精品解析：广东省揭阳市普宁市华侨中学2025届高三上学期暑期摸底考试数学试题

普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高三数学摸底考试 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】由可得 ，又因为，所以. 故选：A. 2. 复数的虚部是（ ）. A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的概念可求得选项. 【详解】因为，所以复数的虚部是， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，依次判断各个选项即得. 【详解】对于A，是偶函数，在上单调递减，A不是； 对于B，是偶函数，在上单调递增，B是； 对于C，定义域为，不具奇偶性，C不是； 对于D，定义域为，不具奇偶性，D不是. 故选：B 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的概念运算求出，再利用向量数量积运算求得结果. 【详解】由题在上的投影向量为， 又，，即， . 故选：A. 5. 若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 6. A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A. 24 B. 120 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】将捆绑在一起，计算得到答案. 【详解】将捆绑在一起，共有种排法. 故选：C. 7. 设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】解：圆，即，所以圆心为， 所以，即，因为、， 则， 当且仅当时，取等号． 故选：． 8. 已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，根据余弦函数的单调性，得出，由的单调性即可判断选项. 【详解】因为，所以， 当时，，所以，即， 所以在上单调递减. 因为，是锐角的两个内角，所以，则， 因为在上单调递减， 所以， 故，故D正确. 同理可得，C错误； 而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定， 所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分） 9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第40百分位数不变 【答案】AD 【解析】 【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解. 【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为， 其中位数为25，平均数是， 方差是， 由，得原数据的第40百分位数是第4个数24. 将原数据去掉12和45，得， 其中位数为25，平均数是， 方差是， 由，得新数据的第40百分位数是第3个数24， 故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的一个增区间是 D. 把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简函数的表达式，再逐一验证各选项即可得解. 【详解】依题意：， 对于A选项：的周期，即A正确； 对于B选项：因，则不是函数的对称轴，即B不正确； 对于C选项：得， 即单调递增区间是，k=0时，是的一个增区间，即C正确； 对于D选项：函数的图像向左平移个单位得，即D正确. 故选：ACD 11. 如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的值最小 B. 当时， C. 若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D. 直线与平面所成角的正弦值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A,B，建立空间直角坐标系，利用向量运算可判断；对于C，构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥，根据椭圆定义可判断；对于D，易知是与平面所成的角，可判断得解. 【详解】对于A选项，建立如图1所示的空间直角坐标系， 设，则． 设，则． ， ， ， 当，即时，的值最小，故A正确． 对于B选项，， ， ，故B正确． 对于C选项，如图2所示构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥， 使直线与平面的夹角为，则截口为点的轨迹图形， 由圆锥曲线的定义可知，点的轨迹为椭圆，故C正确． 对于D选项，直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 是与平面所成的角，又，则，故D不正确． 故选：ABC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知直线与，若，则实数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，从而可求出实数a的值 【详解】因为直线与，且， 所以，解得， 故答案为： 13. 若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而根据求出答案. 【详解】因为A与B相互独立，， 所以. 故答案为： 14. 若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的高为，根据圆锥的体积公式将体积用表示，再利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】解：设圆锥的高为，则底面圆的半径为， 故圆锥体积， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以， 即此圆锥体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若在处的切线与直线平行，求实数m的值； （2）若，求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值为2，无极大值 【解析】 【分析】（1）求导，可得切线斜率，即可根据直线平行满足的斜率关系求解， （2）根据导数求解函数的单调性，即可由极值定义求解. 【小问1详解】 由函数，定义域为， 可得， 可得，即在处的切线的斜率为， 因为在处的切线与直线平行， 可得，则； 【小问2详解】 若，可得，所以，其中， 可得， 令，可得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以当时，函数取得极小值为，无极大值． 16. 在中，内角所对的边分别为，其中，且． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式，正弦定理，两角和的正弦公式即可求解； （2）由余弦定理及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得，， 则， 因为，所以，则， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，所以， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 又，且， 所以， 综上，的取值范围为． 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2） ，当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 19. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 女 合计 （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （i）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ii）求第天他去甲餐厅用餐的概率. 附：； 【答案】（1）没有关联； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据卡方的公式代入计算，与临界值比较，即可求解； （2）（ⅰ）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解；（ⅱ）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解. 【小问1详解】 零假设：在不同区域就餐与学生性别没有关联， 根据表中的数据可得，， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联. 【小问2详解】 设“第天去甲餐厅用餐”， “第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”， 则两两独立，， 依题意，，，， ，，，，， （i）由，结合全概率公式可得， ， 所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为. （ii）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，则， 由全概率公式可得 故①，同理可得②， ③，④， 由①②得，由④可得， 代入②中可得，即，且， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 于是，当时，， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了独立性检验问题以及相互独立事件概率与数列结合问题，难度较大，解答本题的关键在于结合递推关系与等比数列的定义求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高三数学摸底考试 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ）. A. B. C. 8 D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A. 24 B. 120 C. 48 D. 60 7. 设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 8. 已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分） 9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第40百分位数不变 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的一个增区间是 D. 把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像 11. 如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的值最小 B. 当时， C. 若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D. 直线与平面所成角的正弦值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知直线与，若，则实数a的值为______． 13. 若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则______． 14. 若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若在处的切线与直线平行，求实数m的值； （2）若，求函数的极值． 16. 在中，内角所对的边分别为，其中，且． （1）求； （2）求的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 19. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 女 合计 （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （i）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ii）求第天他去甲餐厅用餐的概率. 附：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $