湖南衡阳市第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高二年级入学考试数学卷，以基础巩固与能力衔接为核心，解答题融合统计概率（如16题课外阅读时间调查）、立体几何探究（如18题三角板折叠）等，体现数学思维与现实应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、三角函数等|基础概念辨析，如第3题三角恒等变换| |多选|3/18|统计直方图、立体几何动态问题|分层设计，如第10题正方体轨迹探究| |填空|3/15|不等式最值、折叠体积计算|空间想象与转化，如13题折叠后三棱锥体积| |解答|5/77|解三角形、统计、概率优化、立体几何、函数导数|情境化与探究性，如17题答题顺序优化考逻辑推理|

衡阳市一中2026年下学期高二年级入学考试 数学试题 时量：120分钟分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知樂合A-{2”≤4 ,B={-2,-1,0,2,3},则A⌒B=() A.{-1,0} B.0,2 C.{-2,-1,0} D.{-1,0,2} 2.已知i为应数单位，若复数：清足行-，则：=（） A,号 B.2 C.2 3.已知iama=子，则os2a+2sn2a:（) B. c 16 D. 4.已知平面向量ā，万满足同=1，a-2b=2且(6-2)16，则=() A.6 B.3 c. 2 2 2 D. 5.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为() A.5 B.6 C.√2+3 D.2√2+3 6.己知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为2√2，则该四棱台的体积为() A.20V6 B.28V6 C.20V7 D.28V7 3 3 3 7.已知函数f(x)=4cos π3r 上单调递增，且在区间[0，]上只取得一次 最大值2，则ω的取值范围是() 「14 「34 A. 3 L8 B.39] D.89] -8x2+8x,0≤x<1 8.若定义在R上的函数f(x)= -fx-1),1≤x≤2 且e+)=fK-1,8)=函数)=f-go在 区间[-3,1U1,5]上的所有零点为，西x,则2x等于（) i=1 A.2 B.4 C.6 D.8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9,某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提 升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客 发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度 得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是() 频率/组距 0.040 0.035 a 0.010 60708090100成绩/分 A.频率分布直方图中a=0.15 B.2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C.2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D.若落在[80,90)的平均成绩x=85,方差=6，落在[90,100]的平均成绩歹=95，方差s=11,则落在[80,100] 的平均成绩为87，落在[80,100]的成绩的方差为23 10.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底面ABCD内一动点， 则下列结论正确的为() D C A F D p A E B A.存在点P,使得FPII平面ABCD B.异面直线BA与EF所成的角的大小为60° C.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D.若DP1/平面ABC1,则点P的轨迹的长度为2√2 11.已知函数f(x),8(x)的定义域为R,且f(x+1)=f(-x),8(x)+8(2-x)=2,f(x+1)-1为奇函数，则() A.8)=1 B.函数f(x)的周期为2 C.f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2 D.若函数f(x)与g(x)的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知x>0,y>0,且x+4y=12,则xy的最大值为 13.己知四边形ABCD,AB=BC=1,AD=CD=√5，BD=2,沿BD折叠，使∠ABC=90°，求此时三棱锥D-ABC 的体积为一 14.在aABC中，4AB=4,AC=5,∠BAC-写H为△ABC内一点，SS题Sc=23:5,则函，HC= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足Bc-sinC a cosA (1)求角A的大小： (2)若D为BC边上的一点，AD平分∠BAC且AD=2,求△ABC面积的最小值. 16.(15分)某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计 数据按照[0,20)，[20,40)，.[100,120)，[120,140]分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组 中的数据用该组的中点值作代表)· 小频率/组距 a外 0.0125 0.0075 0.005 0.0025 020406080100120140周课外阅读时间（分钟南 (1)求α的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟)视为达标，试估计该校达标的人数： (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； 8)诺样本数据在020)与200)内的方差分别为听=3，兮-；求样本数据在Q40)内的方若 17.(15分)某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续 答对2题可获得7天会员：达续答对3题可获得30天会员：其余情况均不获得会员。已知甲答对题1的概率为， 答对翘2的概率为}答对逻3的既率为P0<p<),各短答对与否相互雅立。 2 (1)若P=号，且甲按题1→题2→慰3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率。 (②诺)了要传甲获得会员的概率最大，应如何安挂答题顺序： (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求P的取值范围. 18.(17分)现有两块含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图，△PAB与△PCD为这两个三角 板，其中PA=PC=10cm,∠PBA=∠PDC=30°，初始时，将这两块三角板的直角顶点重合于点P,斜边AB,CD 共线，如图1所示，然后将这两块三角板绕点P反向平行移开，得到四棱锥P-ABCD(图2). D B C B--- 图1 图2 (I)求证：平面PAC⊥平面ABCD; (2)设平面PAB∩平面PCD=l. (i)求直线l与直线PA所成角的大小： ()当二面角A-1-C的大小为行时，求四棱锥P-ABCD的体积的大小 19.(17分)设关于x的函数y=2x2+(x-a)x-d(a∈R) (1)若x=0时，y≥1，求a的取值范围； (2)求y的最小值； (3)若x∈(a,+∞)，求关于x的不等式y≥1的解集. 衡阳市一中2026年下学期高二年级入学考试 数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 5．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题： 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（　　） A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为 D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为 10．如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点， 使得平面 B．异面直线与所成的角的大小为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D．若平面，则点的轨迹的长度为 11．已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（    ） A． B．函数的周期为2 C． D．若函数与的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 三、填空题： 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知，且，则的最大值为________． 13．已知四边形，，，，沿折叠，使，求此时三棱锥的体积为______. 14．在中，，，.为内一点，，则______. 四、解答题： 本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 16．（15分）某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差. 17．（15分）某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 18．（17分）现有两块含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，．初始时，将这两块三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线，如图1所示，然后将这两块三角板绕点反向平行移开，得到四棱锥（图2）． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （ⅱ）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积的大小． 19．（17分）设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 入学考试数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A D B B D BCD ABD 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14． 15．（1）由可知，得，于是， 即，则为锐角，所以 （2） 即得， ， ，当且仅当时取等号， ，故面积的最小值为 16．（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得. 每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为： . 故估计该校达标的人数为（人）. （2）该校学生每周课外阅读的平均时间为： （分钟）. （3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差； 样本数据在内的频率为，平均数为，方差. 设样本数据在内的平均数为，方差为. 则. 由分层方差公式可得： . 故样本数据在内的方差为. 17．（1）甲获得30天会员的概率为． （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 18．(1)由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点． 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面． 又平面， 所以平面平面 （2）（ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 所以直线与所成的角等于直线与所成的角，即（或其补角）． 在中，，，． 故直线与直线所成角的大小为60°． （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角，则， 因为， 所以，所以， 所以，为的中点， 所以，故． 则，，． 因为，，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 所以． 故四棱锥的体积为． 19.（1）时，， ； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $