先确定各项的公因式，然后提取公因式进行分解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． ． ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，主要运用提取公因式法，解题关键是准确找出各项的公因式，对于需要变形的式子，要通过适当的变形转化为可以提取公因式的形式． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式分解因式，因式分解的应用， （1）根据题意得出，利用提公因式法分解因式，然后代入式子的值，即可求解． （2）根据提公因式法和公式法分解因式，再将，代入分解后的式子，即可求解． 【详解】（1）解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴ ∵ ； （2）解：∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $