精品解析：广东揭阳第一中学、汕头金中海湾学校联考2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

2026-2027学年度高三级摸底考试数学科试卷 命题人：揭阳一中高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，解得，则， 因为，所以. 2. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 3. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 4. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 5. 直线与圆相切，则的值是（ ） A. 或12 B. 2或12 C. 或 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切， 所以，所以，解得或. 故选：B. 6. 已知正数m，n满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】 由条件可得，则，由均值不等式可得答案. 【详解】由正数m，n满足，即，所以 所以 当且仅当,即时，取得等号. 故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 7. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得. 【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为， 因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择， 其方法数为. 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为． 故选:C． 8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，只需求出与的公切线斜率，再结合图象分析即可. 【详解】设， 则， 设与的公切线的切点分别为， 则切线方程为，即， ，即， 所以①，②， 由①式可得，代入②式可得， 即，解得或， 所以公切线的斜率为1或， 由图可得. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得. 【详解】对A选项：由，所以，， 因此，，故A正确； 对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以， 再由概率的加法公式，故B正确； 对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，. 因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立， 所以，故C错误； 对D选项：因与相互独立，所以， 再由概率的加法公式，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为： B. 若轴，则 C. 若直线AB的斜率为1，则 D. 以为直径的圆与相切或相交 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合点差法、直线与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】因为抛物线，所以准线的方程为：错误． 轴，，则，B正确． 因为，又因为，两式作差可得： ，即，C正确． 以为直径的圆，圆心为，半径为， 则圆心到的距离为，因为， 所以，该圆与相切或相离，D错误， 故选：BC． 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3 B. 四面体的体积为 C. 平面截正方体所得截面的面积为 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】A取的中点，连接，根据已知证明平面，进而确定点的轨迹是矩形（点除外）判断；B在四边形中，取的中点，连接，过点作于，且交于点，过作且交于点，利用线面垂直的性质及判断找到棱锥的高，结合相关线段长及棱锥的体积公式求体积；C分别取的中点，连接，，根据平面的基本性质确定截面，再求面积即可；D利用线面垂直的性质和判断证明即可. 【详解】对于A，取的中点，连接. 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，易得，所以， 所以，所以. 因为平面平面，所以. 又平面，所以平面. 而，则平面，所以点的轨迹是矩形（点除外）. 当与重合时，的长度最大，且最大值为，故A正确； 对于B，在四边形中，取的中点，连接，过点作于，且交于点，过作且交于点. 因为，，所以. 而. 因为平面平面，所以. 又平面，所以平面. 所以点到平面即平面的距离为， 所以，故B错误； 对于C，分别取的中点，连接，， 平面截正方体所得截面即为正六边形，其面积为，故C正确； 对于D，平面，平面，则，而， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，同理.又且都在平面内， 所以平面，即平面，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，即可求解，进而可求常数项. 【详解】的二项展开式的通项为， 令得，故常数项为， 故答案为：240． 13. 等比数列的前项和为，且，则_________． 【答案】306 【解析】 【分析】利用通项公式得到关于，的方程，求出，的值后，直接代入等比数列的求和公式中，求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以，解得：，所以 故答案为： 14. 已知函数.若为偶函数，的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意得到函数的最小正周期和对称轴，求出，，得到，利用伸缩变换和平移变换得到，代入求解即可. 【详解】由的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列， 可以得到函数的最小正周期. 由为偶函数，可得的图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以，则， 将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，得到， 再向左平移个单位得到函数， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且. （1）若，证明：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为矩形所在的平面，平面， 所以， 则以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则， 则， 因为是的中点，所以， 设，则， 所以， 由，得，得，即是的中点， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，设，根据即可求证； （2）计算两个平面的法向量，计算法向量夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 易得平面的法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 16. 在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. （1）求的大小； （2）若，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解； （2）由正弦定理得到，，由诱导公式得到.则，利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，由为锐角三角形得到的范围，利用正弦函数的图像和性质得到的范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得. 即， 因为在中，， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，结合正弦定理，得. 所以，. 在中，. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，解得. 则. 所以. 所以. 17. 已知数列的前项和为. （1）证明：是常数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴， 即， ∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系作差变形，并验证首项证明即可； （2）利用第一问的结论，先计算，由等差数列的求和公式计算，再根据裂项求和法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，∴，∴， ， ∴. 18. 设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 【答案】（1）点P的轨迹为椭圆，且其方程为． （2）（ⅰ）； （ⅱ）又因为，， 故 ． 联立，故， 故，故，，成等差数列． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义即可求得，进而求解； （2）将直线方程与椭圆方程结合，由韦达定理得， （ⅰ）利用中点坐标公式求出点的坐标，进而得直线方程； （ⅱ）利用斜率公式表示，求出点的坐标进而得，利用等差中项即可求证. 【小问1详解】 由，所以，即， 故点P的轨迹为椭圆，且其方程为． 【小问2详解】 设，， 联立， 故． （ⅰ）当时，，， 故，故直线OD的方程为：，即． （ⅱ）略 19. 已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2） （3） 由， 令， 即， 因为函数有两个不同的极值点， 所以①，②， 令③，则，代入②得： 由①得：，两式相减：， 所以， 又，得， 则，要证，即证， 即证，化简得， 即证，即, 即证， 令，， ，所以， 即，所以在上单调递增， 所以，所以，得证. 【解析】 【分析】(1)通过求导找函数单调性的分界点，进而确定极值（也是最值）。 (2)分别分析与的极值存在性（结合a的取值分类讨论），再根据“极值相等”列方程求解a. (3)先通过求导确定的极值点满足的关系，再构造函数结合单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，求导得， 令，解得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，也是最小值， 最小值为，无最大值. 【小问2详解】 对求导得， 因为存在极值，所以在上有解，解得（）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，， 对，求导得， 因为存在极值，所以有解，解得（）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值， ，因为和极值相等，所以， 即， 因为，所以，即，因此，实数a的值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三级摸底考试数学科试卷 命题人：揭阳一中高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆相切，则的值是（ ） A. 或12 B. 2或12 C. 或 D. 2或 6. 已知正数m，n满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 7. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为： B. 若轴，则 C. 若直线AB的斜率为1，则 D. 以为直径的圆与相切或相交 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3 B. 四面体的体积为 C. 平面截正方体所得截面的面积为 D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 13. 等比数列的前项和为，且，则_________． 14. 已知函数.若为偶函数，的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且. （1）若，证明：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值. 16. 在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. （1）求的大小； （2）若，求的范围. 17. 已知数列的前项和为. （1）证明：是常数列； （2）设，求数列的前项和. 18. 设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 19. 已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $