精品解析：陕西师范大学附属中学2025-2026学年度第二学期高三年级集训（三）数学试题

陕西师大附中2025—2026学年度第二学期 高三年级集训（三）数学试题 注意事项： 1.本考试满分150分，时间120分钟． 2.答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4.只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，再由交集的定义求解即可. 【详解】由解得，， 由解得，， 故得． 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 3. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方，结合向量数量积运算律即可求解. 【详解】由得， 则， 即 解得． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数的关系，可得的值，根据二倍角公式，整理变形，即可得答案. 【详解】由诱导公式得，则， 所以. 5. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线中的关系和等差数列可求答案. 【详解】因为成等差数列，所以，又，所以，即，所以. 该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 6. 已知正项等比数列满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到的通项公式，进而可得到的通项公式，根据的定义即可求解. 【详解】因为数列是正项等比数列，所以公比，且， 又，所以，又，所以. 因为，所以，将代入化简得， 解得或（舍去）. 所以. 所以， 因为表示不超过的最大整数， 所以当时，，当时，. 所以数列的前项和为. 7. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合条件并利用同构得到，再利用导数并结合对勾函数性质求解取值范围即可. 【详解】因为函数的零点为，所以， 因为函数的零点为，所以， 则，即， 可得，令， 则，可得在上单调递增， 所以，则，即， 可得， 由已知得，则， 而，，则，解得， 令，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，即， 而可化为与构成的复合函数， 由对勾函数性质得在上单调递增， 所以，则的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断. 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由， 则，即， 则，故B正确； 对于C，因为， 则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（位于第一象限），过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 若直线交轴于点，则 C. 抛物线在点处的两条切线相互垂直 D. 若，则梯形面积为 【答案】ACD 【解析】 【详解】 抛物线的标准形式是，则，，准线， 选项A：焦点弦， 当斜率不存在时，直线为，代入抛物线得，此时， ， 当斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线方程得，由韦达定理得， ， 综上，的最小值为2，故A正确； 选项B：若直线交轴于点，，则， 设，，，则， 由得，解得， 已知在抛物线上，则，且在第一象限， ，，， ，故B错误； 选项C：对抛物线求导得，解得， 处切线斜率，处切线斜率， 设过焦点的直线方程为，代入抛物线得， 由韦达定理， 切线斜率乘积，故两条线互相垂直，故C正确； 选项D：设，则， ， ， ， ，解得， ，故D正确． 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据余弦定理代入求解即可.选项B：根据向量的数量积以及余弦定理代入求解.选项C：根据中线长公式以及三边关系求解.选项D：根据正弦定理以及均值不等式求解即可. 【详解】对于A，因，，由余弦定理得， 整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确； 对于B， . 而，，B错误； 对于C，由中线长公式，​，则. 在△ABC中，有，且，则得，解得， 进而，即得​，故，C正确； 对于D：由正弦定理，​，​， 则等价于 ,即，即,也即(*)， 因，则​​， 故，当且仅当时取等. 即(*)成立 ,故不等式恒成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 【答案】252 【解析】 【分析】根据的展开式共有9项，得到，再利用展开式的通项公式求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以，则展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中含的项的系数为252， 故答案为：252 13. 已知函数满足对任意实数都成立，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】已知， 所以，  两式相减可得：， 化简可得：， 若，则由原式可得， 该方程组无实数解，故， 则，即函数周期为， 因此：. 14. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，易得，利用全概率公式求出，依题意推出，记，可得递推关系，构造等比数列，求出通项，再分奇偶讨论的增减性求出其最大值即得答案. 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. （1）根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 ； （2）该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用条件概率的定义求出数据并完善列联表，再求出. （2）求出的观测值，再与临界值比对即可得解. 【小问1详解】 由，得愿意报名参加答题活动人数为， 由，得愿意报名参加答题活动的男生人数为， 愿意报名参加答题活动的女生人数为， 所以列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 . 【小问2详解】 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 16. 记数列的前项和为，已知． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）当时，， 则， 即， 由于，所以， ，解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，得证， （2）由（1）知，， 所以， 则 即， 又因为，所以，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义即可求解； （2）使用等差数列前项和公式求得，再使用裂项相消结合的取值范围即可得证. 【小问1详解】 即. 【小问2详解】 略 17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：// 平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为分别是和的中点，所以，且. 因为和都垂直于平面，且，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以// 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，由中位线定理及线面垂直的性质定理可得四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证得// 平面； （2）由四棱锥的体积为3，可求得点到平面的距离为.建立空间直角坐标系，设平面与平面所成的锐二面角大小为，根据面面角的向量求法将表示为的函数，结合二次函数的最值求法，可得的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 则，为． 由于平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过且垂直于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，由，得， 令，得，因此平面的一个法向量． 由于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角大小为， 则. 因为，当且仅当时，等号成立； 所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值为． 18. 若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 【答案】（1）； （2） （i）由题意可知直线不与轴重合，设直线， 点，. ， . 又因为，所以， （ii）由题意可知过点的切线和点的切线分别为：，和， 联立方程. ，所以. 直线，直线， ， ，又由（i）可知，所以， 即. 可得为中点，所以，即． 【解析】 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程组，解出即可； （2）（i）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，得到和积关系式，再代入计算即可； （ii）根据切线方程结论得到两直线方程，联立得到，再计算得，从而有，即得. 【小问1详解】 由题意可知在椭圆上，且由，可得， 联立方程，所以椭圆. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若时，求函数在点上的切线方程； （2）若，使得当时，的值域为. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：记，则， 故在上单调递减，在上单调递增，故， 即，即， 同理，因为函数的， 且对称轴为，则方程存在两根， 且，故， 又，且， 所以，则， 即． 【解析】 【分析】（1）当时，可得的解析式，根据导数的几何意义，可得切线的斜率k，代入方程，即可得答案. （2）（i）由题意得方程有两个不相等的正根，令，利用导数求出的单调性及极值，分析计算，即可得答案. （ii）记，根据导数确定函数的单调性，再结合二次函数的性质即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则切线的斜率， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 （i）因为，所以在上单调递增， 则，即方程有两个不相等的正根， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 因为时，，时，， 所以，则，解得， 所以实数的取值范围是 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度第二学期 高三年级集训（三）数学试题 注意事项： 1.本考试满分150分，时间120分钟． 2.答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4.只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（位于第一象限），过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 若直线交轴于点，则 C. 抛物线在点处的两条切线相互垂直 D. 若，则梯形面积为 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 13. 已知函数满足对任意实数都成立，若，则__________. 14. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. （1）根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 记数列的前项和为，已知． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． 17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：// 平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 18. 若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 19. 已知函数. （1）若时，求函数在点上的切线方程； （2）若，使得当时，的值域为. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $