13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的高、中线、角平分线核心知识点，系统梳理定义（如高是顶点向对边作垂线的线段）、画法（如三角尺作图步骤）、性质（如中线平分面积）及交点（垂心、重心、内心），构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于分层设计与题型探究结合，通过判断高的位置、中线与面积关系等题型培养推理意识，分层通关（基础到培优）助力学生查漏补缺，课中辅助教师教学，课后强化知识应用，体现数学思维与应用意识。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 目录 Part1考点突破 考点1：三角形的高 考点2：三角形的中线 考点3：三角形的角平分线 Part2 题型探究 题型1：判断三角形某一边上的高 题型2：三角形的高线的应用 题型3：三角形的中线与面积 题型4：三角形的中线与周长 题型5：三角形的角平分线的定义与应用 题型6：中线、高线及角平分线综合 Part3 分层通关 【考点1：三角形的高】 1、高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的高是线段，不是直线或射线。 2、高的画法 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。 3、垂心及位置 三角形有3条高，三条高所在直线交于一点，叫做三角形的垂心。锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在内部；直角三角形有两条高是直角边，垂心在直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，垂心在外部。 【考点2：三角形的中线】 1、中线的定义 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形有3条中线。 2、中线的性质 ①中线平分对边：若AD是BC边上的中线，则BD＝DC＝BC。②中线平分面积：中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等。③中线分周长差：△ABD与△ACD的周长之差等于AB与AC之差。 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 【考点3：三角形的角平分线】 1、角平分线的定义 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线是线段。 2、角平分线的性质 若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC。三角形有3条角平分线。 3、三角形的内心 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 【题型1：判断三角形某一边上的高】 【例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图， ． 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 【变式2】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（　　） A．AB B．AC C．BC D．BD 【答案】C 【解答】解：根据三角形高的定义可得： 过A点作AD⊥BC交BC的延长线于点D， 故AD是BC边上的高． 故选：C． 【变式3】如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．BE B．AF C．CD D．CF 【答案】B 【解答】解：△ABC中，BC边上的高是AF． 故选：B． 【题型2：三角形的高线的应用】 【例2】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　4　 【答案】4． 【解答】解：由条件可知AC⊥BC， ∴点A到线段BC的距离为线段AC的长，即为4． 故答案为：4． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：根据点到直线的距离可知： ∵∠B＝90°，BC＝4cm， ∴点C到直线AB的距离为：4cm． 故选：C． 【变式2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．则AD的长 　4.8　 cm； 【答案】4.8． 【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠CAB＝90°， ∴S△ABCAB•ACBC•AD， ∴6×810×AD， 解得：AD＝4.8， 故答案为：4.8． 【题型3：三角形的中线与面积】 【例3】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 　　 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△ABE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式2】如图，已知D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若四边形ADEF的面积为15，则△ABC的面积为 　40　 【答案】40 【解答】解：∵点F是BD的中点， ∴S△BED＝2S△DEF，S△ABD＝2S△ADF， ∵点E是BC的中点， ∴S△BDC＝2S△BDE＝4S△DEF， ∵点D为AC的中点， ∴S△ABD＝S△BCD，S△ABC＝2S△ABD， ∴2S△ADF＝4S△DEF， 即S△ADF＝S△DEF， ∵四边形ADEF的面积为15， ∴S△ADF+S△DEF＝15， ∴， 解得S△ADF＝10， ∴S△ABC＝2S△ABD＝4S△ADF＝4×10＝40， 故答案为：40． 【变式3】如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】A 【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点， ∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE， ∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型4：三角形的中线与周长】 【例4】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝3，则BC＝6， ∴AC＝16﹣AB﹣BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD， ∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， 故选：A． 【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2CD＝8（cm）， ∵△ABC的周长＝20cm， ∴AB+AC+BC＝20（cm）， ∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）， 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3cm．若AB＝10cm，则AC的长为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．7cm 【答案】D 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长比△ACD的周长多3cm， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴AC＝7cm， 故选：D． 【变式3】在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　　） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CF， ∵△ABD的周长为41，AB＝18， ∴18+AD+BD＝41， ∴AD+BD＝23， ∴CD+BD＝23， ∵BC＝16， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝16+23＝39， 故选：A． 【题型5：三角形的角平分线的定义与应用】 【例5】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 【变式2】如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵是的角平分线，、 ∴，B选项正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴，C选项错误，符合题意； ∵是的高， ∴，D选项正确，不符合题意； 故选D． 【变式3】如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 【题型6：中线、高线及角平分线综合】 【例6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【答案】D 【解答】解：A、∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴结论A正确， 故该选项不符合题意； B、∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∴结论B正确， 故该选项不符合题意； C、∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△ACE， ∴结论C正确， 故该选项不符合题意； D、∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴结论D错误， 故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【答案】B 【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意； B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意； C、∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB， ∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意； D、∵∠ABC＝90°， ∴∠BFH＝90°﹣∠FCB， ∵BE⊥AC， ∴∠EHC＝90°﹣FCA， ∴∠BFH＝∠EHC， ∵∠BHF＝∠EHC， ∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　①②③　 ．（填序号） 【答案】①②③． 【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴S△ABE＝S△BCE． ∴①说法正确，符合题意； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF． ∵AD为高线， ∴∠ADC＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD． ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF． ∴②说法正确，符合题意； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD． ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF． ∴③说法正确，符合题意； 根据条件不能说明AF＝BF， ∴④说法不正确，不符合题意； 综上所述，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【变式3】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【答案】（1）1； （2）121°． 【解答】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴△BCD的周长﹣△ACD的周长＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 【基础通关练】 1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故选：C． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【解答】解：A、三角形的高、中线是线段，角平分线也是线段，故本选项说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，说法正确，符合题意； C、钝角三角形的两条角平分线在三角形的外部，一条在三角形内部，故本选项说法错误，不符合题意； D、在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．若一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点，则这个△是（　　） A．锐角△ B．钝角△ C．直角△ D．都有可能 【答案】C 【解答】解：∵一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点， ∴三角形有两边垂直， ∴此三角形为直角三角形． 故选：C． 4．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．也考查了折叠的性质．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：是的高的是． 故选：D． 5．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 6．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D． 【提升通关练】 1．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， ∴周长之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2． 故选：C． 2．下列说法错误的是（　　） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线 【答案】C 【解答】解：A、正确，任意三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点； B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部； C、错误，直角三角形也有三条高线； D、正确． 故选：C． 3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连接CD，DE，DF．已知△ABC的面积为4，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．2 D．2.5 【答案】C 【解答】解：由题意可得：， ∵E为AC边的中点，△ADC的面积为2， ∴， ∵F为BC边的中点，△DBC的面积为2， ∴， ∴S阴影＝S△DEC+S△DBF＝1+1＝2， 故选：C． 4．如图，AD、CE是△ABC的两条高，，CE+AD＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵AD、CE是△ABC的两条高， ∴△ABC的面积AB•CEBC•AD， ∵， ∴4×CEAD， ∵CE+AD＝7， ∴AD， ∴△ABC的面积BC•AD． 故选：A． 5．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　24　 【答案】24． 【解答】解：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为22， ∴AC+AD+CD＝22， ∴AC+AD+BD＝22， ∵AC＝8， ∴AD+BD＝14， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝10+14＝24， 故答案为：24． 6．AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝　50　 ° 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝100°， ∴∠BAD＝∠CAD100°＝50°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD＝50°． 故答案为50． 7．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝6，AC＝8，DF＝3，则DE＝　4　 【答案】4． 【解答】解：∵在△ABC中，AD为中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE和DF分别为△ADB和△ADC的高， ∴，即， ∴DE＝4， 故答案为：4． 8．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 9．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 10．画的边上的高，下列画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示： 故选：D． 11．如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为 ； （2）的面积为 ； （3）的面积为 【答案】2 3 1.5 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，得到，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案； （2）根据三角形的中线的性质，中线将的面积平分，可得到，据此即可求解； （3）根据三角形中线的性质，得到中线将的面积平分，进而得到，据此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为2． 故答案为：2； （2）∵为边上的中线， ∴． ∴， 故答案为：3； （3）∵为边上的中线， ∴． ∴． 故答案为：1.5． 【培优通关练】 1．如图，△DEF的面积为1，且AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF，则△ABC的面积为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解答】解：∵AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF， ∴点D是线段AC的中点， ∴BD是中线， ∵点E是线段BC的三等分点， ∴， ∵点F是线段BD的四等分点， ∴， 设E到BD的距离为h1， ∴， ∵△DEF的面积为1， ∴， ∴， 设点D到BC的距离为h2， ∴， ∴， ∴， ∵BD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△BCD＝4， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝5，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为 　2　 ； （2）若CD⊥AB，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）2； （2）120°． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵BC＝5，AC＝3， ∴△BCD与△ACD的周长＝（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC＝5﹣3＝2， 故答案为：2； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝30°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝120°． 3．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长． 【答案】（1）90°； （2）8． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝46°，∠BAD＝25°， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝46°﹣25°＝21°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×21°＝42°， ∵AF为高， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣42°＝48°． （2）∵AD为中线，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵△ABC的面积为40， ∴， ∴AF＝8． 4．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 目录 Part1考点突破 考点1：三角形的高 考点2：三角形的中线 考点3：三角形的角平分线 Part2 题型探究 题型1：判断三角形某一边上的高 题型2：三角形的高线的应用 题型3：三角形的中线与面积 题型4：三角形的中线与周长 题型5：三角形的角平分线的定义与应用 题型6：中线、高线及角平分线综合 Part3 分层通关 【考点1：三角形的高】 1、高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的高是线段，不是直线或射线。 2、高的画法 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。 3、垂心及位置 三角形有3条高，三条高所在直线交于一点，叫做三角形的垂心。锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在内部；直角三角形有两条高是直角边，垂心在直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，垂心在外部。 【考点2：三角形的中线】 1、中线的定义 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形有3条中线。 2、中线的性质 ①中线平分对边：若AD是BC边上的中线，则BD＝DC＝BC。②中线平分面积：中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等。③中线分周长差：△ABD与△ACD的周长之差等于AB与AC之差。 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 【考点3：三角形的角平分线】 1、角平分线的定义 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线是线段。 2、角平分线的性质 若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC。三角形有3条角平分线。 3、三角形的内心 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 【题型1：判断三角形某一边上的高】 【例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（　　） A．AB B．AC C．BC D．BD 【变式3】如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．BE B．AF C．CD D．CF 【题型2：三角形的高线的应用】 【例2】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．则AD的长 cm； 【题型3：三角形的中线与面积】 【例3】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 　　 【变式2】如图，已知D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若四边形ADEF的面积为15，则△ABC的面积为 【变式3】如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 【题型4：三角形的中线与周长】 【例4】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【变式2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3cm．若AB＝10cm，则AC的长为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．7cm 【变式3】在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　　） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【题型5：三角形的角平分线的定义与应用】 【例5】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【变式2】如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【题型6：中线、高线及角平分线综合】 【例6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　 　 ．（填序号） 【变式3】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【基础通关练】 1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 3．若一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点，则这个△是（　　） A．锐角△ B．钝角△ C．直角△ D．都有可能 4．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【提升通关练】 1．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列说法错误的是（　　） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线 3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连接CD，DE，DF．已知△ABC的面积为4，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．2 D．2.5 4．如图，AD、CE是△ABC的两条高，，CE+AD＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是 6．AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝ ° 7．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝6，AC＝8，DF＝3，则DE＝ 8．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 9．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 10．画的边上的高，下列画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为 ； （2）的面积为 ； （3）的面积为 【培优通关练】 1．如图，△DEF的面积为1，且AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF，则△ABC的面积为（　　） A．3 B． C．4 D． 2．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝5，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为 ； （2）若CD⊥AB，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 3．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长． 4．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $