1.1集合的含义与表示同步练习题-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念与表示，分层设计基础巩固、能力提升、拓展探究三阶练习，通过概念辨析、参数讨论、抽象证明递进培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合含义、元素与集合关系|选择题辨析元素归属（如第1题）、集合确定性（第7题），夯实概念理解| |提升层|元素性质、含参集合问题|结合参数讨论元素互异性（第8题）、集合元素个数（第12题），发展分类讨论思维| |拓展层|抽象集合性质|通过自定义集合证明封闭性（第11题），培养逻辑推理与数学表达能力|

集合的含义与表示同步练习题 一、选择题 1．下列关系中,正确的是(      ) A. B. C. D. 2．下列四组集合中表示同一集合的为(      ) A., B., C., D., 3．已知集合，则(      ) A. B. C. D. 4．已知集合若,则m的值为(      ) A.1 B. C.1或 D.或 5．集合的另一种表示法是( ) A. B. C. D. 6．关于x，y的方程组的解集是(      ) A. B. C. D.或 7．下列对象不能构成集合的是(      ) ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体. A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 8．已知集合，且，则实数a的值为(   ) A. B.0 C.3 D.或3 9．如果集合 中只有一个元素,则实数m的所有可能值的和为(      ) A.5 B.4 C.3 D.1 10．若集合中的元素是的三边长,则一定不是(      ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、解答题 11．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①；②若，则. （1）求证：若，则； （2）若，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； （3）求证：集合S中至少有三个不同的元素. 12．已知集合. （1）若，求实数a的值； （2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 参考答案 1．答案：C 解析：对于A,因为不是正整数,所以,故A错误； 对于B,因为是无理数,所以,故B错误； 对于C,因为0是自然数,所以,故C正确； 对于D,因为不是整数,所以,故D错误. 故选：C. 2．答案：B 解析：对A,两个集合中元素对应的坐标不同,则A不正确; 对B,集合中的元素具有无序性,两个集合是同一集合,故B正确; 对C,两个集合研究的对象不同,一个是点集,一个是数集,则C不正确; 对D,M是以为元素的集合,N是空集,则D不正确. 故选:B. 3．答案：A 解析：因为， 所以，，，. 4．答案：B 解析：因为 所以或, 当时,,此时,,故舍去: 当时,解得或（舍去）, 综上. 故选:B 5．答案：B 解析：因为,所以, 又因为,所以, 所以, 故选:B. 6．答案：C 解析：由，则，， 所以方程组的解集为. 故选：C 7．答案：D 解析：研究一组对象能否构成集合的问题,首先要考查集合中元素的确定性. ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限. 故选：D. 8．答案：C 解析：因为，所以分为以下两种情况讨论. ①或，当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去. ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去. 综上所述，.故选C. 9．答案：B 解析：当,即时,方程为有唯一解为,符合题意； 当,即时,由集合有且只有一个元素, 可得判别式,解得, 综上可知或, 故实数m的所有可能值的和为4. 故选：B. 10．答案：D 解析：根据集合元素的互异性,在集合中,必有, 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 11．答案：（1）证明见解析 （2）， （3）证明见解析 解析：（1）证明：若，则，与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合S中必含有，两个元素. （3）证明：设，由（1）知且，则，. 令，化简可得， 因为，所以方程无解，即. 令，化简可得，同理无解，即， 所以集合S中至少有三个不同的元素. 12．答案：（1） （2） 解析：（1）因为，所以，解得. （2）①当时，方程为，解得，此时集合A中只有一个元素6，符合题意； ①当时，若集合A中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且. 综上所述，实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $