1.1 集合的概念 分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用拓展，通过选择、填空、解答题梯度设置，适配新授课知识巩固与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|元素与集合关系、集合表示方法、元素互异性|以选择填空为主，如集合表示方法辨析（第3题）、元素互异性应用（第2题），强化抽象能力与符号意识| |提升层|集合元素个数、新定义运算、参数讨论与证明|以解答题为主，如含参数集合元素问题（第3题）、新定义“融洽集”判断，深化推理能力与创新意识|

第一节 集合的概念同步练 一、选择题 1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－5 C． D． 2．已知集合Q中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．把集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法表示为(　　) A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4} C．{x2－3x－4＝0} D．{－1,4} 4．方程组的解集是(　　) A．(－5,4) B．(5，－4) C．{(－5,4)} D．{(5，－4)} 5．(多选)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中元素的是(　　) A．(1,2) B．(3,4) C．(5,4) D．(3,2) 二、填空题 6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________. 7．集合{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}用列举法可表示为________. 8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________. 三、解答题 9．已知集合A中含有三个元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值． 10．用适当的方法表示下列集合． (1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合； (2)方程＋|y－2|＝0的解集． 1．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．定义A⊗B＝，若A＝{0,2}，B＝{1,2}，则A⊗B中所有元素的和为(　　) A．1 B．2 C．9 D．18 3．由a2,2－a,4所组成的集合记为A. (1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (2)若A中只含有两个元素，求a的值． 4．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 5．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； (2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素． 非空集合G关于运算⊕满足： ①对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G； ②存在c∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”． 在下列集合和运算中，G关于运算⊕为“融洽集”的是(　　) A．G＝N*，⊕为整数的加法 B．G＝N，⊕为整数的加法 C．G＝Z，⊕为整数的减法 D．G＝{x|x＝2n，n∈Z}，⊕为整数的乘法 第一节 集合的概念同步练参考答案 一、选择题 1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－5 C． D． 答案　C 解析　由题意知a应为无理数，故a可以为. 2．已知集合Q中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 答案　B 解析　因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形． 3．把集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法表示为(　　) A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4} C．{x2－3x－4＝0} D．{－1,4} 答案　D 解析　解方程x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，所以集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法可表示为{－1,4}． 4．方程组的解集是(　　) A．(－5,4) B．(5，－4) C．{(－5,4)} D．{(5，－4)} 答案　D 解析　解方程组得故解集为{(5，－4)}． 5．(多选)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中元素的是(　　) A．(1,2) B．(3,4) C．(5,4) D．(3,2) 答案　CD 解析　因为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，因为C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)．故选CD. 二、填空题 6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________. 答案　2 解析　由x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，故集合A中的元素为－1和3，所以a＋b＝2. 7．集合{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}用列举法可表示为________. 答案　{(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)} 解析　由x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z， 所以有或 故有元素(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)，共4个． 则用列举法可表示为{(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}． 8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________. 答案　{1,3} 解析　由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 三、解答题 9．已知集合A中含有三个元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值． 解　因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，所以a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以a＝－1舍去． 当a＝－时，经检验，符合题意，所以a＝－. 10．用适当的方法表示下列集合． (1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合； (2)方程＋|y－2|＝0的解集． 解　(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12,21,13,31,23,32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}． (2)由＋|y－2|＝0得 所以所以方程＋|y－2|＝0的解集用描述法可表示为. 1．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案　A 解析　当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x<0，此时集合共有2个元素；当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合共有1个元素；当x<0时，＝|x|＝－＝－x，此时集合共有2个元素．综上，此集合最多有2个元素． 2．定义A⊗B＝，若A＝{0,2}，B＝{1,2}，则A⊗B中所有元素的和为(　　) A．1 B．2 C．9 D．18 答案　C 解析　由A⊗B的定义知，当x＝0，y＝1时，z＝0；当x＝0，y＝2时，z＝0；当x＝2，y＝1时，z＝4；当x＝2，y＝2时，z＝5，所以z中共有3个元素，其和为9. 3．由a2,2－a,4所组成的集合记为A. (1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (2)若A中只含有两个元素，求a的值． 解　(1)由题意知，若A中只有一个元素，则这三个数相等，即a2＝2－a＝4，由2－a＝4解得a＝－2. 此时a2＝4，所以符合条件． 故当a＝－2时，A中只有一个元素． (2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等． 当2－a＝4时，a＝－2，由(1)知此时集合A中只含一个元素，不符合题意； 当a2＝4，即a＝2或a＝－2(舍去)时，2－a＝0，故此时集合A中含有两个元素：0,4. 当a2＝2－a，即a2＋a－2＝0时， 由(a－1)(a＋2)＝0解得a＝1或a＝－2(舍去)， 此时a2＝2－a＝1， 显然集合A中含有两个元素：1,4. 综上，当a＝2或a＝1时，集合A中有两个元素． 4．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，解得x＝，符合题意． 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意，得Δ＝9－8a＝0，解得a＝. 所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． (2)由题意，得当 即a<且a≠0时方程有两个实根， 又由(1)知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以实数a的取值范围是. (3)由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． 当集合A中没有元素，即A＝∅时， 由题意，得解得a>. 综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素． 5．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； (2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素． 解　(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，∴a≠0，且a≠1. 由a∈S，则∈S可得∈S， 即＝＝1－∈S. 故若a∈S，则1－∈S. (2)由2∈S，知＝－1∈S； 由－1∈S，知＝∈S， 当∈S时，＝2∈S， ∴当2∈S时，S中必含有－1和. (3)证明：由(1)，知a∈S，∈S,1－∈S. 下证：a，，1－三者两两互不相等． ①若a＝，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴a≠； ②若a＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴a≠1－； ③若＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴≠1－. 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素． 非空集合G关于运算⊕满足： ①对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G； ②存在c∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”． 在下列集合和运算中，G关于运算⊕为“融洽集”的是(　　) A．G＝N*，⊕为整数的加法 B．G＝N，⊕为整数的加法 C．G＝Z，⊕为整数的减法 D．G＝{x|x＝2n，n∈Z}，⊕为整数的乘法 答案　B 解析　对于A，由任意正数a，b，知a＋b仍为正数，故有a⊕b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有a＋c＝c＋a＝a，故A的G不是“融洽集”；对于B，根据题意我们可知，当a，b都为非负整数时，a，b通过加法运算还是非负整数，故有a⊕b∈G，且存在一整数0∈G有0＋a＝a＋0＝a，所以B的G为融洽集；对于C，由任意整数a，b知a－b仍为整数，故有a⊕b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有a－c＝c－a＝a，故C的G不是“融洽集”；对于D，由任意偶数a，b知ab仍为偶数，故有a⊕b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有ac＝ca＝a，故D的G不是“融洽集”．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $