浙江省杭州第二中学2026-2027学年第一学期开学适应性检测高三数学试卷

**基本信息** 杭二中高三开学数学检测聚焦核心知识整合，以复数、导数、立体几何等为载体，通过函数性质分析、概率赛制建模、整数数列证明等问题，考查数学抽象、逻辑推理与创新思维，适配高三开学适应性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数运算、集合运算、椭圆双曲线离心率|基础巩固与能力分层，如第6题综合椭圆双曲线性质考查数学眼光| |填空题|3/15|等比数列、三角恒等变换、交替子集|创新应用，第14题交替子集问题培养数学抽象能力| |解答题|5/77|解三角形、立体几何二面角、概率赛制、整数数列证明|综合性与探究性，第18题概率赛制建模体现数学语言表达，第19题数列证明考查逻辑推理|

杭二中高三年级2026学年第一学期开学检测 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B A B D C 题号 9 10 11 答案 ACD AC AC 12．324 13． 14．144 15．【详解】(1)由余弦定理得， 故，所以，即． (2)由，得， 解得或5，均满足条件，故周长分别为8+7+3=18或8+7+5=20． 16．【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； （2）因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17．【详解】（1）连接，由题意知， 则， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，. 所以，，所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，所以， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以， 由，，得，解得. 不妨设，则，． 所以的面积. 18．【详解】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则. （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ； 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为. （3）乙只赛2场，须首轮负且败区再负，故， 乙首轮负时，败区第三场的对手为甲或丙、丁中的胜者， 乙取胜的条件概率为，故进决赛概率为， 乙首轮胜而后在胜区落败时，败区第三场的对手为甲或丙、丁中的败者， 乙取胜的条件概率为，故进决赛概率为， 故，， 故分布列为 2 3 4 19．【详解】(1)，故．又为整数，所以． (2)由题意，为整数，故，故． 故． (3)不妨设，则． 对于，设． 对于，故． 对于，有． 因此． 故．因此，得． 另一方面，当时等号成立，故的最大值为12． 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭二中高三年级2026学年第一学期开学检测 数学试卷 命题：高三数学备课组 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 2．设全集，，则（ ） A． B． C． D． 3．若，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知是函数的极值点，则（ ） A．2 B． C．1 D． 5．已知向量，，则“”是“向量，共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D． 8．已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．为偶函数 B．，有 C．的值域为 D．，不等式恒成立 10．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为菱形，，分别是，的中点，在上，且，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A． B． C．平面 D．若上一点在平面内，则 11．已知曲线：，下列结论正确的是（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2 D．曲线的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列是等比数列，若，，则 ． 13．已知，，若且，则 ． 14．对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 在中，角、、所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，，求的周长． 16．(15分) 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且． （1）求证：直线 （2）若，且三棱锥的体积为．求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．(15分) 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 18．(17分) 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”， 败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （1）求丙获得第四名的概率； （2）求甲获得冠军的概率； （3）求乙参与对阵的比赛场数的分布列． 19．(17分) 已知整数数列满足，且对于任意的，均有，其中为的平均数． （1）求的所有可能取值； （2）若正整数，满足，证明：； （3）在所有满足要求的数列中，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $