浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期返校测试数学试题

答案第 1页，共 4页 杭州第四中学 2025学年第一学期高三年级返校测试 数学试题卷 命题、审题：高三备课组 2025年 8月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分 150分，考试时间 120分钟。 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。 4．考试结束，只上交答题卷。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．命题“∃� ∈ −∞,1 ，�3 + 2� − 1 < 0”的否定是（ ） A．∃� ∈ [1, + ∞)，�3 + 2� − 1 ≥ 0 B．∃� ∈ −∞,1 ，�3 + 2� − 1 ≥ 0 C．∀� ∈ [1, + ∞)，�3 + 2� − 1 ≥ 0 D．∀� ∈ −∞,1 ，�3 + 2� − 1 ≥ 0 2．若复数� = 1−i �+i 为纯虚数，i为虚数单位，则�的虚部为（ ） A．1 B．i C．−1 D．− i 3．已知角�按逆时针方向旋转π 3 ，其终边经过点 4,3 ，则 sin 2� + π 6 =（ ） A． 7 25 B．18 25 C．− 16 25 D．− 7 25 4．已知向量� ，� 满足 � = 4， � = 2，� 与� 的夹角为π 3 ，则 � − � =（ ） A．2 B．4 C．2 3 D．2 5 5．在三棱锥� − ���中，�� ⊥ ��且�� = ��，底面���是等边三角形，平面��� ⊥平面���，若�� = 2��， 则平面���与平面���所成角的余弦值为（ ） A． 2 3 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 6．已知数列 �� 满足�1 = 4 3 ，��+1 = ��2 − �� + 1，则� = 1 �1 + 1 �2 +⋅⋅⋅+ 1 �2020 的整数部分是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．双曲线� 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的左、右焦点分别为�1, �2，以右焦点�2为焦点的抛物线�2 = 2��(� > 0) 与双曲线交于第一象限的点 P，若 ��1 + ��2 = 3 �1�2 ，则双曲线的离心率� =（ ） A．2 B．5 C． 2+1 2 D． 5+1 2 答案第 2页，共 4页 8．已知� > 1，且函数� � = �2 − � + � + 2 �2 − 4� + � ，若对任意的� ∈ 1, � ，不等式� � ≥ � − 1 � 恒成立，则实数�的最大值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．25 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知向量� = (1, − 1,0), � = (2,1, − 2)，则下列向量中与� , � 共面的向量是（ ） A．� 1 = (3,0, − 2) B．� 2 = ( − 1,2,2) C．� 3 = (0, − 3,2) D．� 4 = (5,1, − 2) 10．已知{��}为等差数列，�� = �� − 6，�为奇数 2��，�为偶数 ，记��，��分别为数列{��}，{��}的前�项和（ ） A．{�2�−1}是等差数列 B．若�3 = 16，则�2 = 7 C．若�3 = 16，�4 = 32，则�5 = �5 D．若{��}是单调递增数列，则��最小值为�1 11．已知11� = 12，� = 12� − 13，� = 10� − 11，则下列说法正确的有（ ） A．� < 0 B．� < 0 C．� > � D．�� > 1 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分。 12．若函数� � （� ∈ �）满足� � = � 2 − � ，且函数� = �2 − 2� − 3 的图象与函数� � 的图象的交点分 别为 �1, �1 ， �2, �2 ，…， �7, �7 ，则 �=1 7 �� = . 13．将 3个小球随机放入 4个盒子，记小球最多的盒子里小球数目为�，则� � = ． 14．已知� 为平面单位向量，平面向量� 满足 � − � + 2 � + � = 4，则 � −� ⋅ � +� � +� 的最小值为 ，最 大值为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）设函数    2 lnf x x ax x a   R ． (1)若 1a  ，求函数  y f x 的单调区间； (2)若函数  f x 在区间  0,1 上是减函数，求实数a的取值范围． 答案第 3页，共 4页 16．（15分）已知点� 1,0 , � 4,0 ，动点� �, � 满足 �� �� = 1 2 ，设动点�的轨迹是曲线�，直线�: � = �� + 1与 曲线�交于�, �两点． (1)求曲线�的方程； (2)若�� ⋅ �� =− 2，求实数�的值； (3)过点 0,1 作垂直于�的直线�1，且直线�1与曲线�交于�,�两点，求四边形����面积的最大值． 17．（15分）已知正项等比数列 �� 的前�项和为��，满足�1 = 1，��+2 − 2��+1 = �� − 2��−1(� ≥ 2). (1)求数列 2�+1 �� 的前�项和��. (2)在（1）的条件下，若∀� ∈ �+，�� ≥ 10 1 − 1 �� − �，求�的最小值. 答案第 4页，共 4页 18．（17分）甲同学将其电子表调成了 12小时制，即该表的显示时间为 00: 00至 11: 59（不显示秒）.该同 学某天随机的观测时间（即看到每一时刻的概率均等），得到由 4个数字组成的时间点.记第 2个数字为�， 这 4个数字之和为�. (1)求� = 2的概率； (2)列出�的所有可能取值，并计算每个取值对应的事件所包含样本点的个数； (3)求�的数学期望� � . 19．（17分）如图，在三棱柱��� − �1�1�1中，�，�分别为棱��，��上的点，满足�� = 2��，�� = ��， 且△ ���1与△���1的面积之比为 3． (1)证明：��1∥平面�1��； (2)求点�1到平面���1与到平面���1的距离之比； (3)若�� > ��，直线��，��，�1�两两相互垂直，求平面���1与平面���1所成角余弦值的取值范围． 杭州第四中学2025学年第一学期高三年级第一次月考 三、解答题（共7分） 数学答题卷 15.(满分13分) 1(满分15分) 痕级 姓名： 议场号： 座位号： 注意事项： L远作等必领用2B铅笔，动时用橡皮干净。笔理作公漂用出色墨 捷西字笔或啊笔请写， 2 答理不得园出答壁短。保持卡看清清。不要折业，不要弄成： 【1I03 c【3 C11 E11 t1中 11 敏考标记【1 21 (23 t11 13 11 11 11 【11 t41 4 4 C ti子 【1 ci3 E83 E41 单选圆：（共40分，每小恩5分） 1 CA2E8ICO3102 5 t1r1【E1t0 2 E4T[1C03o3 EA3E8TE13ED3 LASLBIEG3103 7 LiJEIE51LP3 8 二、多进题：（共18分，每小题6分》 10 EA3181 DEICD3 1HEa3[301cp时 二、填空题：（共15分，每小题6分） 12 13 14. 第1/共2真 17.(满分5分) 18.(满分7分) 9.满分17分1 第1可线7真杭州第四中学2025学年第一学期高三年级返校测试 参考答案 题号 1 2 3 4 J 6 7 8 9 10 答案 D A D C D B A c AC ABC 题号 11 答案 BC 8.【详解】解：由f(x)≥(a-1)x,在xe(1,a)上恒成立， 可得x+-1+2k+-4≥a-1, x+-1+2+-4=x+-+k+-4+k+-4≥+-1-x+4=3+x+ -4≥3， 当(x+-1)x+-④)≤0时，第一个等号成立，当x+-4=0时，第二个等号成立， 若3≥a-1,则a≤4，所以当1<a≤4时显然成立： 当a>4时， 则x+-1之2W反-1>0，当x=号即x=Va时等号成立. x+:-4≥2Va-4>0,当x=号，即x=Va时等号成立， 所以x+:-1+2k+-4=3(x+9-9≥6a-9,故当x=V@时取到等号， 可得6√a-9≥a-1, 即6va≥a+8,即（√a-2)(a-4)≤0，解得2≤√a≤4，所以4≤a≤16， 又因为a>4,所以4<a≤16，综上得1<a≤16故选：C, 1.【详解】设/因=巴，c>1).则f国=之田=也 x(x+1)In2x 当x>1时，y=x,y=lnx均为单调递增函数，且值恒为正，故函数y=xnx为(1，+∞)上的单调递增函数， 因此xnx<(x+1)n(x+1), 故f(x)<0,故函数f(x)为(1，+o)上的单调递减函数，故f(10)>f(11)>f(12), 即>二>品即logo11>1og12>1ogz13, 由11=12可得t=10g1112, a=12-13=12o112-13>12o8z13-13=13-13=0,故a>0,A错误， b=10-11=10o8112-11<10081011-11=11-11=0,故b<0,B正确， 由于a>0,b<0,故a>b,ab<0,C正确，D错误， 答案第1页，共6页 12.7 13.无 14. -8+215 a+e -e 【详解】设x=a-y=a+,则x+2y=4①. a 如图由余弦定理，a-可6回=2+y24 a+ 2y 将表达式齐次化，原式= x2+y2-(（ty yty) 当x=0时，原式=0，当x>0时，由图可知，x-y≤2，再结合①解得x∈(0，到记k=兰-生-是-∈ 眼+） =e(照威 当eO则限式-房（当t-0,照式-0：当te(m0.原式-高8+2压，0 综上， @2a+回的最小值为-8+2W5,最大值为号 a+利 故答案为：-8+2W15,号 15解()a=1时，f树)=2+-lrr>0,÷f付)=2x+1-1-2x-x+c>0, 当e ,f"(x)<0,f()为单调减函数。 当xe行+)>0，f为单调增函数。 ∴✉的单调减区间为0，引， 单调增区间为 (2):f()=2x+a-f在区间(0，上是减函数。 f()≤0对任意xe(0,1]恒成立，即2x+a-1≤0对任意xe(0,1)恒成立， 令g)-士2x,则a≤g(,因为函数yy=-2在01上祁是减函数。 所以函数g(x)在(0，上单调递减，∴g()=g)=-1,a≤-1： 16.1)x2+y2=4(2)k=0 (3)7 【详解】(1)由rA==-+罗 T2G-4)2+y 化简整理得x2+y2=4. 所以曲线C的方程为x2+y2=4. (2)因为0丽.00=2×2×c0sP0Q=-2,所以c0s4P0Q=-,4P0Q=120, 答案第2页，共6页 所以圆心到直线：kx-y+1=0的距离d= 2车=OPcose601,所以k=0. (3)当k=0时，1MN=25,1PQ1=4,S网边形Pw0N=×2V5×4=4W3: 当k≠0时，圆心到直线kx-y+1=0的距离d=所以MN=24-本 √k2+1 又1y=-x+1,同理得PQ1=24-,1 所以5影Pwov=MNPQ=24-品3+品 整理得5造w0v=2(一一)+9s2×子=7，当且仅当k=士1时取等号. 当k=士1时，(（Sn边we）R二7 综上，当k=士1时，四边形PMQN面积有最大值7. 17.ar,=10-meN,)o号 【详解】(1)由于{anJ为正项等比数列，Sn+2-Sn=2Sm+1-2Sm-1(n≥2)，故an+2+a+1=2(an+1+ a,)m≥2，故公比q=a2+=2, ant1+an 放an=2n-1,则2+1=21， =片 1 1 =3X六t5X方+7x7++2m+1)X,高 y 1 1 1 n=3×元+5×2z+7×2元++(2m+1)×2元 两武相减得，打，=3-(2m+)×+2×北包=5-如s 12 2 所以T,=10-(neN4) (2)由已知得mEN,r≥10(1-月)-A可得A≥=即1≥（偿） 设b,==meN,b1-b.=-== 20 当1≤n≤3时，bn+1-bn>0:当n24时，bn+1-bm<0 所以当n=4时，b,取最大值后即1≥。故的最小值是 18.(0品(2x的所有可能取值为0,1，，9，样本点个数见解析(6)们=11 【详解】(1)该电子表用12小时制时，表示时的数字从00至11，共12种情况， 表示分的数字从00至59，共60种情况，可得样本容量为n色=12×60=720， 答案第3页，共6页 事件Y=2的可能情况为4个数字中1个2与3个0，或者2个1与2个0， 其中第1位数字为2的情况不符合要求，所以符合要求的样本点个数为C?+C-9, 所以PW=2)=品=品 (2)X的所有可能取值为0,1，…，9， 当电子表运行12小时的时候，表示时的数字是从00至11，其中第2个数字出现0与1两次，出现2至9 一次 因此，样本空间中，X取2至9时，各有60个样本点： X取0与1时，各有2×60=120个样本点. 723 (3)由题意可知，Y的所有可能取值为0,1,223，且0Y)=2。PY=)·i= n0v=0.i=】 =0 ne 2nY=)·i, 其中2。n(W=)·表示所有可能时间点的四个数字之和的和， 因此，根据时间点的四个位置上的数进行分类讨论求和： 第1个位置的数为0的情况为00至09，共10个，由于均为0，可不计入计算： 为1的情况为10和11，共有2×60=120个，则所有样本点的第1个数字之和为120： 由(2)可知，第2个位置的数取2至9时，各有60个， 其和为(2+3+4+5+6+7+8+9)×60=2640： 取0与1时，各有2×60个，其和为(0+1)×2×60=120， 可得所有样本点的第2个数字之和为2760： 第3个位置的数取0至5时，各有10×12个， 其和为(0+1+2+3+4+5)×10×12=1800：、 第4个位置的数取0至9时，各有6×12个， 其和为(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×6×12=3240. 综上，22。nY=0·i=120+2760+1800+3240=7920, 故0=六吗nW=0i-器=11 19.【详解】 (1)如图，作平行四边形MACD与平行四边形MAC1D1: 易知MN∥AD∥A1D1,故M,N,A1,D1共面， 又AC1∥MD1,AC1￠平面MNA1D1,故AC1∥平面A1MN. 答案第4页，共6页 D (2)设点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离分别为d1,d2: 由AC1∥平面A1MN,有VC1-AMN=VA-A1MN, VC-ABA=VG-ABA-VC-ABC VC-AMN-VA-CMNVC-ARG VAARCdVSAMNCda 由题意，S△ABG1=3S△MNC1' 即得d1=2d2 (3)如图，以B为原点，BA,BC,BA为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系. 设BA=1,BC=Q>1,BA1=b, 则A(1,0,0),C(0,a,0),A1(0,0,b),C1(-1,a,b),M(G,0,0N(0,0） 4 设平面ABC1的一个法向量为n1: 则A丽n1=0 AC·n1=0 可取n=(0,1-) 设平面MNC1的一个法向量为n2: 则丽n2=0 MC·n2=0 可取n2=(3a,4,) 则4-=品d=-高 由d1=2d2可知ln2l=2n1l, 即41+别=9a2+16+号>25+，解得号=te(3,+四)， 设平面ABC1与平面MNC1所成角为6， 则os0==动=北-)e(信) 答案第5页，共6页 答案第6页，共6页 杭州第四中学2025学年第一学期高三年级返校测试 数学试题卷 命题、审题：高三备课组 2025年8月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。 4．考试结束，只上交答题卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知角按逆时针方向旋转，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 5．在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 8．已知，且函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 10．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和（    ） A．是等差数列 B． C． D．若是单调递增数列，则最小值为 11．已知，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则 . 13．将3个小球随机放入4个盒子，记小球最多的盒子里小球数目为，则 ． 14．已知为平面单位向量，平面向量满足，则的最小值为 ，最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围． 16．（15分）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 17．（15分）已知正项等比数列的前项和为，满足，. (1)求数列的前项和. (2)在（1）的条件下，若，，求的最小值. 18．（17分）甲同学将其电子表调成了小时制，即该表的显示时间为至（不显示秒）.该同学某天随机的观测时间（即看到每一时刻的概率均等），得到由个数字组成的时间点.记第个数字为，这个数字之和为. (1)求的概率； (2)列出的所有可能取值，并计算每个取值对应的事件所包含样本点的个数； (3)求的数学期望. 19．（17分）如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为 (1)证明：∥平面； (2)求点到平面与到平面的距离之比； (3)若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州第四中学2025学年第一学期高三年级返校测试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C D B A C AC ABC 题号 11 答案 BC 8．【详解】解：由，在上恒成立， 可得， 又， 当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立， 若,则,所以当时显然成立； 当时， 则当，即时等号成立， ，当，即时等号成立， 所以，故当时取到等号， 可得， 即，即，解得，所以， 又因为，所以，综上得.故选：C． 11．【详解】设，则， 当时，均为单调递增函数，且值恒为正，故函数为上的单调递增函数，因此， 故，故函数为上的单调递减函数，故， 即，即， 由可得， ，故，A错误， ，故，B正确， 由于，故，C正确，D错误， 12．7 13． 14． 【详解】设，则①. 如图由余弦定理，. 将表达式齐次化，原式. 当时，原式，当时，由图可知，，再结合①解得，记， 令，原式. 当，则原式；当，原式；当，原式. 综上，的最小值为，最大值为. 故答案为：；. 15解:（1）时，，∴， ∵当，，为单调减函数． 当，，为单调增函数． ∴的单调减区间为，单调增区间为； （2）∵，在区间上是减函数， ∴对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则，因为函数在上都是减函数， 所以函数在上单调递减，∴，∴； 16．(1) (2) (3)7 【详解】（1）由，化简整理得． 所以曲线的方程为． （2）因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以． （3）当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7． 17．(1) (2) 【详解】（1）由于为正项等比数列，，故，故公比， 故，则， 两式相减得， 所以 （2）由已知得由可得，即 设， 当时，；当时， 所以当时，取最大值，即.故的最小值是. 18．(1) (2)的所有可能取值为，样本点个数见解析 (3) 【详解】（1）该电子表用小时制时，表示时的数字从至，共种情况， 表示分的数字从至，共种情况，可得样本容量为， 事件的可能情况为个数字中个与个，或者个与个， 其中第位数字为的情况不符合要求，所以符合要求的样本点个数为， 所以. （2）的所有可能取值为， 当电子表运行小时的时候，表示时的数字是从至，其中第个数字出现与两次，出现至一次 因此，样本空间中，取2至9时，各有60个样本点； 取0与1时，各有个样本点. （3）由题意可知，的所有可能取值为，且 ， 其中表示所有可能时间点的四个数字之和的和. 因此，根据时间点的四个位置上的数进行分类讨论求和： 第1个位置的数为0的情况为00至09，共10个，由于均为0，可不计入计算； 为1的情况为10和11，共有个，则所有样本点的第1个数字之和为120； 由（2）可知，第2个位置的数取2至9时，各有60个， 其和为； 取0与1时，各有个，其和为， 可得所有样本点的第2个数字之和为2760； 第3个位置的数取0至5时，各有个， 其和为；、 第4个位置的数取0至9时，各有6×12个， 其和为. 综上，， 故. 19．【详解】 （1）如图，作平行四边形与平行四边形 易知∥∥，故，，，共面， 又∥，平面，故∥平面 （2）设点到平面与到平面的距离分别为，， 由∥平面，有， 则，， 又，， 由题意，， 即得 （3）如图，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系 设，，， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 则，， 由可知， 即，解得， 设平面与平面所成角为， 则 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$   （满分13分） 三、解答题（共77分） 杭州第四中学2025学年第一学期高三年级返校测试 数学答题卷 数学答题卷  班级： 姓名： 试场号： 座位号： 注意事项： 选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净。笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写， 答题不得超出答题框。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。                                                             缺考标记 [ ]  一、单选题：（共40分，每小题5分） 5  6  7  8  1  2  3  4  9  10  11  二、多选题：（共18分，每小题6分） 二、填空题：（共15分，每小题5分） 13． 14． ； 第1页/共2页   16.（满分15分）.    18. （满分17分） 17.（满分15分） 19.（满分17分） 第2页/共2页 $$