1.1　集合的概念同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念核心考点，通过基础辨析-中档应用-提升探究三层设计，实现从概念理解到综合运用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合概念、元素特征、简单表示|如第1题概念辨析、第4题元素关系判断，直接对标新授课基础目标| |中档|元素互异性、集合表示辨析|如第3题参数求值、第9题多选题表示方法辨析，强化推理能力| |提升|综合应用与新定义探究|如第15题含参方程集合、第17题新定义集合证明，发展创新意识与模型意识|

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 1.C　[解析] 对于A,“难题”是不确定的概念,所以“2025年高考数学全国二卷中的难题”不能构成集合,故A错误;对于B,“身高较高”是不确定的概念,所以“某中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合,故B错误;对于C,“《数学》(人教A版)必修第一册中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面,所以这个整体能够构成集合,故C正确;对于D,“美丽的”是不确定的概念,所以“美丽的小鸟”不能构成集合,故D错误.故选C. [规律方法] 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象能否唯一确定,即能否找到一个明确的标准,确定任意一个对象是否是给定集合中的元素. 2.C　[解析] 由a,b,c,d为集合A中的4个元素,得a,b,c,d两两不相等,而菱形、正方形的四边相等,平行四边形两组对边分别相等,则以a,b,c,d为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形,故A,B,D错误;又梯形两底不相等,两腰可以不相等,因此以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是梯形,故C正确.故选C. 3.a≠±2且a≠1　[解析] 由集合的互异性可知解得所以实数a应满足的条件是a≠±2且a≠1. 4.B　[解析] N*,Z,Q,R分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集.|-2|=2是正整数,故①错误;0是整数,故②错误;是无理数,故③错误;-是实数,故④正确;1.21是有理数,故⑤正确.故选B. 5.A　[解析] 当a=1,b分别为2,4,6时,a+b分别为3,5,7;当a=3,b分别为2,4,6时,a+b分别为5,7,9;当a=5,b分别为2,4,6时,a+b分别为7,9,11.根据集合的互异性,可知C={3,5,7,9,11},共有5个元素.故选A. 6.CD　[解析] 当x,y,z都为正数时,代数式的值为4;当x,y,z中有一个负数两个正数时,代数式的值为0;当x,y,z中有一个正数两个负数时,代数式的值为0;当x,y,z都为负数时,代数式的值为-4.故选CD. 7.-　[解析] 由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a.由-3=a-2,解得a=-1,经验证a=-1不满足条件.由-3=2a2+5a,解得a=-1或a=-,经验证a=-1不满足条件.综上,a=-. 8.C　[解析] 对于A,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一个集合,故A错误;对于B,(3,1)与(1,3)表示不同的点,则M与P不是同一个集合,故B错误;对于C,集合M表示大于或者等于1的数,集合P表示大于或者等于1的数,则M与P是同一个集合,故C正确;对于D,集合M表示二次函数y=x2-1(x∈R)中y值的集合,为数集,而集合P是二次函数y=x2-1(x∈R)的图象上所有点组成的集合,为点集,则M与P不是同一个集合,故D错误.故选C. 9.BCD　[解析] 对于A,集合{x∈N|x3=x}中只含有两个元素0和1,所以用列举法表示为{0,1},故A中说法正确;对于B,R表示实数集,实数集用{R}为错误表示,另外花括号具有所有的意义,描述内容中不能再出现所有字眼,故B中说法错误;对于C,解集应为,故C中说法错误;对于D,集合{y|y=x2}为y的取值集合,集合{(x,y)|y=x2}表示曲线y=x2上点的集合,所以两个集合不是同一个集合,故D中说法错误.故选BCD. 10.{-6,-3,-2,-1,3,6}　[解析] 根据∈Z可知3-x可以取-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.当3-x=-6时,x=9∈N*,符合题意;当3-x=-3时,x=6∈N*,符合题意;当3-x=-2时,x=5∈N*,符合题意;当3-x=-1时,x=4∈N*,符合题意;当3-x=1时,x=2∈N*,符合题意;当3-x=2时,x=1∈N*,符合题意;当3-x=3时,x=0∉N*,不符合题意;当3-x=6时,x=-3∉N*,不符合题意.故符合题意的3-x的值可以取-6,-3,-2,-1,1,2,对应的值依次是-1,-2,-3,-6,6,3,所以集合A用列举法可以表示为{-6,-3,-2,-1,3,6}. 11.解:(1)根据描述用不等式可以表示为{x∈R|1<x<10}. (2)先表示为{x|3x+4≥2x},解不等式得{x|x≥-4}. (3)到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上,可以表示为{(x,y)|y=±x}. 12.C　[解析] 因为1∈A且2∉A,所以解得<a≤.故选C. 13.B　[解析] 因为a∈P,b∈Q,所以a=2k1,k1∈Z,b=2k2-1,k2∈Z,所以a+b=2(k1+k2)-1=2k-1∈Q,其中k1,k2,k∈Z,故选B. 14.1　[解析] 由题意知a≠0,若a=a2,则a=1,检验可知不满足集合中元素的互异性,所以a=a+b, 则b=0,此时a2=1,可得a=-1,集合为{-1,0,1},满足题意,故a2026+b2026=1. 15.解:(1)∵A中有两个元素,∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根, ∴Δ=9+16a>0,且a≠0,解得a>-,且a≠0. 故实数a的取值范围是. (2)当a=0时,方程为-3x-4=0,解得x=-,集合A中只有一个元素;当a≠0时,若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根,则A中只有一个元素,即Δ=9+16a=0,解得a=-, 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根,则A中没有元素,即Δ=9+16a<0,解得a<-. 综上可知,实数a的取值范围是. 16.A　[解析] 由题意得m有3个正因数,而在正整数中,恰有3个正因数的数是质数的平方,设p为质数,则m=p2,此时正因数为1,p,p2,∵1≤m≤10,m∈N*,∴p2≤10,则p=2或3,∴m的值为4或9.故选A. 17.解:(1)因为=2-∈A,所以2+∈B. 因为==∉A,所以3-∉B. 因为0没有倒数,所以0∉B. 因为==7-4∈A,所以7+4∈B. 综上可得,2+∈B,7+4∈B. (2)证明:设x=s+t,y=p+q,s,t,p,q∈Z,则x∈A,y∈A, 所以xy=(p+q)(s+t)=sp+3tq+(sq+tp), 因为sp+3tq,sq+tp都是整数,所以xy∈A, 当x∈B,y∈B时,∈A,∈A,所以·=∈A,所以xy∈B. (3)证明:因为x=m+n∈B, 所以===+∈A,所以,都是整数, 所以-3==为整数,所以m2-3n2=±1. 若m2-3n2=-1,则m2+1=3n2,则m2+1为3的整数倍, 设k为整数,若m=3k,则m2+1=9k2+1不是3的整数倍; 若m=3k+1,则m2+1=9k2+6k+2=3(3k2+2k)+2不是3的整数倍; 若m=3k+2,则m2+1=9k2+12k+5=3(3k2+4k+1)+2不是3的整数倍. 所以m2-3n2≠-1,所以m2-3n2=1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 考点一　 集合的概念与元素的特征 1.[2026·重庆名校联盟高一联考] 下列各组对象中,能构成集合的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2025年高考数学全国二卷中的难题 B.某中学高一年级身高较高的学生 C.《数学》(人教A版)必修第一册中的所有习题 D.美丽的小鸟 2.若a,b,c,d为集合A中的4个元素,则以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是 (　 ) A.菱形 B.平行四边形 C.梯形 D.正方形 3.若a2,2-a,4为集合A的3个元素,则实数a应满足的条件是　　　　　　.  考点二　 元素与集合的关系 4.[2026·天津武清区高一期中] 给出下列关系:①|-2|∉N*;②0∉Z;③∈Q;④-∈R;⑤1.21∈Q.其中正确的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知集合A={1,3,5},B={2,4,6},则C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}中的元素个数为 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.(多选题) 已知x,y,z均为非零实数,代数式+++的值组成集合A,则下列判断正确的是 (　 ) A.-2∈A B.0∉A C.-4∈A D.4∈A 7.已知集合A={a-2,12,2a2+5a},且-3∈A,则a=　　　　.  考点三　集合的表示 8.下列各组M,P中,表示同一个集合的是 (　 ) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} 9.(多选题) 下列说法中错误的是 (　 ) A.集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{0,1} B.实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C.方程组的解组成的集合为 D.集合{y|y=x2}与{(x,y)|y=x2}是同一个集合 10.集合A=用列举法可以表示为　　　　　　　　　　.  11.[教材P5第3题变式] 用描述法表示下列集合: (1)比1大又比10小的实数组成的集合; (2)不等式3x+4≥2x的所有解; (3)到两坐标轴距离相等的点的集合. 12.[2026·湖南长沙一中、广雅中学高一月考] 已知关于x的不等式3ax-2≤0的解集为A,若1∈A且2∉A,则 (　 ) A.<a< B.a<0 C.<a≤ D.a> 13.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k-1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则 (　 ) A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.以上都不对 14.含有三个实数的集合可表示为,也可以表示为{a2,a+b,0},则a2026+b2026的值为　　　　.  15.已知集合A={x|ax2-3x-4=0}. (1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围; (2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. 16.已知1≤m≤10,m∈N*,集合M=有3个元素,则m的一个值为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 17.[2026·湖北华中科大附中高一检测] 已知集合A={x|x=m+n,m∈Z,n∈Z},集合B满足B=. (1)判断2+,3-,0,7+4中的哪些元素属于集合B; (2)证明:若x∈B,y∈B,则xy∈B; (3)证明:若x=m+n∈B,则m2-3n2=1. 学科网（北京）股份有限公司 $