湖南省益阳市2027届高三9月教学质量监测数学试题

益阳市2027届高三9月教学质量监测 数 学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分。考试 时量120分钟。 2,答题前，考生务必将自已的姓名、考号等填写在答题卡指定位置。请按答题卡的要 求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知A={x|-1≤x<3},B={0,1,2,3},则A∩B= A.☑ B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2 D.{x-1≤x<3} 2.已知复数z满足：z-i=zi+1,则z= A.-1 B.-i C.1 D.i 3.已知等差数列{an}满足：a1+a2=1,a3+a4=5,则a2o26= A.2025 B.2026 C.4050 D.4052 4.已知sinx-cosx= 3,则sin2x= A月 c. 5.在△ABC中，∠A=90°，AB=1,AC=√3，P,为BC边的6等分点(1,2,3,4,5)， 则|AD+AP+…+AP= A.4 B.5 C.8 D.10 6.己知P(A)=0.5,P(B)=0.4,则1 A.若B∈A,则P(AUB)=0.9 B.若B∈A,则P(AB)=0.4 C.若A,B互斥，则P(AUB)=0.5 D.若A,B互斥，则P(AB)=0.2 高三数学试题卷第1页，共4页 7.已知2”=(3=1gz,则关于实数x,,2的下列结论中不可能成立的是 A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.x<z<y 8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,直线1交C于P,Q两点，点A的坐标为(-2,0)， 则下列结论正确的是 A.若C上的点M满足|MA=√2|MFI,则|MF=2 B.C上有且仅有两个点M满足|MA|=2MF C.若直线1过F点，∠PAQ取得最大值，则△PA0的面积等于16 D.O为坐标原点，若Op.O0=0,1PQ1取得最小值，则点A到P2的距离为8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知函数f()=Asin(@x+)(4>0,o>0,lpk)的部分图象如下图所示，根据图中 信息可知下列结论正确的是 V 1 87元 A.A=2 B.0= 2 C.=I 3 D.=0 2元 10.已知函数f(x)=xe*,则 A.函数f(x)在(-o,O)上单调递减 B.曲线y=f(x)在(0，O)处的切线是y=x C.函数的最小值是-日 D.函数f(x)有且只有两个零点 11.如图，在矩形AEFC中，AE=√3，EF-2,B为EF的中点，现分别沿AB,BC将△ABE, △BCF翻折，使点E,F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则 A.三棱锥PABC的体积为2 B.直线PA与直线BC所成角的 金整值为骨 C.直线PA与平面PBC所成角 的正弦值为2V2 B D.三棱锥P-ABC外接球的 体积是11V22m 24 高三数学试题卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 已知双曲线C:X=1的一条渐近线方程是x-2y=0,则C的离心率 13.一个数阵有m行6列，第一行中的6个数互不相同，其余行都由这6个数以不同的顺 序组成。如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的值最大可取一·（用数字 作答). 14.已知平行四边形ABCD,点E为BC边的一点，且B距=}BC,点P是射线BD上一动 点，又数列{an}满足a=3,恒有BP=(a,-3-)BA+(a1+3)BE,记{a}的前n项 和为Sn,则Sm一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正 确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败.甲利用储蓄卡 在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，记X表示取钱时输密码的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望， 16.(本小题满分15分) 已知△4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且V3 asin B-2 bcos 4=a--c2 2c (1)求A: (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，D是侧棱CC的中点，AB=AA=4,AC-BC=√5， O是底边AB的中点. D B B (1)证明：OC∥平面A,BD; (2)求二面角B-4D-C的正弦值， 月1 高三数学试题卷第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，圆F的方程为：(x+1)2+y2=16,定点F2(L,0),M是圆E上 任意一点，线段MF,的垂直平分线和半径ME相交于点T (1)求点T的轨迹C的方程； (2)设不过原点O的直线1：y=x+m(k≠0)与C交于P、Q两点，直线OP、OQ 的斜率分别为k1、k2,满足k1+k2=4k. ①当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说 明理由； ②求△OPQ面积的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知两数因：，g因=智，aeR (1)求f(x)的最大值M1; (2)对任意实数x,g(x)≤M1恒成立，求实数a的最大值M2; (3)若a=M2,且f(x)=f(x2)=g(x3)=g(x4),其中x≠x2,x3+x4· 高三数学试题卷第4页，共4页2027届高三9月 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.C 2.D3.A4.D5.B6.B7.C8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.ABD 10.BC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 5 13.72014.(3-n).3"-3 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：（1)设A:=“第i次成功取款”(=1,2)，则事件“不超过2次就成功取款”可表示为 A=AUAA. 则P0=P4)+P44)=P4)+P④)P4I4=+2x= 101095 …5分 (2)根据题意，X可能的取值为1,2,3.记B=“最后1位密码为偶数”， 1 P(X-1)-P(B)=P(X-2)-P(B)()-101 P(B)15 2 PX=3)=1-PX=I)-Px=2)=3 所以X的分布列为 X 2 3 5 5 …11分 故随机变量X的期望8心0=1X兮+2×兮3号号 …13分 5 高三数学参考答案及评分标准第1页，共4页 16.（本小题满分15分) 解：（1)由已知得V5asnB-2 bo=b4-,-C.又cosA-2+c2-d 2bc 2bc 所以，√3 asin B=bcosA.…2分 又sindsin’所以，5 sin Asin=sin B0sA.…4分 又 b 因为i血B≠0，所以，m4=5.又0<A<元，所以，4=产 ，…6分 3 6 (2)由a=2及A=2得：b =_a =4.…9分 6 sin B sin C sin A 1 1 1 所以，SAABC-2 besin A=2×4sinB×4 sin Cx2=4 sinBsinC 2 =4sin B(sin Bcos A+cos Bsin 4)=2 3sin2B+sin2B=3+2sin(2B-) …13分 在△48C中，当B-语时，sm2B-取得最大值1 所以，△ABC面积的最大值是√3+2.…15分 17.（本小题满分15分) 解：(1)因为AB=4,AC-BC-√5，所以CO LAB,CO=1.在直三棱柱ABC-AB,C中， 有底面ABC⊥侧面AABB,所以CO⊥平面AA1B1B.在平面AA1B1B内过O点作 直线OE⊥AB,以OA,OE,OC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所 示空间直角坐标系.…2分 则A(2,0,0),B(-2,0,0),C(0,0,1), A1(2,4,0),D(0,2,1).所以， D 9 4D=(-2,-2,1),BD=(2,2,1).设 m=(x1,y,z)为平面A1BD的一个法向量， m4D=0得2-2+名=0可取元=1，-1,0. 则 …5分 m-BD=0.2x+2y+a1=0. 又0C=(0,0,1).因为m.0C=1×0+(-1)×0+0×1=0,所以m⊥0C. 又OC丈平面ABD.所以OC∥平面ABD.…7分 高三数学参考答案及评分标准第2页，共4页 (2)由(1)可知，4C=AC=(-2,0,1),4D=(-2,-2,1). 设n=x2,2,z2)是平面A1DC的一个法向量， 则4G=0得-2+=0： i.4D=0.-2x2-2y2+z2=0. 可取n=(1,0,2). 由（1)可知，平面A1BD的一个法向量是m=(1,-1,0).…10分 m·n 1 所以，cos<m,n>= 10 …13分 |mn1+1√1+410 所以，二面角B-AD-C,的正弦值是 1-cos2<m,n>=1-(02=31 …15分 10 18.（本小题满分17分) 解：(1)由题设条件可得，|TM=|TF2,|TF+|TF2=|TF1+|TM=4>|FF2=2 所以点T的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为4的椭圆.…2分 又a=2,c=1,a2=b2+c2,所以b2=3. 故点T的轨迹C的方程为+上=1. …4分 4 3 (2)①当k变化时，m2是定值，定值为。 …5分 [y=kx+m 证明如下：设P,)2,2,由{x2y21,得(3+4)r2+8kmx+4m2-3)=0, -=1 4%3 当△=642m2-16(3+4k2)(m2-3)>0时， 有场站的…w》7分 因为直线OP、O2的斜率依次为k1、飞， 所以4k=k+k2=上+2=+m++m 12 X2 212=m(+X2)】…（*).… …9分 由(，(*)解得m2=号，经验证△0成立，所以结论成立.…11分 ②5a0-州2+P-4m3 …14分 3+4k2 令82+3=1>5，得0g=32=6 <V3 3t2+3t+ 3 t 所以，△OPQ面积的取值范围为(0，√3).… …17分 高三数学参考答案及评分标准第3页，共4页 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题意知x(0,∞)，f=1-hx,令f=0,则x=e.…2分 x2 当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，f"(x)<0,f(x)单 调递减，则M,=fe)=1 …4分 (2)x∈R,gx)≤M1,gmax(x)≤M1=.…5分 gx)=1-a-,令f四=0，则x=1-a.…6分 ex 当x∈(-oo,1-a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1-a,+o)时，g'(x)<0, 8单调递减，则8)=g-a)2≤。·l-a≥，即a≤ ∴.M2=0. …9分 (3)由(2)知a0,所以g)=三.不妨设<名，为<： 因为f(x)=f(x2)=g(3)=g(x4),综合(1)知1<x<e<2, 综合(2)知0<为3<1<X4…10分 所以要证，->上-，则只需证名>11 X3 X4 X3 X4 g()=f(e）g(s)=f(e）,g(x4)=f(e) 由f(x)=g(x)=f(e),及1<x<e,1<e<e,fx)在(0，e)上单调递增， 可得x=e.同理可得x2=e,即为3=lnx,4=ln2 所以只需证x2一x> 11 …13分 Inx Inx2 即证为+nx 1.又f)=f) +in :血互=血五>0，将此式乘以上式知只需证n+】>nx+.15分 1 X2 x1 X2 记=nx+安+，则因-士>0，所以在xe化o)上年 1 调递增，而x<,为+n为 1、x+成立，所以原不等式成立.…17分 高三数学参考答案及评分标准第4页，共4页